椭圆的几何性质
椭圆的几何性质
【基础知识精讲】
x 2y 222
1. 椭圆a +b =1(a>b >0) ,范围:椭圆位于直线x=±a 和y=±b 所围成的矩形里,即|x |≤a ,|y |≤
b.
2. 对称性:椭圆关于x 轴,y 轴和原点都是对称的. 坐标轴为椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,即为椭圆的中心.
3. 顶点:椭园与坐标轴的交点为椭圆的顶点为A 1(-a,0),A 2(a,0),B 1(0,b),B 2(0,-b)
c
4. 离心率:e=a ,(o<e <1),e 越接近于1,则椭圆越扁;e 越接近于0,椭圆就越接近于圆.
5. 椭圆的第二定义:平面内的点到定点的距离和它到定直线的距离的比为常数e(0<e <1) 的点的轨迹. 定点即为椭圆的焦点,定直线为椭圆的准线.
x 2y 222
6. 椭圆的焦半径公式:设P(x0,y 0) 是椭圆a +b =1(a>b >0) 上的任意一点,F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点,
则|PF 1|=a+ex0, |PF 2|=a-ex0.
⎧x =a cos ϕ(ϕ是参数) ⎨
y =b sin ϕ7. 椭圆的参数方程⎩
本节学习要求:
椭圆的几何性质内容多. 它与直线的位置关系的确定离不开一元二次方程中的判别式及韦达定理. 如椭圆中的弦
222
长问题:若直线y=kx+b和二次曲线Ax +Cy+Dx+Ey+F=0相交,所得弦长可由下法求之,由两方程中消去y ,得ax +bx+c=0,
(1+k 2)
记△=b-4ac, 则弦长=; 若弦过焦点,则用焦半径公式更为简洁. 这要求大家针对具体的题目,灵活采用方法计算弦长或与焦半径有关的问题.
2
a
【重点难点解析】
通过“圆的方程”的学习我们知道,圆的几何性质问题用代数的方法解题简便,计算量小的特点,同样,椭圆也有类似的几何性质,那么在学习本节之前要复习椭圆的定义及标准方程,在此基础上来学习椭圆的几何性质,掌握椭圆的性质,标准方程,及椭圆的第二定义.
22
例1 设直线l 过点P(-1,0) ,倾角为3,求l 被椭圆x +2y=4所截得的弦长.
x 2y 2
例2 求椭圆25+81=1上的点到直线3x+4y-64=0的最长距离与最短距离.
x 2y 2
例3 已知椭圆4+3=1内有一点P(1,-1) ,F 是右焦点,M 是椭圆上的动点,求|MP|+2|MF|的最小值,并求
此时M 的坐标.
【难题巧解点拨】
y 2x 2
例1 P是椭圆方程为16+9=1上的任意一点,F 1,F 2是椭圆的两个焦点,试求|PF 1|²|PF 2|的取值范围.
例2 F1、F 2是椭圆的两个焦点,过F 2作一条直线交椭圆于P 、Q 两点,使PF 1⊥PQ ,且|PF 1|=|PQ |,求椭圆的离心率e.
x 2y 222
例3 已知P 是椭圆a +b =1(a>b >0) 上的一点,F 1F 2为两焦点,且F 1P ⊥F 2P ,若P 到两准线的距离分别为6
和12,求此椭圆方程.
例4 在椭圆3x +4y=12上,是否存在相异的两点A 、B 关于直线y=4x+m对称并说明理由.
22
x 2y 29+
9=1上不同三点A(x1,y 1),B(4, 15),C(x2,y 2) 与焦点F(4,0) 的距离成等差数列. 例5 椭圆25
(1)求证:x 1+x2=8
(2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ,求直线BT 的斜率k.
【命题趋势分析】
1. 熟练掌握椭圆的第二定义,两种形式的标准方程及几何性质,运用它们及参数间的关系解决相关问题.
22
2. 必要时,椭圆方程可设为mx +ny=1(m>0,n >0) ,这样计算简洁,还可避免对焦点位置的讨论. 3. 遇到弦的中点问题时,常用点差法.
x 2y 2
+
3=1的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆上,如果线段PF 1的中点在y 轴上, 例1 椭圆12
那么|PF 1|是|PF 2|的( )
A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍
3例2 设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x 轴上,离心率e=2, 已知点P(0,2) 到这个椭圆上的点的最远距离为7,求这个椭圆方程,并求椭圆上到P 的距离等于7的点的坐标.
1
222
说明:本题体现了数学的转化与函数思想,本题关键是讨论距离函数d =-3(y+2) +4b+3在区间[-b,b ]上的最
值,二次函数在区间上的最值问题要就对称轴与区间的关系来讨论.
例3 已知椭圆的中心在原点O ,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该椭圆相交于P 和Q ,且OP ⊥OQ ,|PQ |=2.
求椭圆方程.
【同步达纲练习】
A 级
一、选择题
x 2y 2x 2y 22222
1. 椭圆a +b =1与a +b =k(a>b >0,k >0) 一定具有相同的( )
A. 长轴
B. 焦点
C. 离心率 D. 顶点
2. 离心率为2,且过点(2,0) 的椭圆标准方程为( )
y 2x 2x 2
222
A. 4+y=1 B. 4+y=1或x +4=1
y 21x 2x 2y 222
C. x+4=1 D. 4+y=1或4+16=1
y 2x 2
3. 若方程25-m +16+m =1表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数m 的取值范围是( )
999
A.(-16,25) B.( 2,25) C.(-16,2) D.( 2,+∞) x 2y 2
22
4. 若圆(x-a)+y=9与椭圆9+4=1有公共点,则实数a 的取值范围是( )
55
A.(-∞,+∞) B. [-6,6] C. [-3,3] D. φ
5. 若椭圆的两个焦点三等分两条准线间的距离,则椭圆的离心率为( ) A.3 二、填空题
1
B. 5
C.
3
D. 3
y 2x 21
6. 椭圆m +4+8=1的离心率e=2, 则实数m 的值为 .
y 2x 2
7. 若方程k -5+3-k =-1表示椭圆,则实数k 的取值范围是 .
8. 若椭圆的长轴长、短轴长,焦距依次成等差数列,则其离心率e= . 三、解答题
x 2y 2
9. 已知椭圆9+4=1上的点P 到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距离的等差中项,求P 点坐标.
x 2y 2
10. 已知P 是椭圆9+4=1上的点,且∠F 1PF 2=90°,求△F 1PF 2的面积.
一、选择题
x 2y 2
1. 不论k 为何值,直线y=kx+1与焦点在x 轴上的椭圆7+m =1有公共点,则实数m 的范围是( )
A.(0,1) B.(0,7) C. [1,7] D.(1,7]
2. 椭圆的两个焦点和中心将两准线间的距离四等分,则一焦点与短轴两端点连线的夹角为( )
πA. 4
2ππ
B. 3 C. 2 D. 3π
x 2y 222
3. 已知F 1、F 2是椭圆a +b =1(a>b >0) 的两个焦点AB 是过F 1的弦,则△ABF 2的周长是( )
A.2a B.4a C.8a D.2a+2b
22
4. 已知(0,-4) 是椭圆3kx +ky=1的一个焦点,则实数k 的值是( )
A.6 C.24
5. 以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆,使这圆过椭圆的中心,且交椭圆于M 点,若直线MF 1是圆F 2的切线,则椭圆的离心率是( )
A. -1 B.2-3 二、填空题
6. 以椭圆的两个焦点为直径端点的圆交椭圆于四个点,若顺次连接四个点及两个焦点恰好组成一个正六边形,则椭圆的离心率e= .
7. 已知F 1F 2是椭圆两焦点,P 是椭圆上一点,△PF 1F 2满足∠PF 1F 2:∠PF 2F 1:∠F 1PF 2=1∶2∶3,则此椭圆的离心率e=
222
8. 已知A(1,1) B(2,3) ,椭圆C:x+4y=4a,如果椭圆C 和线段AB 有公共点,则正数a 的取值范围是 .
三、解答题
1
B. 6 1D. 24
2C. 2 D. 2
x 225y 2822
9. 已知A 、B 是椭圆a +9a =1上的两点,F 2是椭圆的右焦点,若|AF 2|+|BF 2|=5a ,AB 中点到椭圆左准线3
距离为2,求椭圆方程.
x 2y 2π22
10. 设椭圆a +b =1(a>b >0) 的左顶点为A ,若椭圆上存在一点P ,使∠OPA=2,求椭圆离心率的取值范围.
一、选择题
1. 已知M 为椭圆上一点,F 1F 2是两焦点,且∠MF 1F 2=2α,∠MF 2F 1=α(α≠0) ,则椭圆的离心率是( ) A.1-2sin α B.1-sin2α C.1-cos2α D.2cos α-1
22
2. 椭圆2x +y=1上的点到直线y=x-4的距离的最小值是( )
2-3A.
5-2+38-34 D. 4B. C.
x 2y 222
3. 已知F 是椭圆a +b =1(a>b >0) 的一个焦点,PQ 是过其中心的一条弦,则△FQP 面积的最大值是( ) 1
A. 2ab B.ab C.ac D.bc
x 2y 23π22
4. 已知椭圆a +b =1(a>b >0) 的离心率等于5,若将此椭圆绕右焦点按逆时针方向旋转2后,新位置的椭圆
16
有一条准线方程是y=3,则原椭圆方程是( )
x 2y 2
A. 129+48=1
x 2y 2x 2y 2
B. 100+64=1 C.25+16=1 x 2y 2
D. 16+9=1
x 2y 2
5. 椭圆12+6=1的一个焦点为F 1,点P 在椭圆上,若线段PF 1的中点M 在y 轴上,则M 的纵坐标是( )
3332
A. ±4 B. ±2 C. ±2 D. ±4
二、填空题
6. 已知圆柱底面的直径为2k ,一个与底面成30°角的平面截这个圆柱,则截面上的椭圆的离心率是
x 2y 222
7. 已知P 是椭圆a +b =1(a>b >0) 上的点,且∠F 1PF 2=θ,则△F 1PF 2的面积是
x 2
2
8. 点P(0,1) 到椭圆2+y=1上点的最大距离是 .
三、解答题
9. 已知椭圆长轴|A 1A 2|=6,|F 1F 2|=42,过椭圆焦点F 1作一直线,交椭圆于M 、N 两点,设∠F 2F 1M=α(0≤α≤π) ,问当α取何值时,|MN |等于椭圆的短轴长.
x 2y 222
10. 已知椭圆a +b =1(a>b >0) 与x 轴交于AB 两点,F 1F 2为焦点.
(1)过一焦点F 2作垂直于长轴的弦MN ,求∠AMB 的大小范围
(2)若椭圆上有一点P ,使得∠APB=120°,求P 点的纵坐标,并求椭圆离心率满足什么条件时,这样的点P 才存在.