二个随机变量的最大值与最小值分布的求法
第18卷第3期郑州铁路职业技术学院学报
V01.18№.3
2006年9月
Journal0fZhengzhouRailwayVoeadonal&.TechnicalCollege
Sep.2006
二个随机变量的最大值与最小值分布的求法
沈伟利
(河南商业高等专科学校
河南郑州450000)
摘要:多个随机变量的最值分布问题在实际工作中会经常遇到,而一般情况下不易得到多个随机变量的联合分布,只能得到单个随机变量的分布,可以利用单个随机变量的分布求二个随机变量的最大值与最小值的分
布。
关键词:随机变量分布函数分布律
在许多实际问题中,经常会遇到随机变量的最值分例1设随机变量(x,Y)的分布律为
布问题,如建造桥梁前先要预测使用期内的最大水流量,建筑高层建筑物前也先要预测使用期内的最大风压等,\
0123
4
这些都与随机变量的最大值、最小值的分布有密切关系。O
0.05O.060.060.07O.08l
0.04O.0c50.08O.090.08下面讨论两个随机变量最值分布的求法。
2
0.04
0.04
O.08
0.09
0.09
一、两个离散型随机变量的最值分布的求法求①M=nm(x,Y)②N=曲(x,Y)的分布律
可利用互斥事件的概率加法公式来求。解(1)M的可能取值有0,1,2,3,4
设x,Y为两个离散型随机变量,分布律分别为P{M=0}=P{X=0,Y=0}=0.05
P{x=】【kl—pk(k=1,2,…)其中xl,<i(k<s时),xs=P{M=1}=P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}+P{xi,xl,>i(k>s时)
=0,Y=1}=0.04+0.05+0.06=0.15
P{Y=Yk}=pk(k=1,2,…)其中Yk<i(k<t时),Yt=2
I
i,Yk>i(k>t时)
P{N=2}=∑P{X=2,Y=k}+∑P{X=k,Y=2}
t2U
t‘U
记M=max(X,Y),N=min(X,Y),那么事件{M=i},=0.16+0.14=0.30
2
{N=i}可分别写为下面两两互斥事件的和。
P{M=3}-∑P{X=k,Y=3}=0.25
k‘U
2
{M=i}m--.{X=i,Y≤i}+{X<i,Y=i}-墨{X=i,Y=P{M=4}=∑P{X=k,Y=4}=0.25Yk}+蒌{x=砘,Y=i}
故得的分布律为
{N=i}_{X=i,Y≥i}+{X>i,Y=i}-∑{X=i,Y=I
MO1234Yk}+∑{X=xk,Ym---i}
P
0.05
O.15
O.30
0.25
O.25
根据互斥事件的概率加法公式,可求其概率。
(2)N的可能取值有0,1,2
4
2
P{M=i}=.蚤P{x=i,Y=Yk}+荟P{x=)【k,Y=i}P{N=0}=∑P{X=0,Y=k}+∑P{X=k,Y=0}=
k1U
t#l
P{M=i}=墨P{x=i,Y=yk}+墨P{X=R,Y=i}
0.32+O.08=0.40
又若x与Y相互独立,则有:
^
P{N=l}=∑P{X=1,Y=k}+P{X=2,Y=l}=O.30
t‘1
P{M=i}=P{X=i}∑P{Y=yk}+P{Y=i}∑P{X=……+0.04=0.34
xkl
4
P{M=2}=∑P{X=2,Y=k}=0.26
P{N=i}-P{x=i}苫P{Y=Yk}+P{Y=i}。2FIX=)【k}
故得N的分布律为(下转第39页)
收稿日期"2006—03—13
作者简介:沈伟利(1966一)女,河南兰考人,河南商业高等专科学校高级讲师。
37
万
方数据
始使用这一教学方法时,学生很不适应,不知所措、无从下手。在这种情况下,教师千万不能着急,要鼓励学生先看书,再查找资料,要围绕实验课题努力思考,逐渐就能想出办法来。然后,根据学生准备的情况,再逐步做一点启发,一点一点的由浅入深逐步引导。坚持下来,学生逐步适应,也体会到研究的乐趣,不知不觉中,实验技能和思维能力大大提高,并且养成了独立思考、勤于思考的习惯。学生感悟到,这种教学方法效果很好。当然,作为实验教学主体的学生,必须在继承传统知识和技术的基础上,重点进行知识和技术的应用和创新。作为主导的教师,必须在搞好实验教学的引导工作的同时,加强自身知识和技能的扩展和更新,达到知识丰富,技术熟练和教学方法科学实用的要求。
三、坚持改革。培养适应现代社会需求的应用型人才
在教与学的关系上,我们要强调学生内在动因。人,天生具有学习的内在潜能,任何正常的学习者都能自己教育自己,发展自己的潜能,最终达到自我实现的目标。把学习者看作人,尊重学习者,解放学习者,真正把学习
者视为学习活动的主人,建立以人为中心的教育价值观,并以此作为教育的最高准则。在知识和能力的关系上,要注意能力比知识更重要,特别是思维能力、创造能力和想象能力,都是培养高科技技术人才必备的条件。而这些能力都不是从现代的知识中获得的,而是在“做”的过程中获得的,所以,创造条件,尽可能多地给学生提供自学的机会、用的机会和做的机会,通过自己试验(或实验)动手操作,学会发明创造,提高应用能力。“授人以鱼,不如授人以渔”这是中国古谚,哲理性非常深刻。方法很重要,如果有意识的教给学生方法.并由此让他们获得发现问题和解决问题的能力,要比灌输现成的知识更有价值。更加重要的是,“渔”的能力是可持续发展的特征,并在未来带给他们更多的“鱼”。
参考文献
[1]粱建锋.美国教育[M].中国科学技术大学出版社.[2]合欢芬.国外中学教育[M].中国科技出版社.[3]吴式颖.外国教育史简编[M].教育科学出版社.
[责任编辑:方艳]
pdp、ppqppqp、p、pp。p、pppup。pp口pq≯妒qpp‘pqpu≯、≯p、扩、一、p、妒pqpqpqp\p、p、pq八4、p、≯、妒up口9、p、j≯‘
(k-接第37页)
N
0
l
2
I
P0.400.340.26
二、两个连续型随机变置的最值分布的求法设x,Y是两个连续型随机变量,其分布函数分别为Fx(x)和Fy(y)。下面求M=max(X,Y)和N=rrlirI(x,Y)的分布。
M的分布函数FM(z)=P{M≤Z}.P{x≤z,Y≤z}N的分布函数FN(z)=P{N≤Z}=1一P{N>z}_1一P{X>z,Y>z}
若x与Y相互独立,则有FM(z)=Fx(x)FY(y)
FNz)=1一P{X>z}P{Y>z}=I一[1一P{x≤z}]
鳃先求出系统k的寿命Y的分布函数。当电子器件A,,A2中有一个损坏时,系统k就停止工作,所以Ll的寿命Y=min(X1,x2),由提设条件知K(i=1,2,3)的分布函数均为
瞰,=r~’=
于是当y>0时,Fy(y)=1一[1一F(y)]2=1一e一铆当y≤0时,FY(y)=0故可得Y的分布函数为
[1一P{Y≤z}]=I一[I—Fx(z)][1一FY(z)]
若x与Y相互独立且又有相同的分布函数F(x)时,有
FMz)=[F(z)]2,FNz)=1一[1一r(z)]2
Fy(y,=r~岩
下面求系统L的寿命z的分布。当且仅当h,k两个系统都损坏时,系统L才停止工作,因而有Z=max(x3,Y),故z的分布函数Fzz)=F(z)Fy(z)
当z>0时,FZ(z)=(1一e-}a)(1一e-挑)
=1一e—h—e一执+e一3xz
此时又可求得M,N的密度函数分别为PM(z)=2F(z)P(z),PN(z)=211一r(z)]P(z)
以上结论可推广到n个相互独立的随机变量的情况。
例2设系统L由两个相互独立的子系统k,乙并联而成,而子系统h,k又分别由相互独立的电子器件Al,A2,A3按如图方式联结而成。设每一电子器件的寿命)(i(i=I,2,3)均是服从参数为入(入>0)的指数分布的随机变量。求系统L的寿命的密度函数。
当z≤O时,Fz(z)=0
得系统L的寿命z的分布函数为
Fz(z)=r~_e.~e。k’竺
于是可求出系统L的寿命Z的密度函数为
毗,=∥+2篁蠹凳≯如
[责任编辑:赵伟]
39
万方数据
二个随机变量的最大值与最小值分布的求法
作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):
沈伟利
河南商业高等专科学校,河南,郑州,450000
郑州铁路职业技术学院学报
JOURNAL OF ZHENGZHOU RAILWAY VOCATIONAL & TECHNICAL COLLEGE2006,18(3)
本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zztlzyjsxyxb200603019.aspx