类比法在数学解题中的运用
类比法在数学解题中的应用
摘 要：类比是一种重要的逻辑方法，通过列举实例来说明类比法在数学解题中的应用，可以拓宽数学的解题思路，有助于培养学生的灵活性、独创性、广阔性和敏捷性。
关键词：类比法；数学解题；应用
类比是根据两个数学对象的一些属性相同或相似，猜测另一些属性也可能相同或相似的思维方法，它通常称为类比法。它是以比较为基础，通过对两个(或两类) 不同的对象进行比较，找出它们的相同点或相似点，然后以此为依据，将关于某一些知识或结论推移到另一种对象中去。其结论的可靠程度依赖于两个研究对象的共同属性，一般说来，共有属性愈多，结论的可靠程度就愈大；共有属性于是本质的，结论的可靠程度就愈高。类比既是一种逻辑方法又是一种科学研究的方法，它是人们思考问题和处理问题的重要手段，是发明创造的一把金钥匙。
类比分为简单类比和复杂类比两类。简单类比是一种形式性类比，它具有明显性、直接性的特征，其模式为
复杂类比是一种实质性类比，需要通过较为深入的分析后才能得出新的猜测，其模式为
类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要确认其正确性，还必须经过严格的逻辑论证。运用类比法解决问题，其基本过程可用框图表示如下：
类比思维在数学知识的延伸拓展过程中常借助于比较、联想，用作启发诱导以寻求思维的变异和发散。在数学学习中，我们可以通过类比学习新知识，也可以通过类比来寻求解题思路，甚至通过类比来推广数学命题。利用类比法，可使我们的思维能力、观察能力得到良好的锻炼。下面我们从数学解题的角度来谈谈类比法的应用。
一、平面几何与立体几何的类比
有些立体几何问题的解决可类比于平面几何问题解决的思路方法，有时可简化运算与推理，优化解题过程。
例1 如图1，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（于四个面都相切的球）的球心O ，且与BC 、DC 分别截于E 、F ，如过截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A —BEFD 与三棱锥A —EFC 的表面积分别为S 1, S 2，则必有( )
(A) S 1>S 2 (B) S 1
C
图1 图2
分析 本题是立体几何问题，将立体中的有关图形、有关量与平面相应的元素进行类比:
由此可得到平面几何中相应的问题：
如图2，在 ABC 中，直线EF 经过其内切圆的圆心O ，且与AB 、AC 分别交于E 、F ，如果线段EF 将 ABC 分成面积相等的两部分, 设 AEF 与四边形EBCF 的周长分
别为L1、L2，求L1、L2关系。
BOC 、 COF 三部分, 将设内切圆半径为r ，将四边形BCEF 分割为 EOB 、
AEF 分割为 AOE , AOF , 则
S EOB +S BOC +S COF =S AOE +S AOF
∴(BE +BC +CE ) r =(AE +AF ) r ,
∴AE +AF =BE +BC +CE
由此得L1=L2，由类比思维可以猜想例1中的S 1=S 2，其思路与相应的平面几何问
题相仿，即将四棱锥A-BEFD 分割为O-ABD,O-ABE,O-ADF 与O-BEFD 四部分，而将三棱锥A-EFC 分割为O-AEC,O-AFCO-EFC 三部分，再利用两部分体积相等求解，本题答案为C 。
除此之外，高中数学中常见的还有解析几何中不同圆锥曲线之间性质的类比，不同类型三角函数性质的类比，等差数列与等比数列的类比，平面向量与空间向量的类比。
我们也可以利用两类事物之间的相似性或一致性，用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题或猜想。
例2 在 ABC 中，AB ⊥AC , AD ⊥BC 于D 。 求证：111=+，那么在四面体ABCD 中，类比上述论据，你能AD 2AB 2AC 2
得到怎样的猜想，并说明理由。
证明：如右图所示，由射影定理，
AD 2=BD ⋅DC , AB 2=BD ⋅BC , AC 2=BC ⋅DC ,
所以：
11BC 2BC 2
===2AD BD ⋅DC BD ⋅BC ⋅DC ⋅BC AB 2⋅AC 2
B
C
又BC 2=AB 2+AC 2,
1111AB 2+AC 211=+==+，即。 AD 2AB 2AC 2AD 2AB 2⋅AC 2AB 2AC 2
猜想：类比AB ⊥AC , AD ⊥BC ，猜想四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两
垂直，AE ⊥平面BCD ，则
证明上述猜想成立。 1111=++。 AE 2AB 2AC 2AD 2
如右图所示，连接BD 交CD 于F ，连接AF 。
因为AB ⊥AC , AD ⊥BC ，所以AB ⊥平面ACD 。
而AF ⊂面ACD ，故AB ⊥AF 。
111=+. 222AE AB AF
111=+. 在Rt ACD 中，AF ⊥CD , 故AF 2AC 2AD 2
1111=++所以：．故猜想正确。 AE 2AB 2AC 2AD 2在Rt ABC 中，AE ⊥BF , 故
二、形式结构上的类比
某些待解决的问题没有现成的类比物，但可通过观察，凭借结构上的相似性等寻找类比问题，然后可通过适当的代换，将原问题转化为类比问题来解决。
例3 任给7 个实数x k (k =1,2,3 ,7) ，证明其中有两个数x i , x j ，满足不等式
0≤x i -x j
1+x i x j ≤ 分析 若任给7 个实数中有某两个相等，结论显然成立。若7 个实数互不相等，则难以下手，但仔细观察可发现：x i -x j
1+x i x j 与两角差的正切公式在结构上极
为相似，故可选后者为类比物，并通过适当的代换将其转化为三角问题。作代换：x k =tan a k (k =1,2, ,7) ，证明必存在x i , x
j 满足不等式0≤tan(a i -a j ) ≤ ⎡ππ⎤证明 令x k =tan a k (k =1,2, ,7) ，a k ∈⎢-, ⎥，则则原命题转化为： ⎣22⎦
⎡ππ⎤证明存在两个实数a i , a j ∈⎢-, ⎥，满足0≤tan(a i -a j ) ≤22⎣⎦
⎡ππ⎤将⎢-, ⎥平均分为6个子区间，则在a 1, , a 7中至少有两个落到同一个子区间 ⎣22⎦
内，不妨设为a i , a j ，故有0≤a i -a j ≤
从而0≤tan(a i -a j ) ≤ π6，于是0≤tan(a i -a j ) ≤。
3
三、多元与少元的类比
将复杂的多元命题类比较简单的少元命题，通过求解简单命题的思路和方法，寻求解决多元命题的思路和方法。即方法上的类比。
例4 已知x i ≥0(i =1,2,3 , n ) ，且x 1+x 2+ +x n =1。求证：
1≤ +≤分析 我们可先类比简单问题：
已知：x 1≥0, x 2≥0, 且x 1+x 2=1, 求证：1≤≤
该题的解题思路是：由≤x 1+x 2=1，得0≤≤1，
∴1≤x 1+x 2+2
即
1≤
∴1≤2≤2，
≤
上述证明过程中用到了基本不等式和配方法，这正是要寻找的证明原命题的思路和方法。
证明 由基本不等式，有
0≤≤x i +x j ，
0≤2
1≤i ≤j ≤∑(n -1)(x 1+x 2+
+x n ) =n -1
1≤x 1+x 2+ +x n +2
1≤i ≤j ≤∑≤n ,
即
1≤
+2≤n ,
1≤
多元问题类比为少元问题解决的思想方法，我们不难想到，有关高次问题也可以类比到低次问题，普遍问题类比为特殊问题等。
四、数与形的类比
数是代数问题研究的对象，形是几何问题研究的对象。常常在解析几何中我们运用数形结合的思想方法解决问题。其实在研究其他数学问题时，有时也可以将“数”、“形”结合，已达到化简为繁，使所研究的问题变得简捷、直观。
例5 已知α, β, γ为锐角，且cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1。
求证：tan αtan βtan γ≥
分析 已知α, β, γ的余弦平方和为1，可以将它们类比成长方体ABCD —— A 1B 1C 1D 1的对角线AC 1与相邻三条棱的交角，此时关系式
cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1成立。
故而可以借助长方体的三边长a,b,c 类表达三个正切的积，最后再由基本不等式获得证明。
tan αtan βtan γ=
≥= 类比是数学中发现概念、定理、公式的重要手段，也是开拓新领域、创造新分支的重要手段，类比的关键是把两个对象之间的某种相似性确切的表达出来。类比思想有助于培养学生的灵活性、独创性、广阔性和敏捷性，值得我们研讨。 参考文献
【1】（美) 波利业（Polya,G . ）．数学与猜想：数学中的归纳和类比．北京：科学出版社．2001
【2】朱月珍．一种特殊的数学思维方法——类比法．甘肃高师学报．2008．13．5
【3】孙卫东．浅谈类比法在数学教学中的应用．甘肃科技纵横．2006．2