平面汇交力系合成教学设计(朱鉴)

平面汇交力系合成

----课程设计

永泰城乡建设职业中专 朱鉴 教学内容：平面汇交力系的合成

教学目标：学生了解平面汇交力系合成的方法

学生能够运用所学的力系合成的方法对具体问题进行合成 学生对力学有浓厚的兴趣，为以后的课程学习奠定基础 教学重点：解析法在平面力系中的应用 教学难点：平面力系的合成定理的掌握 教学课时：2 教学过程：

平面汇交力系的合成方法可以分为几何法与解析法，其中几何法是应用力的平行四边形法则（或力的三角形法则），用几何作图的方法，研究力系中各分力与合力的关系，从而求力系的合力；而解析法则是用列方程的方法，研究力系中各分力与合力的关系，然后求力系的合力。下面分别介绍。

一、几何法

首先回顾用几何法合成两个汇交力。如图2—1a ，设在物体上作用有汇交于O 点的两个力F 1和F 2，根据力的平行四边形法则，可知合力R 的大小和方向是以两力F 1和F 2为邻边的平行四边形的对角线来表示，合力R 的作用点就是这两个力的汇交点O 。也可以取平行四边形的一半即利用力的三角形法则求合力如图2—1b 所示。

图2—1

对于由多个力组成的平面汇交力系，可以连续应用力的三角形法则进行力的

合成。设作用于物体上O 点的力F 1、F 2、F 3、F 4组成平面汇交力系，现求其合力，如图2—2a 所示。应用力的三角形法则，首先将F 1与F 2合成得R 1，然后把R 1与F 3合成得R 2，最后将R 2与F 4合成得R ，力R 就是原汇交力系F 1、F 2、F 3、F 4的合力，图2—2b 所示即是此汇交力系合成的几何示意，矢量关系的数学表达式为

R =F 1+F 2+F 3+F 4 （2—1） 实际作图时，可以不必画出图中虚线所示的中间合力R 1和R 2，只要按照一定的比例尺将表达各力矢的有向线段首尾相接，形成一个不封闭的多边形，如图2—2c 所示。然后再画一条从起点指向终点的矢量R ，即为原汇交力系的合力，如图2—2d 所示。把由各分力和合力构成的多边形abcde 称为力多边形，合力矢是力多边形的封闭边。按照与各分力同样的比例，封闭边的长度表示合力的大小，合力的方位与封闭边的方位一致，指向则由力多边形的起点至终点，合力的作用线通过汇交点。这种求合力矢的几何作图法称为力多边形法则。

从图2—2e 还可以看出，改变各分力矢相连的先后顺序，只会影响力多边形的形状，但不会影响合成的最后结果。

图2—2

将这一作法推广到由n 个力组成的平面汇交力系，可得结论：平面汇交力系合成的最终结果是一个合力，合力的大小和方向等于力系中各分力的矢量和，可由力多边形的封闭边确定，合力的作用线通过力系的汇交点。矢量关系式为：

R =F 1+F 2+F 3+……+F n =∑F i （2—1b ） 或简写为：

R =∑F （矢量和） （2

—1c ）

若力系中各力的作用线位于同一条直线上，在这种特殊情况下，力多边形变成一条直线，合力为：

R=∑F （代数和） （2—2）

需要指出的是，利用几何法对力系进行合成，对于平面汇交力系，并不要求力系中各分力的作用点位于同一点，因为根据力的可传性原理，只要它们的作用线汇交于同一点即可。另外，几何法只适用于平面汇交力系，而对于空间汇交力系来说，由于作图不方便，用几何法求解是不适宜的。

对于由多个力组成的平面汇交力系，用几何法进行简化的优点是直观、方便、快捷，画出力多边形后，按与画分力同样的比例，用尺子和量角器即可量得合力的大小和方向。但是，这种方法要求这图精确、准确，否则误差会较大。

二、解析法

求解平面汇交力系合成的另一种常用方法是解析法。这种方法是以力在坐标轴上的投影为基础建立方程的。

1、力在平面直角坐标轴上的投影

设力F 用矢量表示如图2—3所示。取直角坐标系oxy ，使力F 在oxy 平面内。过力矢的两端点A 和B 分别向x 、y 轴作垂线，得垂足a 、b 及a /、b /，带有正负号的线段ab 与a /b /分别称为力F 在x 、y 轴上的投影，记作F x 、F y 。并规定：当力的始端的投影到终端的投影的方向与投影轴的正向一致时，力的投影取正值；反之，当力的始端的投影到终端的投影的方向与投影轴的正向相反时，力的投影取负值。

力的投影的值与力的大小及方向有关，设力F 与x 轴的夹角为α，则从图2—3可知

F x =F cos αF y =-F sin α

（2

—3）

一般情况下，若已知力F 与x 和y 轴所夹的锐角分别为α、β，则该力在x 、y 轴上的投影分别为

F x =±F cos αF y =±F cos β

（2—4）

即：力在坐标轴上的投影，等于力的大小与力和该轴所夹锐角余弦的乘积。当力与轴垂直时，投影为零；而力与轴平行时，投影大小的绝对值等于该力的大小。

图2—3 图2—4

反过来，若已知力F 在坐标轴上的投影F x 、F y ，亦可求出该力的大小和方向角：

F =F x 2+F y 2

tan α=

F y F x

（2—5）

式中α为力F 与x 轴所夹的锐角，其所在的象限由F x 、F y 的正负号来确定。 在图2—3中，若将力沿x 、y 轴进行分解，可得分力F x 和F y 。应当注意，力的投影和分力是两个不同的概念：力的投影是标量，它只有大小和正负；而力的分力是矢量，有大小和方向。它们与原力的关系各自遵循自己的规则。在直角坐标系中，分力的大小和投影的绝对值是相同的。同时，力的矢量也可以转化为力的标量进行计算，即

F =F x +F y =F x i +F y j （2—6） 式中i 、j 分别为沿直角坐标轴x 、y 轴正向的单位矢量。

力在平面直角坐标轴上的投影计算，在力学计算中应用非常普遍，必须熟练掌握。

例2—1 如图2—4所示，已知F 1=100N , F 2=200N , F 3=300N , F 4=400N ，各力的方向如图，试分别求各力在x 轴和y 轴上的投影。

为了用解析法求平面汇交力系的合力，必须先讨论合力及其分力在同一坐标轴上投影的关系。

图2—5

如图2—5所示，设有一平面汇交力系F 1、F 2、F 3作用在物体的O 点，如图2—5所示。从任一点A 作力多边形ABCD ，如图2—5b 所示。则矢量就表示该

力系的合力R 的大小和方向。取任一轴x 如图示，把各力都投影在x 轴上，并且令F X1、F X2、F X3和R x 分别表示各分力F 1、F 2、F 3和合力R 在x 轴上的投影，由图2—5b 可见

F x 1=ab，F x 2=bc，F x 3=-cd ，R x =ad

而 ad=ab+bc-cd 因此可得

R x =F x1+F x2+F x3

这一关系可推广到任意个汇交力的情形，即

R x =F x1+F x2+……F xn =∑F x （2—6）

由此可见，合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。这就是合力投影定理。

3、用解析法求平面汇交力系的合力

当平面汇交力系为已知时，如图2—6所示，我们可选直角坐标系，先求出力系中各力在x 轴和y 轴上的投影，再根据合力投影定理求得合力R 在x 、y 轴上的投影R x 、R y ，从图2—6中的几何关系，可见合力R 的大小 和方向由下式确定：

22

R =R x +R y =

∑F +∑F 2x

y

y x

2

tan α=

R y R x

=

∑F

∑F

（2—7）

式中：α为合力R 与x 轴所夹的锐角，R 在哪个象限由∑Fx 和∑Fy 的正负号来确定，具体详见图2—7所示。合力的作用线通过力系的汇交点O 。

图2—6 图2—7

下面举例说明如何求平面汇交力系的合力：

例2—2 如同2—8所示，固定的圆环上作用着共面的三个力，已知

F 1=10kN , F 2=20kN

, F

3=25kN , 三力均通过圆心O 。试求此力系合力的大小和

方向。

解：运用两种方法求解合力。 （1）几何法

取比例尺为：1cm 代表10kN ，画力多边形如图2—8b 所示，其中ab=F 1, bc =F 2, cd =F 3。从起点a 向终点d 作矢量，即得合力R 。由图上量得，ad=4.4cm，根据比例尺可得，R =44kN；合力R 与水平线之间的夹角用量角器量得α=22 。

图2—8

（2）解析法

取如图2—8所示的直角坐标系Oxy ，则合力的投影分别为：

R x =F 1cos 30 +F 2+F 3cos 60 =41. 16kN R y =-F 1sin 30+F 3sin 60=16. 65kN

则合力R 的大小为：

2

=41. 162+16. 652=44. 40kN R =R x 2+R y

合力R 的方向为：

tan α=

R y R x

=R y R x

16. 6541. 16=arctan

16. 65

=21. 79

41. 16

α=arctan

R x

R y

由于＞0，＞0，故α在第一象限，而合力R 的作用线通过汇交力系的

汇交点O 。

例2—3 如图2—9所示，一平面汇交力系作用于O 点。已知F 1=200N ,

F 2=300N , 各力方向如图。若此力系的合力R 与F2沿同一直线，求F3与合力R 的大小。

解：用两种方法

（1）几何法

取比例尺如图所示。取任一点a 开始作力多边形，ab =F 1=100N , 由b 点作

=F 2=300N , 得折线abc ，再从折线上的c 点和a 点分别作F3和R 的平行线，

它们相交于一点d 。多边形abcd 即为力多边形。根据比例尺量得R=573N，F3=141N，合力R 的作用线通过汇交点O 。

图2—9

（2）解析法

取如图2—9所示的坐标系。由题可知R 沿x 轴正向，则：

R x =R , R y =0

又因为：

R y =∑F y

则得：

F 1sin 30 -F 3sin 45 =0

即 200⨯得 F 3=

1

-F 3⋅sin 45 =0 2

2002

=141. 4N

又由 R x =∑F x =R

得 F 1cos 30 +F 2+F 3cos 45 =R 即 R =200⨯

32+300+141. 4⨯=573. 2N 】 22

教学小结：

1、掌握共点力系合成与平衡的几何法与解析法 2、能正确地将力沿坐标轴分解并求力在坐标轴 上的投影。正确理解合力投影定理

3、熟练运用平衡方程求解共点力系的平衡问题

作业：2-1、4、5 教学反思：

学生对力学普通比较头疼，因学生没有很好的数学功底，再接下来的课程，多培养学生的自信心。