全等三角形解题方法
略说全等三角形解题方法
证明三角形全等的基本思路
在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS ”，“SAS ”，“ASA ”，“AAS ”，“HL ”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS ”或再找第三组对应边用“SSS ”；若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA ”或“AAS ”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS ”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL ”。上述可归纳为：
⎧⎧S (用S S S ) ⎪S ⎨
⎪⎩A (用S A S ) S ⎨ ⎪⎧S (用S A S ) A
⎪⎨A (用A A S 或A S A ) ⎩⎩
证明三角形全等的方法
１、平移法构造全等三角形
例１如图１所示，四边形A B C D 中，A C 平分∠D A B ，若A B >A D ，D C =B C ，求证：
∠B +∠D =180︒。
分析：利用角平分线构造三角形，将∠D 转移到∠A E C ，而∠A E C 与∠C E B 互补，
∠C E B =∠B ，从而证得∠B +∠D =180︒。主要方法是：“线、角进行转移”。
证明：在A B 上截取A E =A D ，
在∆A D C 与∆A E C 中，
⎧A D =A E ⎪
⎨∠D A C =∠E A C ⎪A C =A C ⎩
D
C
A
E
B
∴ ∆A D C ≌∆A E C （SAS ） ∴ ∠D =∠A E C , D C =C E , ∵ D C =B C , ∴ C E =B C ， ∴ ∠C E B =∠B ,
∵ ∠C E B +∠A E C =180︒, ∴ ∠B +∠D =180︒. ２、翻折法构造全等三角形
图１
例２如图２所示，已知∆A B C 中，A C =B C ，∠A C B =90︒，B D 平分∠A B C ，求证：
A B =B C +C D 。
证明：∵ B D 平分∠A B C ，将∆B C D 沿B D 翻折后，点C 落在A B 上的点E ，则有B E =C E ，
在∆B C D 与∆B E D 中，
B
⎧B C =B E ⎪
⎨∠C B D =∠E B D ⎪⎩
B D =B D ∴ ∆B C D ≌∆B E D （SAS ） ∴ ∠D E A =∠A C B =90︒, C D =D E ,
C
∵ 已知∆A B C 中，A C =B C ，∠A C B =90︒， ∴ ∠A =45︒,
∴ ∠E D A =∠A =45︒, ∴ D E =E A ,
∴ A B =B E +E A =B C +C D 。 3、旋转法构造全等三角形
例3 如图3所示，已知点E 、F 分别在正方形A B C D 的边
B C 与C D 上，并且A F 平分∠E A D ，求证：B E +D F =A E 。
分析：本题要证的B E 和D F 不在同一条直线上，因而要设法
将它们“组合”到一起。可将∆A D F 绕点A 旋转90︒到∆A B G ，则∆A D F ≌∆A B G ，B E =D F ，从而将B E +B G 转化为线段
G E ，再进一步证明G E =A E 即可。证明略。
4、延长法构造全等三角形
例4 如图4所示，在∆A B C 中，∠A C B =2∠B ，
∠B A D =∠D A C ，求证：A B =A C +C D 。
分析：证明一条线段等于另两条线段之和，常用的方法是延长一条短线段使其等于长线段，再证明延长部分与另一短线段相等即可；或者在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下部分等于另一条短线段。本题可延长A C 至E ，使A E =A B ，构造
∆A B D ≌∆A E D ，然后证明C E =C D ，就可得A B =A C +C D 。
5、截取法构造全等三角形
例5 如图5所示，在∆A B C 中，边B C 上的高为A D ，又
∠B =2∠C ，求证：C D =A B +B D 。
分析：欲证明C D =A B +B D ，可以在C D 上截取一线段等于B D ，再证明另一线段等于A B 。如果截取D E =B D （如图所
D
A
图 2
A
D
F
G
B
E
C
图 3
A
B
D
图 4 E
A
B
D
E
C
图 5
示），则∆A D E 可认为而∆A D B 沿A D 翻折而来，从而只需证明C E =A E 即可。证明略。
构造全等三角形解题的技巧
全等三角形是初中几何《三角形》中的一个重要内容，是初中生必须掌握的三角形两大知识点之一（全等和相似），在解决几何问题时，若能根据图形特征添加恰当的辅助线，构造出全等三角形，并利用全等图形的性质，可以使问题化难为易，出奇制胜，现举几例供大家参考。
友情提示：证明三角形全等的方法有SAS 、SSS 、AAS 、ASA 、HL （Rt△）。 一、见角平分线试折叠，构造全等三角形
例1 如图1，在△ABC中，AD 平分∠BAC，AB+BD=AC。 求证：∠B：∠C=2：1。
证法一：在线段AC 上截取AE=AB，连接DE 。
在△ABD和△AED中， ∵AE=AB，∠1=∠2，AD=AD， ∴△ABD△AED。
∴DE=DB，∠B=∠AED。
∵AB+BD=AC， ∴AE+DE=AC。 又∵AE+CE=AC， ∴DE=CE。
∴∠C=∠EDC。 ∵∠AED=∠C+∠EDC，
∴∠AED=2∠C，即∠B=2∠C。 ∴∠B：∠C=2：1。
图1
证法二：延长AB 到F ，使BF=BD，连接DF 。 ∴∠F=∠BDF。
∵∠ABC=∠F+∠BDF， ∴∠ABC=2∠F。 ∵AB+BD=AC， ∴AB+BF=AC，
即AF=AC。
在△ADF和△ADC中，
∵AF=AC，∠1=∠2，AD=AD， ∴△ADF△ADC。
∴∠F=∠C。 又∵∠ABC=2∠F， ∴∠ABC=2∠C，
即∠ABC：∠C=2：1。
图2
点评：见到角平分线时，既可把△ABD沿AD 折叠变成△AED，也可把△ACD沿AD 折叠变成△AFD，利用全等三角形的性质，可使问题得以解决。
练习：如图3，△ABC中，AN 平分∠BAC，CN⊥AN于点N ，M 为BC 中点，若AC=6，AB=10，求MN 的长。
图3
提示：延长CN 交于AB 于点D 。 则△ACN△ADN，
∴AD=AC=6。 又AB=10，则BD=4。 可证为△BCD的中位线。 ∴
。
点评：本题相当于把△ACN沿AN 折叠成△AND。
二、见中点“倍长”线段，构造全等三角形
例2 如图4，AD 为△ABC中BC 上的中线，BF 分别交AC 、AD 于点F 、E ，且AF=EF，求证：BE=AC。
图4
证明：延长AD 到G ，使DG=AD，连接BG 。 ∵AD为BC 上的中线，
∴BD=CD，
在△ACD和△GBD中，
∵AD=DG，∠ADC=∠BDG，BD=CD， ∴△ACD△GBD。
∴AC=BG，∠CAD=∠G。 ∵AF=EF，
∴∠CAD=∠AEF。
∴∠G=∠AEF=∠BEG，
∴BE=BG，∵AC=BG，∴BE=AC。
点评：见中线AD ，将其延长一倍，构造△GBD，则△ACD△GBD。
例3 如图5，两个全等的含有、角的三角极ADE 和ABC 如图放置，E 、A 、C 三点在同一直线上，连接BD ，取BD 中点M ，连接ME 、MC
图5
试判断△EMC的形状，并说明理由。 解析：△EMC为等腰直角三角形。
理由：分别延长CM 、ED ，使其相交于点N ， 可证△BCM△DNM。 则BC=DN，CM=NM。 由于△DEA△ACB，
则DE=AC，AE=BC， ∴DE+DN=AC+AE。 即EN=EC，
则△ENC为等腰直角三角形。
∵CM=NM， ∴EM⊥CN，
则可知△EMC为等腰直角三角形。
注：①本题也可取EC 的中点N ，连接MN ，利用梯形中位线定理来证明。
②亦可连接AM ，利用角的度数来证明。
练习1：如图6，在平行四边形ABCD 中，E 为AD 中点，连接BE 、CE ，∠BEC=
，
图6
求证：（1）BE 平分∠ABC。
（2）若EC=4，且，求四边形ABCE 的面积。 提示：见图中所加辅助线，证△ABE△DFE。
练习2：△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB 的取值范围为多少？
注：延长AD 到E ，使DE=AD，连接BE 。 则△BDE△CDA。
∴BE=AC=5，DE=AD=7。
在△ABE中，BE=5，AE=14。
利用三角形三边关系可求线段AB 的取值范围为：9
三、构造全等三角形，证线段的和差关系
例4 如图7，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，且∠1=∠2。
图7
求证：BE+DF=AE。
证明：延长CB 到G ，使BG=DF，连接AG 。
在△ABG和△ADF中， ∵AB=AD，∠ABG=∠D=，BG=DF， ∴△ABG△ADF。
∴∠G=∠AFD，∠4=∠1。
∵∠1=∠2， ∴∠4=∠2。 ∵AB∥CD，
∴∠AFD=∠2+∠3=∠4+∠3=∠GAE。
又∵∠G=∠AFD， ∴∠G=∠GAE。 ∴AE=GE。
∵EG=BE+BG=BE+DF，
∴BE+DF=AE。
从以上几例可以看出，全等三角形在证明中具有出奇制胜的作用。在解决有关角平分线、中点、线段的和差的问题时，通过添加辅助线构造全等三角形的办法，不仅能使问题迎刃而解，而且有助于学生创新思维的培养，提高学生的数学思维能力和分析能力。 见到角平分线时，既可把△ABD沿AD 折叠变成△AED，也可把△ACD沿AD 折叠变成△AFD，利用全等三角形的性质，可使问题得以解决。