动态规划法求解运输问题的最短路径
第２期
２０１０年２月
文章编号：１００１—３９９７（２０１０）０２－０２２３－－４）２
机械设计与制造
Ｍａｃｈｉｎｅｒｙ
Ｄｅｓｉｇｎ＆Ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｅ
２２３
利用动态规划法求解运输问题的最短路径
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★来稿日期：２００９一阵１１
万方数据
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孙晓燕等：利用动态规划法求解运输问题的最短路径
第２期
②递归的定义最优值；
③以自底向上的方式计算出最优值；
④根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。
３动态规划建模
（１）将实际问题的过程划分成恰当阶段，确定阶段变量根据多阶段决策问题的实际过程，将其划分为若干个相互独立又相互联系的部分，每一个部分为一个阶段，划分出的每一个阶段通常就是需要做出—个决策的子问题口Ｉ。阶段通常是按决策进行的时Ｉ硼或空间上的先后顺序划分的，阶段变量用表示。
（２）确定状态，正确选择状态变量
在多阶段决策过程中，状态是描述每个阶段所必须的信息，表示每个阶段开始时所处的自然状况或客观条件。一个阶段有若干个状态，用一个或一组变量来描述，状态变量必须既能描述过程的演变，又要满足无后效性。用表示第个阶段的状态变量。
（３）确定决策变量及允许的决策集合
决策的实质是关于状态的选择，是决策者从给定阶段状态出发对下一阶段状态作出的选择。决策变量用钆表示；允许的决策集合是决策变量的取值范围用Ｄ。（ｓ。）表示。
（４）写出状态转移方程
状态转移方程ｓ“。＝ｚ“％靴），这里的函数关系Ｒ因问题的不同而不同，如果给定第ｋ个阶段的状态变量％则该阶段的决策变量Ｘ，Ｉｔ一经确定，第ｋ＋ｌ阶段的状态变量的值也就可以确定。
（５）列出指标函数
．
指标函数口ｈ的关系，并要求具有可分离性及递推性；（６）写出动态规划函数基本方程，用五（ｓ卅）表示蠡嘶阶段的最优策略函数：
厶ｔ（‰ｔ）＝ｏ（边界条件）
Ａ（ｓＤ＝ｏｐｔ｛ｖｋ＋ｆｕｌ｝，ｋ＝ｎ，，卜ｌ，…，１
４应用举例
我们将一个实际的运输问题抽象成一个网络图，如图１所示，节点Ａ表示发送点，节点Ｅ表示终到点，其余节点为运输过程中可经由点，边线表示可能路径，边线上数值表示其间运输成本。根据上节所给出的动态规划建模方法来建立相应动态规划模型并求解运输过程中的最短路径。
图１运输过程网络图
首先根据网络图以及上节提到的建模方法我们可以将运输过程划分成四个阶段，
阶段变量用ｋ表示；
状态变量ｓ。表示ｋ阶段初可能的位置；决策Ｘｋ表示ｋ阶段初可能选择的路线；
万方数据
状态转移方程ｓ“ｌ哥ｒ喘Ｉ；
阶段指标巩表示ｋ阶段与所选择的路段相应的路长；
指标函数口萨∑∥；表示ｋ至４阶段的总路长；
五表示第ｋ阶段点ｓ；到终点层的运输成本；递推公式ｆＦｍｉｎ｛ｖｋ＋ｆｔ．１｝，ｋ－－－４，３，２，１；Ｘ，ｋ＋表示最优决策；边界条件ｋ＝５时，ｆｓ－－０。
将动态规划的计算结果列表表示，如表ｌ所示。
表１计算结果列表
墨
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兰＆生！纽三坐±厶出
．厶
垫』Ｄｌ
Ｅ３０３０＋０３０Ｅ’
伤
Ｅ
４０
４０＋０
４０Ｅｃ１Ⅵ复
４０
．Ｄ２４０１０４０加＊帕他１０＋４０３０Ｄ１
。
ｃ２
６０
６０＋３０
。２
凸２
０３３０＋４０２７０
Ｄ
ｃ３
。３
Ｄ，ＤＩＤ，３３００３０３０＋３３０＋４００
０
”
Ｄｌ“１
ＣＩ７０７０＋４０．
ＢＩｃ２４０４０＋７０１１０ＣＩ，ｃ２
。
Ｇ６０６０＋６０Ｃｌ
３０３０＋４０
岛
ｃ２２０
２０＋７０
７０
Ｃｌ
ｃ３４０４０＋６０
Ｂ３
ＣＩ
４０
４嗍
ｃ２
１０１０＋７０
８０
ＣＩ，Ｃ２
ｃ，
５０５０＋６０
ＢＩ
２０
２０＋１１０
１Ａ
Ｂ２
４０４０＋７０
１１０
Ｂ２，Ｂ３
墨ｊ
２Ｑ
２坠§Ｑ
由表１中我们町以清晰地看出，运费最低的路线为ＡＢ：ｃ。
Ｄ２Ｅ，最低运费为ｌｌＯ。
由本实例我们可以总结出动态优化的优越性所在：（１）求解结果清晰明了；
（２）能得到一族解，有利于分析结果；（３）易于确定全局最优解；（４）ｆｌ邑利用经验提高求解效率。
一
用动态规划解决多阶段决策问题效率是很高的，而且思路清（２１）：４２
２００７，２５（４）：２７－２９
玩Ｅ或Ａ岛Ｃ，Ｄ１Ｅ或Ａ岛ｃ２５结束语
晰简便，同时易于实现，虽然使用动态规划方法也有一定的限制，如状态变量必须满足无后效性，并且只适用一些维数相当低的问题等。但是可以看到，动态规划方法的应用是很广的，已成功解决了许多实际问题，具有一定的实用性。本文将动态规划思想运用到求解运输问题最短路径中，其优点在于思路清晰，方法简便，理论可靠，在实际运用中取得了良好的效果。但是本文只考虑了一个发货中心的应用实例，在实际中有可能存在多个发货中心的情况，因此我们可以考虑将其进行改进或者结合启发式算法，使之更好的运用在实际中，这有待于１３后的继续研究。
参考文献
１钱颂迪．运筹学［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２００２
２谬慧芬，邵小兵．动态规划算法的原理及应用［Ｊ］．中国科技信息，２００５３蒋琦玮，陈Ｐ台亚物流配送最短径路的动态规划方法研究［Ｊ］．系统工程，
４陈理能数学建模导论［Ｍ］．北京：北京邮电大学出版社，１９９９
利用动态规划法求解运输问题的最短路径
作者：作者单位：
孙晓燕， 李自良， 彭雄凤， 傅亚力， 梁志强， SUN Xia-oyan， LI Zi-liang， PENGXiong-feng， FU Ya-li， LIANG Zhi-qiang
孙晓燕,李自良,彭雄凤,SUN Xia-oyan,LI Zi-liang,PENG Xiong-feng(昆明理工大学机电工程学院,昆明,650093)， 傅亚力,梁志强,FU Ya-li,LIANG Zhi-qiang(昆明船舶设备集团有限公司昆船设计研究院,昆明,650051)机械设计与制造
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下载时间：2010年8月16日