第三讲小船渡河问题
第三讲小船渡河问题;竖直平面内的圆周运动
一、设v水为水流速度,v船为船相对静水速度,θ为v船与河岸的夹角,d为河宽,船的实际运动分解为两个方向处理。
二、小船渡河问题的分析与求解方法:
小船渡河问题可以分为四类,即能否垂直于河岸过河、过河时间最短、过河位移最短和躲避障碍四类,考查最多的仍是过河最短时间和最短位移两类。
1、若Vc>Vs,小船要垂直于河岸过河,过河路径最短,应将船头偏向上游,如图1所示:此时过河时间
图2
2、若Vc
。
s
LV
sLcosVc
3、若使小船过河的时间最短,应使船头正对河岸行驶,如图所示:此时过河时间 (d为河宽),此时小船一
定在对岸下游处靠岸。
三、典型题
题型一(Vc>Vs)
1、小船在200m宽的河中横渡,水流速度为2m/s,船在静水中的航速是4m/s,求: (1)怎样渡河时间最短?最短时间多少?此时渡河位移? (2)怎样渡河位移最小?此时渡河时间?
2、在抗洪抢险中,战士驾驶摩托艇救人,假设江岸是平直的,洪水沿江向下游流去,水流速度为V1,摩托艇在静水中的航速为V2,战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d, 如图 ①若战士要想在最短时间内将人送上岸,则 A.摩托艇的头部应向上游开
B.摩托艇的头部应正对O点开
C.摩托艇的头部应向下游开
D.摩托艇的头部应向上游或下游开
②若战士在最短时间内将人送上岸,则最短的时间为
d
A.V1
C.V D. 2V1
③若战士在最短时间内将人送上岸,则登陆的地点距O点的距离
2
2
d
B.V2
d
21
22
dV2
A.;
3、小船匀速横渡一条河流,当船头垂直对岸方向航行时,在出发后40s到达对岸下游120m处,若船头保持与河岸成α角向上游航行,在出发后50s到达正对岸,求: (1)水流的速度;
(2)船在静水中的速度; (3)河的宽度;
(4)船头与河岸的夹角α
1
dV1
V
B.0 C.V2
22
21
dV2
dV2
D.V1
4、在民族运动会上有一个骑射项目,运动员骑在奔驰的马背上,弯弓放箭射击侧向的目标,假设运动员骑马奔驰的速度为v1,运动员静止时射出的弓箭速度为v2,跑道离固定目标的最近距离为d,则 A.要想命中目标且箭在空中飞行时间最短,运动员放箭处离目标的距离为dv2/v1
d1v2
B.要想命中目标且箭在空中飞行时间最短,运动员放箭处离目标的距离为C.箭射到靶的最短时间为d/ v2
D.只要击中侧向的固定目标,箭在空中运动合速度的大小v =
2
2
22
v2
v1v2
5、船以恒定的速率渡河,水流速度恒定(小于船速),已知河床宽d,船在静水中的速度是v1,水流速度是v2,求船最短时间过河的时间T1和最短位移过河的时间T2的比值
6、如图半径为R的大圆盘以角速度ω旋转,如图,有人站在盘边P点上,随盘转动.他想用枪击中在圆盘中心的目标O,若子弹速度为vo,则 ( ) A.枪应瞄准目标O射击
B.应瞄准PO的右方偏过角射击,且cos =ωR/v0 C.应瞄准PO的左方偏过θ角射击,且tan =ωR/v0
D.应瞄准PO的左方偏过角射击,且sin =ωR/v0
7、如图所示,河水流速为v一定,船在静水中的速度为v,若船从A点出发船头分别朝AB、AC方向划行到达对岸,已知划行方向与河的垂线方向夹角相等,两次的划行时间分别为tAB、tAC,则有( ) A.tAB > tAC B.tAB
8、船在静水中速度为v1水流速度为v2,河宽为d。,当船头垂直向对岸航行时,则( ) v2
B 当船速不变,水流速度增大时过河时间不变 C 过河时间最短
D 当船速不变,水流速度增大时,过河时间变长 题型二(Vc
=3 m/s,它要渡过一条水流速度
=5 m/s,河宽150 m的河流,若认为河流笔直且足够长,
则可断定:( )
A.小船可能到达出发点的正对岸 B.小船渡河的最短位移是150 m C.小船渡河时间不能少于50s D.小船根本不可能渡河到达对岸
2、甲船对静水的速度为v1,以最短时间过河,乙船对静水的速度为v2,以最短位移过河,结果两船运动轨迹重合,河速恒定不变,则两船过河时间之比为( )
A、v1/v2 B、v2/v1 C、(v1/v2)2 D、(v2/v1)2 3、船在400米宽的河中横渡,河水流速是4m/s,船在静水中的航速是2m/s,试求: (1)要使船到达对岸的时间最短,船头应指向何处?最短时间是多少? (2)要使船航程最短,船头应指向何处?最短航程为多少 题型三
1、一小船正在渡河,如图所示,在离对岸30m时,其下游40m处有一危险水域,若水流速度为5m/s,为了使小船在危险水域之前到达对岸,那么小船从现在起相对于静水的最小速度应为多大?这时船头的航向如何?
2
2、如图所示,一条小船位于100m宽的河正中A点处,从这里向下游100m处有一危险区,当时水流速度为4m/s,为了使小船避开危险区沿直线到达对岸,小船在静水中的速度至少是( )
A.
4383
m/s B.m/s C.2m/s D.4m/s 33
题型四
1、在抗洪抢险中,战士驾驶冲锋舟救人,假设江岸是平直的,洪水沿江而下,水的流速为5m/s,舟在静水中的航速为l0m/s,战士救人的地点A离岸边最近点0的距离为50m如图,问: (1)战士要想通过最短的时间将人送上岸,求最短时间为多长?
(2)战士要想通过最短的航程将人送上岸,冲锋舟的驾驶员应将舟头与河岸成多少度角开?
(3)如果水的流速是10m/s,而舟的航速(静水中)为5m/s,战士想通过最短的距离将人送上岸,求这个最短的距离.
2、如图所示,甲、乙两同学从河中O点出发,分别沿直线游到A点和B点后,立即沿原路线返回到O点,OA、OB分别与水流方向平行和垂直,且OA=OB。若水流速度不变,两人在靜水中游速相等,则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为( )
A.t甲<t乙 B.t甲=t乙 C.t甲>t乙 D.无法确定
3、船在静水中速度为水流速度为v,河宽为d。,当船头垂直向对岸航行时,则:( ) A.实际航程最短 B.当船速不变,水流速度增大时过河时间不变 C.过河时间最短 D.当船速不变,水流速度增大时,过河时间变长
4、河边有M、N两个码头,一艘轮船的航行速度恒为v1,水流速度恒为v2,若轮船在静水中航行从M到N的时间是t,则 ( )
A.轮船在M、N之间往返一次的时间大于t B.轮船在M、N之间往返一次的时间小于t C.若v2越小,往返一次的时间越短 D.若v2越小,往返一次的时间越长
5、如图所示,甲、乙两运动员同时从水流湍急的河岸下水游泳,甲在乙的下游且游速大于乙.欲使两人尽快在河中相遇,则应选择的游泳方向是( )
A.都沿虚线方向朝对方游 B.都偏离虚线向下游方向
C.甲沿虚线、乙偏离虚线向上游方向 D.乙沿虚线、甲偏离虚线向上游方向
竖直平面内的圆周运动的临界问题
竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。一般情况下,只讨论最高点和最低点的情况,常涉及过最高点时的临界问题。
临界问题的分析方法:首先明确物理过程,正确对研究对象进行受力分析,然后确定向心力,根据向心力公式列出方程,由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系,从而分析找出临界值。
1.“绳模型”如图6-11-1所示,小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。 (注意:绳对小球只能产生拉力)
a
图6-11-1
b
3
(1)小球能过最高点的临界条件:绳子和轨道对小球刚好没有力的作用
v2
mg =m v临界R
(2)小球能过最高点条件:v
(3)不能过最高点条件:v
(当v
(实际上球还没有到最高点时,就脱离了轨道) 2.“杆模型”如图6-11-2所示,小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况 (注意:轻杆和细线不同,轻杆对小球既能产生拉力,又能产生推力。
)
b
图6-11-2
(1)小球能最高点的临界条件:v = 0,F = mg(F为支持力)
(2)当0 F > 0(F为支持力) (3)当v =
F=0
(4)当vF随v
增大而增大,且F >0(F为拉力)
【案例剖析】
例1.长为L的细绳,一端系一质量为m的小球,另一端固定于某点,当绳竖直时小球静止,再给小球一水平初速度v0,使小球在竖直平面内做圆周运动,并且刚好能过最高点,则下列说法中正确的是 ( ) A.球过最高点时,速度为零
B.球过最高点时,绳的拉力为mg
2vC.开始运动时,绳的拉力为m DL
例2:如图6-11-3所示,一轻杆一端固定质量为m的小球,以另一端 O为圆心,使小球做半径为R的圆周运动,以下说法正确的是 ( )
A.球过最高点时,杆所受的弹力可以等于零 B.球过最高点时,最小速度为C.球过最高点时,杆对球的弹力一定与球的重力方向相反
D.球过最高点时,杆对球的弹力可以与球的重力反向,此时重力一定大于杆对球的弹力
例3.绳系着装水的水桶,在竖直平面内做圆周运动,水的质量m = 0.5kg,绳长L = 40cm,求: (1)为使桶在最高点时水不流出,桶的最小速率?
(2)桶在最高点速率v = 3m/s时,水对桶底的压力? 【
知识链接】
如图6-11-4所示,地球可以看作一个巨大的拱形桥,桥面的半径就是地球半径R(约为6400km)。地面上有一辆汽车,重量是G = mg,地面对它的支持力是F。汽车沿南北方向行驶,不断加速。根据上面的分析,汽车速度越大,地
面对它的支持力就越小,会不会出现这样的情况:速度 大到一定程度时,地面对车的支持力是零?这时驾驶员 与座椅之间的压力是多少?驾驶员身体各部分之间的压 力是多少?他这时可能有什么感觉?(g取10m/s2)
练习
图6-11-4
1.如6-11-5所示,细线的一端有一个小球,现给小球一初速度,使小球绕细线另一端O计空气阻力,用F表示球到达最高点时细线对小球的作用力,则F可能 ( )
4
图6-11-6
图6-11-5
A.是拉力B.是推力C.等于零
D.可能是拉力,可能是推力,也可能等于零 2.(1999年 全国)如图6-11-6所示,细杆的一端与小球相连,可绕过O点的水平轴自由转动,现给小球一初速度,使它做圆周运动,图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点,则杆对球的作用力可能是 ( )
A.a处为拉力,b处为拉力B.a处为拉力,b处为推力C.a处为推力,b处为拉力D.a处为推力,b处为推力
3.长为L的轻杆,一端固定一个小球,另一端与光滑的水平轴相连。现给小球一个初速度,使小球在竖直平面内做圆周运动,已知小球在最高点时的速度为v,则下列叙述正确的是 ( )
A.v
B.v由零逐渐增大,向心力也逐渐增大
C.v由零逐渐增大,杆对小球的弹力也逐渐增大 D.v
4.质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动,经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v,当小球以2v的速度经过最高点时,对轨道的压力是 ( )
A.0 B.mg C.3mg D.5mg
5.长为L的细绳一端拴一质量为m计空气阻力,设小球通过最低点和最高点时的速度分别为v1和v2F1、F2,则 ( )
A.v
1 B.v2= 0 C. F1= 5mg D.F2= 0
6.质量可忽略,长为L的轻棒,末端固定一质量为m的小球,要使其绕另一端点在竖直平面内做圆周运动,那么小球在最低点时的速度v必须满足的条件为 ( )
A.v
B.v
C.v≥
2 D.v
7.如图6-11-7所示,一个高为h的斜面,与半径为R的圆形轨道平滑地连接在一起。现有一小球从斜面的顶端无初速地滑下,若要使小球通过圆形轨道的顶端B而不落下,则斜面的高度h应为多大?
8.如图6-11-8所示,杆长为L,杆的一端固定一质量为m的小球,杆的质量忽略不计,整个
系统绕杆的另一端O在竖直平面内作圆周运动,求:
(1)小球在最高点A时速度vA为多大时,才能使杆对小球m的作用力为零?
(2)小球在最高点A时,杆对小球的作用力F为拉力和推力时的临界速度是多少?
图6-11-7
(3)如m = 0.5kg, L = 0.5m, vA= 0.4m/s, 则在最高点A和最低点B时, 杆对小球m的作用力各是多大? 是推力还是拉力? 【拓展提高】
9.如图6-11-9所示,固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道ABCD
D点为轨道最高点,DB为竖直线,AC为水平线,AE为水
平面,今使小球自A点正上方某处由静止释放,且从A点进入 圆形轨道运动,通过适当调整释放点的高度,总能保证小球最终 通过最高点D,则小球在通过D点后 ( )
A.会落到水平面AE上
B.一定会再次落到圆轨道上 C.可能会落到水平面AE上 D.可能会再次落到圆轨道上 10.如图6-9-10所示,半径为R,内径很小的光滑半圆管竖直放 图6-11-9 置,AB段平直,质量为m的小球以水平初速度v0射入圆管。
(1)若要小球能从C端出来,初速度v0多大? (2)在小球从C端出来瞬间,对管壁压力有哪 几种典型情况,初速度v0各应满足什么条件?
v
图6-11-8
家长签名:
5