抛物面反射镜光轴的确定

第29卷第2期应用光学V ol. 29N o. 2

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2008年3月Jo ur nal o f A pplied O ptics M ar. 2008文章编号:1002-2082(2008) 02-0225-05

抛物面反射镜光轴的确定

陈钦芳, 徐昌杰, 王青松

(西安工业大学陕西省薄膜技术与光学检测重点实验室, 陕西西安710032)

摘　要:　介绍了一种确定抛物面反射镜光轴的新方法。当抛物面反射镜绕着机械旋转轴旋转时, 利用2束平行光(一束与机械旋转轴平行的光和一束与机械旋转轴成一定角度的斜平行光) 经抛物面反射镜反射的像点运动, 调整抛物面反射镜的位置, 使光轴与机械旋转轴重合。理论分析结果表明:其定轴的倾斜误差不大于1′, 平移误差不大于5 m 。该方法可用于抛物面反射镜检验, 也可用于抛物面反射镜的调校工艺中。关键词:　反射抛物面; 定光轴; 非球面加工

中图分类号:T N 205-32　　　　　　文献标志码:A

Alignment for optical axis of parabolic mirror

CHEN Qin-fang , XU Chang-jie, WANG Qing-song

(Xi ′an T echnolog ical U niver sity , X i ′an 710032, China)

Abstract :A new metho d to align the o ptical ax is of parabo lic m irrors is introduced . T he po sition of the mirr or w as adjusted to alig n its optical ax is w ith the slew ing ax is by utilizing the mo vem ent of the image points o f tw o parallel beam s (one beam parallel to the slew ing ax is and ano ther beam oblique to slewing axis w ith angle ) reflected by the parabolic mirro r , w hen the par abolic m irror is r otating on the mechanical axis. The theoretical analysis show s that the tilted error of the metho d is less than 1′and the deviatio n erro r is less than 5 m. This m ethod can be used to the detectio n and optical adjustment o f parabolic mirro rs.

Key words :reflecting paraboloid ; alignment of o ptical ax is ; aspher ic processing

引言

反射非球面在光学系统中得到越来越广泛的应用, 对于反射非球面光轴的确定是非球面应用中的重要问题[1-3]。本文对反射抛物面光轴的确定提出了一种新的方法。

抛物面是轴对称二次曲面, 抛物面反射镜的几何旋转对称轴线就是它的光轴。由轴对称二次曲面的性质知, 抛物面顶点O 的曲率中心C 必落在抛物面反射镜的光轴OO ′上, 如图1

所示。

图1　抛物面反射镜的特性Fig . 1　Property of parabolic mirrors

　　无限远轴上物点经抛物面反射镜后成像在像

收稿日期:2007-07-29; 　修回日期:2007-09-14

基金项目:陕西省薄膜技术与光学检测重点实验室开放基金(605-01000105)

作者简介:陈钦芳(1982-) , 女, 福建闽侯人, 硕士研究生, 主要从事非球面检测研究工作。E-

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应用光学　2008, 29(2) 　陈钦芳, 等:抛物面反射镜光轴的确定

方焦点F ′处, 即与光轴平行的光束经抛物面反射镜反射后反射光线必通过F ′点, F ′必在光轴上, 过F ′与抛物面反射镜光轴垂直的平面是它的像方焦平面。无限远轴外物点B 经抛物面反射镜后, 成像在像方焦平面B ′, 即斜平行光束经抛物面反射镜反射后会聚于B ′, B ′点可由以入射角i 入射的斜平行光束中取一条射向顶点O 的光线和以i ′角反射与焦平面相交点获得。

∠aOa ′=∠OA ′=2i K ′在△OQA ′中, ∠OQA ′=i

易证OF ′=QF ′, 即F ′为OQ 的中点, 由抛物面的几何性质知, 焦点F ′是OC 的中点, C 为抛物面顶点O 的曲率中心, 故Q 点和C 点重合。由此可得, 当与K K ′轴平行的光束经抛物面反射镜反射后的像点在抛物面反射镜绕着K K ′轴旋转时不动, 即A ′A ′

在K K ′轴上时, 抛物面顶点的曲率中心C 也必在K K ′轴上。

如图3所示, 抛物面 1顶点O 1的曲率中心C 1

位于K K ′轴上时, 有一束与K K ′轴倾斜的平行光b 1b 2射向抛物面反射镜, 其反射像必在焦平面d 1d 1′与b 1O 1的反射光线O 1b 1′的交点B 1′处, 当抛物面反射镜绕机械旋转轴旋转180°至 2位置时, 光轴为O 2O 2′, 此时, 抛物面的焦平面位于d 2d 2′, 斜平行光束的反射像必在焦平面d 2d 2′与b 2O 2的反射光线的交点B 2′处, 显然, 当抛物面反射镜绕着K K ′O 2b 2′

轴旋转时, 像点在封闭曲线上周期转动, 只有当抛物面反射镜的光轴与机械旋转轴K K ′重合时, 斜平行光束的像点B 1′(B 2′) 才会停止周期性转动, 此时像点不动。

1　定光轴原理

图1中, 抛物面反射镜安置于装夹机构上, 装夹机构的机械旋转轴为K K ′。当抛物面反射镜的光轴OO ′与K K ′轴重合, 且抛物面反射镜绕着机械旋转轴K K ′旋转时, 无限远轴上物点的像F ′和无限远轴外的物点B 的像B ′是不动的。

下面讨论一种特殊情况, 如图2所示, OO ′为抛物面反射镜的光轴, O 为顶点, K K ′为装夹机构的机械旋转轴。有一束与K K ′轴平行的光束入射在抛物面反射镜上, 光束经反射后会聚于抛物面反射镜的焦平面dd ′上。光线aO 是与K K ′平行的光束中射向顶点O 的一条光线, OO ′是光线aO 的法线, 入射角i 和反射角i ′相等, 反射光线O a ′与像方焦平面dd ′的交点A ′为物方平行于K K ′轴光束的会聚点。若A ′刚好落在K K ′轴上, 且抛物面反射镜绕K K ′轴旋转时, 像点A ′是不动的, 但此时抛物面反射镜的光轴OO ′并没有与机械旋转轴K K ′

重合。

　　图3　顶点曲率中心落在机械旋转轴K K ′上,

斜平行光束入射所成的像

Fig . 3　Image f ormed by incidence of tilted parallel

　　　图2　光轴OO ′与机械旋转轴K K ′不重合

但像点不动的特殊情况

Fig . 2　Special phenomenon that the image point is

unmoved while optical axis OO ′misaligns with mechanically slewing axis KK ′

beam

while

apical

centre

of

parabolic

curvature is in slewing axis KK ′

综上所述, 当斜平行光束射入抛物面反射镜(抛物面反射镜绕装夹机构的机械轴旋转) 时, 若通过调节抛物面反射镜使得斜平行光的反射像点不动, 则表明抛物面反射镜的光轴与装夹机构的机械轴重合。

如图2所示, 由于入射光线、反射光和法线必在同一个平面内, 像点A ′落在K K ′轴上, 光线aO 与轴平行, 所以入射光线aO 、反射光线Oa ′、光轴

K K ′

和K K ′轴必在同一个平面内。设K K ′轴与光轴OO ′

OO 2　实验装置和定轴

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平面上分别安装分划板十字线, 其十字线的中心点1和12分别位于斜平行光管2和平行光管11的物方焦点上, 它们分别产生与装夹机构的机械旋转轴平行的光束和成一定角度的斜平行光束。上述2束平行光经半透半反镜3射向抛物面反射镜4。与装夹机构的机械旋转轴K K ′平行的光束, 经抛物面反射镜4和半透半反镜3反射后, 成像在CCD9上; 与装夹机构的机械旋转轴K K ′成一定角度的斜平行光束, 经抛物面反射镜4和半透半反镜3反射后, 成像在CCD10上, CCD 接收到的信号通过图像采集卡8在计算机7上显示。抛物面反射镜通过三维调节架5与装夹机构6联结, 三维调节架可以使抛物面反射镜的光轴在X 和Y 方向上平移, 并可改变光轴与Z

轴的夹角。

抛物面反射镜的光轴与装夹机构的机械旋转轴相交但不重合, 即倾斜一个角度;

2) 平移误差

抛物面反射镜的光轴与装夹机构的机械轴平行但不重合[4-5]。

我们讨论抛物面反射镜的定轴精度时, 分别对上述2种误差进行讨论。实验中用逐行扫描面阵CCD 1. 27cm 图像传感器接收抛物面反射镜的反射像点, 通过图像采集卡在计算机显示屏上显示。CCD 对像点的转动判读误差是一个像素, 即反射像点如果在一个像素范围内运动, CCD 分辨不出来。由于人眼的极限分辨角为1′, 如果人眼在距离计算机显示屏250mm 的明视距离处观察, 能分辨的两物点的线距离约为75 m , 而CCD 的像素大小为9 m ×9 m , 如果在43. 18cm 的显示屏上同时显示2个CCD 接收到的图像信号, CCD 的一个像素对应到显示屏上被放大了20倍, 远大于人眼所能分辨的最小距离, 所以我们以CCD 的一个像素作为转动判读的误差是可行的。3. 1　倾斜误差

若抛物面反射镜的光轴与机械旋转轴之间只有倾斜误差, 如图5所示, 抛物面反射镜的光轴OO ′与机械旋转轴K K ′之间的夹角为 , 用一束与机械旋转轴K K ′平行的光束入射于抛物面反射镜, 其光路图的作图原理同图2, 顶点O 对机械旋转轴K K ′的偏离是h , 点C 是抛物面的顶点O 的曲率中心, 入射光线eO 的反射光线Oe ′与像方焦平面d d ′的交点轴平行的光束经抛物面反射镜后的P , 亦即与K K ′

会聚点。图5中P E 垂直于eO , 交K K ′于D , 设抛物面反射镜的顶点曲率半径为r , 则OF ′=r /2。

1. 十字线中心; 2. 斜平行光管; 3. 半透半反镜; 4. 被检测抛面反射镜; 5. 三维调节器; 6. 装夹机构; 7. 计算机; 8. 图像采集卡; 9. CCD; 10. CCD ; 11. 平行光管; 12. 十字线中心

图4　实验装置图

Fig . 4　Sketch of experimental set -up

由于光轴与K K ′轴不重合, 当抛物面反射镜4绕着装夹机构的机械旋转轴转动时, 在计算机显示屏上观察CCD9和CCD10接收到的像点位置会作周期性转动, 在与机械轴正交的方向即X 和Y 方向上调整抛物面反射镜, 直到CCD 9上接收到的像点不动, 则表明抛物面反射镜的顶点曲率中心落在机械旋转轴K K ′上。进而调整抛物面反射镜的光轴与轴的夹角, 使得CCD10上接收到的像点也不动。经过反复调整直到同时满足上述2个像点不动时, 抛物面反射镜的光轴与机械旋转轴重合。

图5　与机械旋转轴K K ′平行的光束入射时的反射像

　　Fig . 5　Reflected image of incident beam

parallel to slewing axis KK ′

3　精度分析

抛物面反射镜的光轴和机械旋转轴之间的定轴误差可分解为2种:

在直角△GF ′O 中, ∠GOF ′=i = , F ′G =OF ′・tan i =tan 2

(1)

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PG =2・F ′G =r tan 在直角△GEP 中, ∠GPE = ,

(2)

反射后的会聚点。图6中O 1H 平行于K K ′, P 1L 垂直于O 1H , 交K K ′于J 。在直角△H F 1′O 1中, ∠H O 1F 1′= ,

・tan =tan (5) F 1′H =O 1F 1′2

由反射定理可知, ∠F 1′O 1P 1=i 1′=i 1= + , 在直角△P 1F 1′O 1中, 有:

=O 1F 1′・tan i 1′=tan ( + ) P 1F 1′2

在直角△H L P 1中, ∠H P 1L = , 则

[tan( + ) +tan ]cos 2

所以像点P 1到机械旋转轴K K ′的距离l 1为

l 1=P 1J =P 1L -J L =

[tan( + ) +tan ]cos -h 2

(8) (6)

=r ・tan ・cos =r sin (3) PE =P G ・cos

故反射像点P 到机械旋转轴K K ′的距离l 为

l =PD =P E -DE = r sin -h

(4)

当抛物面反射镜绕着机械旋转轴K K ′旋转时, 十字线像的中心在CCD 像面上绘出一个直径为2l 的圆。

如果用一束与机械旋转轴成 角的斜平行光t 1t 2入射于抛物面反射镜, 如图6所示, 其光路图的作图原理同图3, 斜光线t 1O 1的反射光线O 1t 1′与像方焦平面d 1d 1′的交点P 1

就是斜平行光束经抛物面

P 1L =P 1H ・cos =(P 1F 1′+F 1′H ) ・cos =

(7)

同理, 当抛物面反射镜绕着机械旋转轴K K ′旋转180°时, 得到像点P 2, 此时 和h 的符号与反射像点P 1的刚好相反, 故将- 和-h 代入(8) 式可得的距离l 2:P 2到机械旋转轴K K ′

　　　图6　与机械旋转轴K K ′成 角斜平行

光束入射时的反射像

Fig . 6　Ref lected image of parallel beam with

angle to slewing axis KK ′

- ) -tan ]cos +h (9) l 2=2[tan (

(8) 式减去(9) 式就是CCD 像面上接收到像点P 1到P 2的位置变化 :

= l 1-l 2 =

[tan( + ) -tan ( - ) ]cos +r sin -2h =2[tan( + ) -tan( - ) ]co s -r sin +2(r sin -h ) 2

(10)

　　如果通过调整抛物面反射镜, 使得像点的变化范围在CCD 的一个像素内, 设CCD 的像素大小是 × , 此时即使抛物面反射镜的光轴OO ′与机械旋转轴K K ′之间还有残余的倾斜角度, 但CCD 已经判别不出来了, 这个残余的角度就是定轴的倾斜误

2 r sin -h ≤

差。要使得像点的变化范围在CCD 的一个像素内, 则必须满足:

2l ≤

≤

将(4) 式和(10) 式代入(11) 式, 有:

(11)

[tan( + ) -tan( - ) ]co s -r sin +2(r sin -h ) ≤ 2

易证当 ≥0, ≥0时:

[tan( + ) -tan( - ) ]cos -r sin ≥02

因此, 若

(12)

2(r sin -h ) =- (14) 则(12) 式中 有最大值, 将(14) 式代入(12) 式, 可

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[tan ( + ) -tan ( - ) ]co s -r sin ≤2 2

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(15)

以提高转动的鉴别精度以达到提高定轴精度的目的。

本文的定轴原理也可以推广到椭球面反射镜和双曲面反射镜等轴对称二次曲面反射镜。

参考文献:

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Acta

3. 2　平移误差

如果抛物面的光轴OO ′与机械旋转轴K K ′之间只有平移误差, 则令(12) 式中 =0, 于是:

h ≤

2

(16)

2

以母线方程x =的抛物面反射镜为y 2×500例, 若斜平行光的入射角度 =20°, CCD 的像素大小为9 m ×9 m , 即CCD 的转动判读精度 =9 m 。将上述数据代入(15) 式和(16) 式, 可得到检测系统的倾斜误差 =0. 9342′, 平移误差h =4. 5 m 。

设回转轴系旋转一圈引起的偏摆误差为 轴=4″, 径向晃动为h 轴=2 m, 则整个实验装置的定轴精度如下:

倾斜误差为　 总=

+ =

2

检

2

轴

(0. 9342′) +(4″/60) ≈1′

2

平移误差为h 总=

h 检+h 轴=

2

4. 5+2

≈5 m

4　结论

本文介绍的方法可用于抛物面反射镜检验和抛物面反射镜的调校工艺中。

由(15) 式知, 如果增大斜平行光的入射角度, 可以提高抛物面反射镜的定轴精度, 但随着角度的变大, 像散导致成像的质量变差, 如果经由抛物面反射镜反射的光再经一个凹面镜反射, 就可以减少像散, 提高像质; 此外, 还可以通过显微系统将抛物面反射镜所成的像放大后再由CCD 接收, 这样可

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