自考高数工本数学公式
《高等数学（工本）》公式
第一章 空间解析几何与向量代数
1. 空间两点间的距离公式p 1p 2=2. 向量的投影 3. 数量积与向量积：
向量的数量积公式：设a ={a x , a y , a z },b ={b x , b y , b z }
(x 2-x 1) 2+(y 2-y 1) 2+(z 2-z 1) 2
1︒. ⋅=a x b x +a y b y +a z b z 2︒. ⊥的充要条件是：⋅=0
∧
3
︒. cos(a b ) =
向量的数量积公式：
i
1︒. a ⨯b =a x
b x
2
︒. sin ϕ=
a y b y a z =(a y b z -a z b y ) i +(a z b x -a x b z ) j +(a x b y -a y b x ) k b z
3︒. //的充要条件是⨯=0
4. 空间的曲面和曲线以及空间中平面与直线 平面方程公式： M o (x o , y o , z o ) ={A , B , C }
点法式：A (x -x o ) +B (y -y o ) +C (z -z o ) =0
直线方程公式： ={l , m , n } ，M o (x o , y o , z o ) 点向式：
5. 二次曲面
x -x o y -y o z -z o
== l m n
第二章 多元函数微分学
6. 多元函数的基本概念，偏导数和全微分
偏导数公式：
1︒. z =f (u , v ), u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y )
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v =+ ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v
=+
∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
2︒. 设z =f (u , v ), u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y )
dz ∂z du ∂z dv =+ dx ∂u dx ∂v dx
3︒. 设F (x , y , z ) =0
∂z Fx =-∂x Fz ∂z Fy
=-
∂y Fz
全微分公式：设z =f (x , y ), dz =7. 复合函数与隐函数的偏导数 8. 偏导数的应用：二元函数极值 9. 高阶导数
∂z ∂z dx +dy ∂x ∂y
第三章 重积分
10. 二重积分计算公式：1︒.
b
⎰⎰kd σ=kA （A 为D 的面积）
D
2︒.
⎰⎰
D
f (x , y ) d σ=⎰dx ⎰
a
ϕ1(x )
ϕ2(x )
f (x , y ) dy =⎰dy ⎰
d
c
ϕ1(y )
ϕ2(y )
f (x , y ) dx
3︒. ⎰⎰f (x , y ) d σ=⎰d ϑ⎰
D
β
ϕ1(θ)
α
ϕ2(θ)
f (r cos ϑ, r sin ϑ) rdr
11. 三重积分计算公式：
⎧z 1(x , y ) ≤z ≤z 2(x , y )
⎪
1︒. 利用直角坐标系计算，Ω为⎨y 1(x ) ≤y ≤y 2(x )
⎪a ≤x ≤b ⎩
b
y 2(x )
z 2(x , y )
⎰⎰⎰f (x , y , z ) d σ=⎰dx ⎰
Ω
a
y 1(x )
dy ⎰
z 1(x , y )
f (x , y , z ) dz
⎧x =r cos ϑ⎪
2︒. 利用柱面坐标计算：Ω为⎨y =r sin ϑ
⎪y =z ⎩
⎰⎰⎰f (x , y , z ) dv =⎰ϑ
Ω
ϑ2
1
dx ⎰
r 2(ϑ)
r 1(ϑ)
rdr ⎰
z 2(r , ϑ)
z 1(r , ϑ)
f (r cos ϑ, r sin ϑ, z ) dz
⎧x =r cos ϑsin ϕ⎪
3︒. 利用球面坐标计算：Ω为⎨y =r sin ϑsin ϕ
⎪y =r cos ϕ⎩
⎰⎰⎰f (x , y , z ) dv =⎰αd ϑ⎰ϕϑ
Ω
1(
β
ϕ2(ϑ)
)
d ϕ⎰
r 2(ϕ, ϑ)
r 1(ϕ, ϑ)
f (r cos ϑsin ϕ, r sin ϑsin ϕ, r cos ϕ) r 2sin ϕdr
12. 重积分的应用公式：
1︒. 曲顶柱体的体积：V =⎰⎰f (x , y ) dxdy , 曲面∑:z =f (x , y )
D
2︒. 设V 为Ω的体积：V =⎰⎰⎰dv
Ω
3︒. 设∑为曲面z =f (x , y )
曲面的面积为S =
⎰⎰
D
+f x 2+f y 2d σ
第四章 曲线积分与曲面积分
13. 对弧长的曲线积分
（1）若L ：y =f (x ), a ≤x ≤b ，则
b
⎰
L
f (x , y ) dl =⎰f [x , ϕ(x +ϕ2(x ) dx
a
⎧x =ϕ(t )
（2）若L ：⎨, α≤t ≤β
y =ψ(t ) ⎩
则
⎰
L
βf (x , y ) dl =⎰f [ϕ(t ), ψ(t 2(t ) +ψ2(t ) dx
α
（3）当f (x , y ) =1时，曲线L 由B 的弧长为S =dl 。
L
⎰
14. 对坐标的曲线积分
（1）
⎰
L A B
P (x , y ) dx =⎰P [x , ϕ(x )]dx L AB :y =ϕ(x )
a
b
A (a ) 起点
B (b ) 终点
（2）
⎰
L A B
β⎧x =ϕ(t ) A (α) 起点
P (x , y ) dx =⎰P [ϕ(t ), ψ(t ) ]ϕ'(t )]dt L AB :⎨
αy =ψ(t ) B (β) 终点⎩
15. 格林公式及其应用 格林公式：
⎰⎰(
D
∂Q ∂P
-) dxdy =Pdx +Qdy ∂x ∂y L
其中L 是沿正向取的闭区域的边界曲线。16. 姻亲的种类（P66） 17. 对面积的曲面积分
4
∑
⎰⎰
f (x , y , z ) ds =
Dxy
⎰⎰
22
f [x , y , z (x , y +z x +z y dxdy ∑:z =z (x , y )
18. 对坐标的曲面积分
上侧取正号
R (x , y , z ) dxdy =±R [x , y , z (x , y )]dxdy :z =z (x , y ) ∑⎰⎰⎰⎰下侧取负号Dxy ∑
第五章 常微分方程
19. 微分方程基本概念 20. 三类一阶微分方程
(1)一阶线性微分方程：y '+p (x ) y =Q (x )
通解y =e
-⎰p (x ) dx
[⎰Q (x ) e ⎰p (x ) dx dx +C ]
2
(2)二阶常系数线性齐次微分方程
公式：y ''+p y '+qy =0特征方程：r +pr +q =0
1︒. r ≠r 实根：通解为y =c e r 1x +c e r 2x
1212
2︒. r =r 实根：通解为y =(c +c ) e r 1x 12123︒. r
1，2
=α±βi ：通解为y =e αx (c 1cos β+c 2sin βx )
(3) 二阶常系数线性非齐次微分方程 公式：y ''+p y '+qy =P m (x ) e ax
通解为y =y +y *y 为对应齐次方程的通解
y *=x k Q m (x ) e αx y *为所求方程的一个特解
k =0：a 不是特征方程的根
k =1：a 是特征方程的单根 k =2：a 是特征方程的重根
第六章 无穷级数
21. 数项级数的基本概念以及基本性质22 22. 数项级数的审敛法
∞
⎧
⎪
n =1
⎪
∞
⎪
=q ⎨>1(∞), 级数∑u n 发散
n =1⎪
∞⎪
⎪=1, 级数∑u n 不定
n =1⎩
5
审敛准则公式：1︒. 比值判别法：lim
u n +1
n →∞u n
2︒. 比较判别法：
1）设u n ≤v n ，而
∑v
n =1
∞
n
收敛，则
∑u
n =1
∞
n
收敛。
2）设u n ≥v n ，而
∑v
n =1
∞
n
发散，则
∑u
n =1
∞
n
发散。
23. 幂级数以及函数的幂级数展开式
幂级数的收敛半径和收敛区间 公式：1︒. 收敛半径R =lim
a n
n →∞a n +1
2︒. 收敛区间：
1）[-R,R] 2）[-R,R） 3）（-R ，R]
设x =R :
∑a n R n
n =1∞
∞
收敛，右边闭
发散，右边开
收敛，左边闭
发散，左边开
n
x =-R :∑a （n -R ）
n =1
3︒.
n x -x ) ∑a （n 0n =1
∞
令x -x 0=R x =x 0+R x -x 0=-R x =x 0-R
幂级数的展开式
2n
x x + ++ 公式：1︒. e =1+x +2! n !
x
357
x x x 2︒. sin x =x -+- 3! 5! 7! 246
3︒. cos x =1-x +x -x
2! 4! 6!
-∞
-∞
-∞
6
x 2x 3x 4
4︒. ln(x +1) =x -+-
2345︒.
1
=1+x +x 2+x 3 1-x
-1
-1