函数连续性的本质

第16卷 第3期 邯郸学院学报 2006年9月 V ol. 16 No.3 Journal of Handan College Sept. 2006

函数连续性的本质

王少彧1，李金辉1，李淑芬2

(1. 邯郸学院数学系，河北 邯郸，056005 ；2. 河北省魏县第四中学，河北 魏县，056800)

———————————————————————————————————————————— 摘 要：分析了函数连续的本质特性，提出了在函数连续性教学中的一些见解.

关键词：函数； 连续性；间断性

中图分类号：O171 文献标识码：A 文章编号：1673-2030(2006)03-0031-02

收稿日期：2005-11-30

作者简介：王少彧（1977—），女，河北邯郸人，邯郸学院数学系助教.

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1 函数的连续性

1.1 函数连续定义的发展

学过连续函数概念的读者，也许会认为，一元连续函数在平面上表示一条连续曲线，它可以笔不离纸地一笔画出来. 但不幸的是，这样直观的推想是错误的. 如函数

1⎧⎪x sin , x ≠0y =f (x ) =⎨，容易证明这个函数在任意点是连续的，但我们无法笔不离纸地一笔画出来函x ⎪⎩0, x =0

数在x =0的任意小的邻域内的图形.

现在我们谈谈连续函数的严密定义. 17、18世纪是数学家的英雄时期，并取得了丰硕的成果，构成了庞大的数学分析分支. 但它从概念到证明都是不够严密的. 在19世纪前后，波尔察诺、柯西、维尔斯特拉斯等人为了使微积分更严密，发现算术本身是有巩固基础的，可以在算术概念的基础上重新分析. 这样他们正确地抓住了极限与连续性是两个本质的概念. 正如现在我们知道的，极限与连续性是两个孪生兄弟. 1817年波尔查诺首先给出了连续性的恰当的定义：“若在区间内任意一点x 处，只要ω的绝对值充分小，就能使差f (x +ω) −f (x ) 的绝对值任意小，那么就说f (x ) 在区间上是连续的. ”[1]184-1861821年柯西在他的“分析教程”中，进一步把函数的连续性定义为“设f (x ) 是变量x 的一个函数，并设对介于给定两个界之间的x 值，该函数总取一个有限且唯一的值，如果从包含在两个界之间的某个x 值开始，给变量x 以一个无穷小增量α，函数本身就得到一个增量，即差f (x +α) −f (x ) ，这个差同时依赖于新变量α和原变量x 的值. 如果对于每一个在这两限中间的x 值，差f (x +α) −f (x ) 的数值随着α的无限减小而无限减小，那么就说在x 的两限之间，函数f (x ) 是变量x 的一个连续函数. ”[1]184-186

现在的分析中使用的连续函数的定义，实际上是由维尔斯特拉斯给出的. 其定义为：“如给定一个正数ε，都存

[2]115-116在一个正数δ，使得对于区间x −x 0

维尔斯特拉斯所给的定义方式，使用量化的表示方法，消除了波尔查诺和柯西定义中“充分小”、“任意小”、“无限减小”等词的不明确性. 使极限和函数的连续性建立在巩固的算术概念的基础上. 这样运用量化和符号的演算，使得极限和连续性可以使用强有力的算术与代数的推理的方法. 虽然函数的连续性对区间才有真实的意义，但是维尔斯特拉斯的定义抓住了连续与间断的本质，提出了较抽象的“点连续”概念. 这对函数间断点的研究十分重要. 在一般分析教程中，一开始就引入点连续的概念，对初学者来说，可能觉得是捉摸不定的东西，与直观想象的连续函数不大相关. 如果了解了从波尔查诺、柯西到维尔斯特拉斯的定义，就不难理解函数连续的概念.

以下我们通过一个例子进一步认识函数在一点连续的概念. 例如，函数y =f (x ) =xD (x ) ，其中D (x ) 是狄里克莱函数，因为lim

x →0f (x ) =0=f (0) ，所以函数在x =0点连续. 而 y =f (x ) =xD (x ) 在其它点不连31

续，用海涅定理不难证明.

1.2 左、右连续的引入

按照函数点连续的定义，若函数在一点连续，那么必须存在一个此点的邻域，使函数在这个邻域有定义. 我们又说函数在所定义的区间上每一点连续，那么什么区间才能使区间内每一点，都有一小邻域，使这个小邻域落在函数定义域之内呢？只有开区间具有这种性质，因为闭区间的两个端点不存在一个包含端点的小邻域，使它落在闭区间上. 如此按照连续函数的一般定义，函数的连续性对闭区间就关闭了大门. 这就需要引入左、右连续的概念. 例如，函数y =f (x ) ，定义在闭区间[a , b ]上，对于左端点，只有右边才有意义，需要考虑右边的连续性；对于右端点，只有左边才有意义，需要考虑左边的连续性. 所以若函数y =f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，是指函数y =f (x ) 在闭区间[a , b ]的每一内点连续，而且左端点右连续，右端点左连续.

对于分段表示的连续函数，不同区段用不同的式子表示，讨论区段连接点的极限要用到左极限和右极限. 有这样的定理：“函数y =f (x ) 在x =x 0点有极限的充分必要条件是左、右极限存在，并相等. ”[2]53-55对于分段表示的连续函数在连接点的连续性，用左、右连续来讨论是很方便的. 和极限对应有这样的定理：“函数在x =x 0点连续充分必要条件是左、右连续. ”[2]129-130当然，对于连续性就没有左、右连续并相等这一说. 因此，左（右）极限值等于函数在该点的函数值才是左（右）连续.

2 函数的间断

事物发展有渐变和突变，函数值也如此，即除有连续变化外，还有间断情形. 因此对应连续点出现间断点. 研究间断点的重要性，在一定的场合下并不亚于对连续性的研究. 对间断点的研究是对间断点进行分类，并寻找不同类中间断点的特性. 间断点就是破坏连续性的点，即不连续点. 对于非边界的连续点来说，要求满足条件“左、右极限存在，并且极限值等于在该点的函数值”. [2]129-130 如果破坏这些条件的任意一条，那么该点就是间断点. 因为连续函数有比较“良好”的特性，所以间断点是按它与连续的“接近程度”来分类的. 如此，间断点可以分为两大类.

第一类间断点就是左、右极限都存在的间断点，这类中又分为两种. 一种是更接近连续点的，它的左、右极限存在并相等，但极限值不等于函数在该点的值，或干脆函数在该点没有定义. 对于这种间断点，改变该点的函数值，或补充这点的定义，使该点的函数值等于极限值，那么该点就变为连续点. 这类间断点称为可去间断点. 另一种间断点，是左、右极限存在但并不相等. 很显然，构成这类间断点的函数是分段表示的函数.

第二类间断点，就是左极限或右极限至少有一个不存在的间断点. 这类间断点常见的有无穷间断点（函数值趋于无穷）、振荡（摆动）间断点. 具有这类间断点的函数，在连接点的邻域是振动的或趋于无穷. 3 在函数连续的性质教学中，应注意的几个方面

在教材中我们看到闭区间上连续函数有良好的性质，包括四个定理：有界性定理；最大最小值存在性定理；介值定理；一致连续性定理. 这四个定理是描述闭区间上连续函数的“整体性”，这里以最大最小值存在性定理，一致连续性定理为例，简述教学中需要注意的问题.

3.1 关于最大最小值存在性定理

在开区间连续的函数不一定有此性质，如f(x)=x在开区间(0，1) 取不到最大值和最小值. 若函数在闭区间上

0≤x

⎪−x +3, 　　1

大值和最小值.

3.2 关于一致连续性定理

函数f(x)= 1是初等函数，在区间(0, 1]有定义，且在(0, 1]上连续，但是不一致连续. 证明这里从略. 此例说x

明，在半开区间上连续的函数不一定在该区间上一致连续.

此外，讨论函数的连续是以实数系为基础的，因此闭区间上连续函数的性质也只能在实数域才能保证. 例如： 定义在闭区间[0, 4]的函数f (x ) =sin x ，其最大值和最小值分别在无理数x =

在[0, 4]的全体有理数域上，函数无最大值和最小值.

π2和x =3π处达到，所以2

参考文献：

[1]河北教育学院. 数学史小词典[Z]. 石家庄：河北教育出版社，1989.

[2]刘玉琏. 数学分析[M]. 北京：高等教育出版社，1988.

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