导数知识点总结Q
导 数
知识要点
一、导数的概念
1.平均变化率
f (x 2) -f (x 1) f (x 1+∆x ) -f (x 1) ∆y ∆f == =∆x ∆x x 2-x 1∆x
注 1:其中∆x 是自变量的改变量,可正,可负,可零。
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2. 导数的概念
函数y =f (x ) 在x =x 0处的瞬时变化率是,
f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y l i =l i ∆x →0∆x ∆x →0∆x
我们称它为函数y =f (x ) 在x =x 0处的导数,记作f '(x 0) 或y '|x =x 0,即
f '(x 0) =lim ∆x →0f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆x
3. 平均变化率的几何意义
平均变化率的几何意义是割线的斜率;
4. 导数的几何意义
函数y =f (x ) 在点x 0处的导数的几何意义就是曲线y =f (x ) 在点(x 0, f (x 0)) 处的切线的斜率,也就是说,曲线y =f (x ) 在点P (x 0, f (x 0)) 处的切线的斜率是f ' (x 0) ,
' 切线方程为y -y 0=f (x )(x -x 0).
5. 导数的背景
(1)切线的斜率 (2)瞬时速度 (3)边际成本
6. 导函数
当x 变化时,f '(x ) 便是x 的一个函数,我们称它为f (x ) 的导函数. y =f (x ) 的导函数有时也记作y ', 即
f '(x ) =lim f (x +∆x ) -f (x ) ∆x ∆x →0
二. 导数的计算
1. 基本初等函数的导数公式:
1)若f (x ) =c (c为常数) ,则f '(x ) =0;
2)若f (x ) =x α, 则f '(x ) =αx α-1;
3)若f (x ) =sin x , 则f '(x ) =cos x
4)若f (x ) =cos x , 则f '(x ) =-sin x ;
5)若f (x ) =a x , 则f '(x ) =a x ln a
6)若f (x ) =e x , 则f '(x ) =e x
1 x ln a
18)若f (x ) =ln x , 则f '(x ) = x
2. 导数的运算法则 x 7)若f (x ) =log a , 则f '(x ) =
1)[f (x ) ±g (x )]'=f '(x ) ±g '(x )
2)[f (x ) ∙g (x )]'=f '(x ) ∙g (x ) +f (x ) ∙g '(x )
3)[f (x ) f '(x ) ∙g (x ) -f (x ) ∙g '(x ) ]'= g (x ) [g (x )]2
3. 复合函数求导
y =f (u ) 和u =g (x ) , 称则y 可以表示成为x 的函数, 即y =f (g (x )) 为一个复合函数 y '=f '(g (x )) ∙g '(x )
三、导数在研究函数中的应用
1. 函数的单调性与导数
一般地,函数的单调性与其导数的正负有如下关系:
在某个区间(a , b ) 内,
如果f '(x ) >0,那么函数y =f (x ) 在这个区间单调递增;
如果f '(x )
2. 函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数y =f (x ) 的极值的方法是:
(1) 如果在x 0附近的左侧f '(x ) >0, 右侧f '(x )
(2) 如果在x 0附近的左侧f '(x ) 0, 那么f (x 0) 是极小值;
3. 函数的最大(小) 值与导数
极值与最值的区别:极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较.
求函数y =f (x ) 在[a , b ]上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数y =f (x ) 在(a , b ) 内的极值;
(2)将函数y =f (x ) 的各极值与端点处的函数值f (a ) ,f (b ) 比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
四、生活中的优化问题
利用导数的知识,求函数的最大(小) 值, 从而解决实际问题