二项式定理测试题及答案

二项式定理测试题及答案

1.有多少个整数n能使(n+i)成为整数（B ） A.0 B.1 C.2 D.3

2. 24

(展开式中不含．．x项的系数的和为（B ）

8

4

A.-1 B.0 C.1 D.2

123

3．若S=A+A+A123+

100

，则S的个位数字是（C ） +A100

A 0 B 3 C 5 D 8 4．已知（x－

a8

）展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和x

是（ C ） 8 A.2

B.3

8

C.1或3

8

D.1或2

8

5

．在100的展开式中，有理项的个数是（ D ） Ａ．15个

Ｂ．33个

24

Ｃ．17个 Ｄ．16个

⎛1⎫x+⎪6.在 ⎪的展开式中，x的幂指数是整数的项共有（C ） x⎭⎝

A．3项 B．4项

5

6

C．5项 D．6项

3

7．在(1－x)－(1－x)的展开式中，含x的项的系数是（ C ）

A、－5 B、 5 C、10 D、－10 8．(1-x)⋅(1+x)的展开式中x3的系数为（ A ）

A．6 B．-6 C．9 D．-9 9．若x=

5

3

110

，则(3+2x)的展开式中最大的项为（B ） 2

4

A.第一项 B.第三项 C.第六项 D.第八项 10.二项式(2x-A．7

1n

)的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（ A ） 33x

B．12

C．14

D．5

2

10

11.设函数f(x)=(1-2x),则导函数f'(x)的展开式x项的系数为（Ｃ ）

A．1440 B．-1440 C．-2880 D．2880 12．在(x+

1

-1)5的展开式中，常数项为（ B ） x

+ax3+bx2+

+1(n∈N*)，且a:b=3:1，则n的值为（ Ｃ ）

（A）51 （B）－51 （C）－11 （D）11 13．若(x+1)n=xn+Ａ．9

Ｂ．10

2

10

Ｃ．11 Ｄ．12

910

14．若多项式x+x=a0+a1(x+1)+⋅⋅⋅+a9(x+1)+a10(x+1)，则a9=（ ）

（A） 9 （B）10 （C）-9 （D）-10 解：根据左边

x

10

的系数为1,易知

a10=1，左边x的系数为0,右边x的系数为

99

a9+a10C10=a9+10=0,∴

n

9

a

9

=-10 故选D。

15．若x(1+x)的展开式中的每项的系数都用这一项的x的指数去除，则得到的新系数和等于（ A ）

n+1nn-1n

A.(2-1)／(n+1) B.(2-1)／(n+1) C.(2+n-2)/(n+1) D.(n·2+1)/(n+1)

16．设a、b、m为整数（m>0),若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余.记为

2320

a≡b(mod m).已知a=1+C120+C20·2+C20·2+…+C20·2，b≡a(mod 10)，则b的值可以

2

19

是（ B ）

A.2015 B.2011 C.2008 D.2006

sinθ

-x)6展开式的常数项为20，则θ值为（ B ） x

ππππ

A. 2kπ+(k∈Z) B. 2kπ-(k∈z) C. D. -

2222

17.若二项式(

18．53被8除的余数是（ A ）

A、1 B、2 C、3 D、7

1223344

19已知x=2+i，设M=1-C4x+C4x-C4x+C4x，则M的值为（ B ）

10

A 4 B -4i C 4i D

6

20.数(1.05)的计算结果精确到0.01的近似值是………………………（ C ） A.1.23 B.1.24 C.1.33 D.1.44

21.(x+1)(2x+1)(3x+1)…(nx+1)的展开式中，x的系数是…………………（ B ）

-1222

A.Cnn B.Cn C.Cn+1 D.Cn-1

二．填空题

x-7220、已知3Cx-3=5Ax-4,则x=_____11_____________

21、（x-1）（x+2）（x-5）（x+7）（x-10）中x的系数为_____-7__________

22.若对任意实数x,y都有(x-2y)5=a0(x+2y)5+a1(x+2y)4y+a2(x+2y)3y2+a3(x+2y)2y3+

4

+a4(x+2y)y4+a5y5，则a0+a1+a2+a3+a4+a5=23设a

为sinxx(x∈R)的最大值，

则二项式(是 -192 24

已知等式(1+x-x2)3⋅(1-2x2)4=a0+a1x+a2x2+ +a14x14

成立，则

6展开式中含x2项的系数

a1+a2+a3+ +a13+a14的值等于 0 .

25、(x-2)2006的二项展开式中，含x的奇次幂的所有项的和为S，当x=于

26设二项式(3x+

2时，S等

1n

)的展开式的各项系数之和为P，所有二项式系数之和为S，若x

P+S=272，则n= . 三．解答题

27、某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了五种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种？（要求写出必要的解答过程）

2

解：在5种不同的荤菜中取出2种的选择方式应有C5=10种，设素菜为x种，则

22

Cx⋅C5≥200解得x≥7，

28、已知(x+x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x-1)n的展开式的系数和大992,求

1

(2x-)2n的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.

x

解：（1）n=5，—8064

4

(2)—15360x

解：由题意22n-2n=992,解得n=5。

①(2x-)10的展开式中第6项的二项式系数最大,

5

即T6=T5+1=C10⋅(2x)5⋅(-)5=-8064.

1

x

1x

②设第r+1项的系数的绝对值最大,

rr

则Tr+1=C10⋅(2x)10-r⋅(-)r=(-1)r⋅C10⋅210-r⋅x10-2r

r10-rr-1rr-1

⎧⎧≥C10⋅210-r+1⎧11-r≥2r⎪C10⋅2⎪C10≥2C10 ∴⎨r,得,即 ⎨⎨10-rr+110-r-1rr+12(r+1)≥10-r⎪⎪C⋅2≥C⋅22C≥C⎩1010⎩10⎩10

811

∴≤r≤,∴r=3,故系数的绝对值最大的是第4项.

33

1

x

29、(12分)

在二项式1n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列

（1）求展开式的常数项； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中各项的系数和。 解:展开式的通项为Tr+1

1=(-)rCrnx

2

n-2r3

，r=0，1，2，…，n

[1**********]2

由已知：(-)Cn,()Cn,()Cn成等差数列，∴ 2⨯Cn=1+Cn∴ n=8

22224（1）T5=

351 （2）T5二项式系数最大 （3）令x=1，各项系数和为 8256

30.已知(x+

12⋅x

)n的展开式前三项中的x的系数成等差数列.

（1）求展开式中所有的x的有理项；

（2）求展开式中系数最大的项.

解：（1）展开式前三项的系数分别为

1n2121

=,Cn⋅()=n(n-1). 2228n1

由题设可知：2⋅=1+n(n-1)

28

12

Cn=1,Cn⋅

解得：ｎ＝8或ｎ＝1（舍去）.

r

当ｎ＝8时，Tr+1=C8(x)8-r⋅(2⋅x)-r＝C8r⋅2-r⋅x

3

4-r4.

据题意，4－

而0≢r≢8，∴r＝0,4，8.

3

r必为整数，从而可知r必为4的倍数， 4

故x的有理项为：T1=x4，T5=

3512

x，T9=x. 8256

（2）设第r＋1项的系数tr+1最大，显然tr+1＞0， 故有

tr+1t

≣1且r+2≢1.

tr+1tr

C8r⋅2-rtr+19-r

∵＝r-1-r+1=，

tr2rC8⋅2

由

9-r

≣1，得r≢3. 2r

C8r+1⋅2-r-12(r+1)tr+2

∵＝， =r-r

tr+18-rC8⋅2

由

2(r+1)

≢1，得r≣2.

8-r

52

74

∴r＝2或r＝3，所求项分别为T3=7x和T4=7x.

31、(12分)已知m,n是正整数，f(x)=(1+x)+(1+x)的展开式 中x的系数为7，

（1） 试求f(x)中的x的系数的最小值；9

（2） 对于使f(x)的x的系数为最小的m,n，求出此时x的系数；5

2

3

2

mn

)的近似值（3） 对于使f(x)的x的系数为最小的m,n，求此时f(0.003（精确到0.01）；

2.02

2

1n

)展开式中有第六项的二项式系数最大，求：(1)展开式中不含x项；x2

1112131n0n

(2)Cn-Cn+Cn-Cn+…+(-1)·nCn的值.

2482

32、已知(x+

3

答案.(1)210，(2)

1 1024

mn12

33．在二项式（ax+bx）（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项. （1）求它是第几项；（2）求

a

的最值. b

m

12－r

r

解：（1）设Tr+1=C12（ax）r

·（bx）=C12a

n

r

12－r

brxm（12－r）+nr为常数项，则有m（12－r）

+nr=0，即m（12－r）－2mr=0，∴r=4，它是第5项.

（2）∵第5项又是系数最大的项，

43C12ab≣C12ab①

84

93

∴有45C12ab≣C12ab②

84

75

12⨯11⨯10⨯98412⨯11⨯1093

ab≣ab，

4⨯3⨯23⨯2

a99

∵a＞0，b＞0，∴ b≣a，即≢.

44b

a8a89

由②得≣，∴≢≢.

5b45b

a98

故的最大值、最小值分别为、.

45b

由①得

1n-12n-2

35．已知Sn=2n+Cn2+Cn2+

n-1

求证：当n为偶数时，Sn-4n-1能+Cn2+1(n∈N*)，

被64整除．

证明：Sn=(2+1)n=3n，

∵n为偶数，设n=2k(k∈N*)，

1k-3

∴Sn-4n-1=9k-8k-1=(8+1)k-8k-1=(Ck08k-2+Ck8+

+Ckk-2)·82， (*)

当k=1时，9k-8k-1=0，显然Sn-4n-1能被64整除； 当k≣2时，(*)式能被64整除． ∴n为偶数时，Sn-4n-1能被64整除．

例4. 已知二项式(x-

2n*

)，（n∈N）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的 2x

比是10：1，

（1）求展开式中各项的系数和

（2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项 解：（1）∵第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，

∴C

42n

4

⋅(-2)n

⋅(-2)2

=

10

，解得n=8 1

8

令x=1得到展开式中各项的系数和为(1-2)=1

(2) 展开式中第r项, 第r+1项,第r+2项的系数绝对值分别为

CC

r-18

⋅2n-r,C8⋅2r,C8⋅2r+1,

⋅2n-r≢C8⋅2r 并且C8⋅2r+1 ≢C8⋅2r，解得5≢r≢6；

r

r+1

r

rr+1

若第r+1项的系数绝对值最大,则必须满足：

r-18

所以系数最大的项为T7=1792⋅

11

⋅；二项式系数最大的项为T=1120 5611

xx