北华大学09-10级高等数学期末考试卷卷子三套(完全)答案
北华大学09-10学年第二学期 《高等数学2》课程期末考试试卷B
一、填空题（每空3分，共15分）
1.a=6,b=1; 2⎰dy f (x , y )dx ; 3.divA =0; 4.-; 5.du
300-4-y 2
2
4-y 2
x =1
y =1
=edx +edy
二、单项选择题（每题3分，共15分） 1.A; 2..B 3.A 4.C 5.C
三、求解下列各题（每题6分，共18分） 解1.
x dz
=2x 2e -1sin x e x sin x +x 2e x sin x ln x +x 2cos x dx
[]
∂z z ∂z 1+xz -xze xyz
解2. =-, =
∂x x ∂y xye xyz -xy
解3.
∂u 1=- ∂l 3
D
四、（本题8分）计算二重积分：⎰⎰(x2+y 2-1)d σ，D:x2+y 2≤1, y ≥0, x ≥0.
π
解
2
(d θr r =(x+y -1)d σ⎰⎰-1dr )=-⎰⎰2
2
D
21
π
8
00
五、（本题9分）计算三重积分⎰⎰⎰xdv ，其中Ω是由三个坐标面及平面
Ω
x+y+z=1所围成的有界闭区域.
1
1-x
1-x -y
解
⎰⎰⎰xdv =⎰xdx ⎰dy
Ω
⎰dz =
1
8
六、（10分）计算曲面积分:xyzdxdy . 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=R 2，取
∑
内侧. .
2π
πR
4
解
∑
xyzdxdy =-⎰⎰⎰xydxdydz =-⎰sin θcos θd θ⎰d φ⎰ρ
Ω
sin 3φd ρ=0
七、（本题10分）计算曲线积分:⎰(x 2-2y ) dx +(3x +ye y ) dy 其中曲线C 为
C
圆周x 2+y 2=2Ry(R>0为常数) ，取逆时针方向. 解 ⎰(x 2-2y ) dx +(3x +ye y ) dy =⎰⎰(
C
D
∂Q ∂P
-) dxdy =⎰⎰(3-(-2)) dxdy =5πR 2 ∂x ∂y D
i j k
八、（本题8分）求过三点O （0，0，0）,A(1,1,1),B(1,2,3)的平面方程.
解
1, -2, 1} n =OA ⨯OB =11={, {}{}=1, 1, 1; OB =1, 2, 3oA
23
→→
平面方程为：x -2y +z =0
九、（本题7分）求二元函数f (x , y ) =xy +
11
+（x ＞0；y ＞0）的极值. x y
解
f x =y -
11, f =x -, 令 f x =0, f y =0, 得x =1, y =1, y 22x y
A =f xx (1, 1)=2, B =f xy (1, 1)=1，C =f yy (1, 1)=2y -3=2,
)是极值点，B 2-AC A=2=1-＞2⨯02=-3＜0，1，1(1，，所以为极小值 f 1)(=3
北华大学09-10学年第二学期 《高等数学2》课程期末考试试卷C
一、填空题（每空3分，共15分）
1. 3;2.
⎰⎰⎰
Ω
2
f (r cos θ，r sin θ，z )rd θdrdz ；3.6；4. ;5. yx y -1dx +x y ln xdy
3
二、单项选择题（每题3分，共15分）
1.B;2.A;3.C;4.D;5.B
三、求解下列各题（每题6分，共18分） 解1. 解2.
x dz
=2x 2e -1sin x e x sin x +x 2e x sin x ln x +x 2cos x dx
[]
∂z 2x ∂z 2y =z , =z ∂x e -2z ∂y e -2z
解3. gradu =i
π
4
y 32
四. 解 ⎰⎰dxdy =⎰tan θd θ⎰rdr =-ln
x 22D 01
2
五、（本题10分）求由抛物面z =2-x 2-y 2与球面x 2+y 2+(z -1) 2=1围成的立体包含z 轴部分的体积.
解. V =⎰⎰⎰dxdydz =⎰d θ⎰rdr
Ω
1+
2π1
2-r 2
⎛3⎫
dz =2π2-2 ⎪ 2
2⎝⎭-r
∑
六、（本题10分）计算曲面积分：zdxdy ，其中∑为由曲面z =1-x 2-y 2与平面y =0围成的区域表面取内侧
. zdxdy =-⎰⎰⎰
∑
Ω
∂R
dxdydz =-⎰d θ⎰rdr ∂z 00
C
2π1
1-r 2
⎰
dz =-
π
2
七、（本题8分）给定曲线积分：⎰pxydx +x 2dy ；
（1）若该曲线积分在xoy 面上积分与路径C 无关，求p 的值；
（2）取p =2时，计算曲线积分：⎰2xydx +x 2dy . 其中C 为从（0,0）点到（2,8）
C
点沿y =x 3的一段弧解
解（1）P =pxy ，Q =x 2.
2
∂P ∂Q
，所以p =2 =px =2x =
∂y ∂x
8
（2）⎰2xydx +x dy =⎰2xydx +x dy +⎰2xydx +x dy =⎰22dy =32
2
2
C
l 1l 2
其中：l 1:y =0, 0≤x ≤2; l 2; x =2, 0≤y ≤8
八、（本题8分）求过点M （1,-2,1）和N （0,0,0）且与平面x +2y -z =1垂直的平面方程
解 所求的平面方程： y +2z =0
九、（本题8分）求函数f (x , y ) =x 3+y 3-3xy 的极值.
解f (1, 1)=-1（极小值）