精简 轴对称(西城_学探诊)

拓展、探究、思考

15．已知，如图1－11，在直角坐标系中，点A 在y 轴上，BC ⊥x 轴于点C ，点A 关于直线

OB 的对称点D 恰好在BC 上，点E 与点O 关于直线BC 对称，∠OBC ＝35°，求∠OED 的度数．

图1－11

10．已知点A 在直线l 外，点P 为直线l 上的一个动点，探究是否存在一个定点B ，当点P 在直线l 上运动时，点P 与A 、B 两点的距离总相等．如果存在，请作出定点B ；若不存在，请说明理由．

图2－5

11．如图2－6，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，那么点E 、F 是否关于AD 对称？若对称，请说明理由．

图2－6

8．已知：如图3－7，A 、B 两点在直线l 的同侧，点A ' 与A 关于直线l 对称，连接A ' B 交l 于P 点，若A ' B ＝a .

（1）求AP ＋PB ；

（2）若点M 是直线l 上异于P 点的任意一点，求证：AM ＋MB ＞AP ＋PB ．

图3－7

9．已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，试分别画出符合条件的点M ．

（1）如图3－8，在l 上求作一点M ，使得｜ AM －BM ｜最小；

作法：

图3－8

（2）如图3－9，在l 上求作一点M ，使得｜AM －BM ｜最大；

作法：

图3－9

（3）如图3－10，在l 上求作一点M ，使得AM ＋BM 最小．

图3－10

10．（1）如图3－11，点A 、B 、C 在直线l 的同侧，在直线l 上，求作一点P ，使得四边形

APBC 的周长最小；

图3－11

（2）如图3－12，已知线段a ，点A 、B 在直线l 的同侧，在直线l 上，求作两点P 、Q （点P 在点Q 的左侧）且PQ ＝a ，四边形APQB 的周长最小．

图3－12

11．（1）已知：如图3－13，点M 在锐角∠AOB 的内部，在OA 边上求作一点P ，在OB 边上求作一点Q ，使得ΔPMQ 的周长最小；

图3－13

（2）已知：如图3－14，点M 在锐角∠AOB 的内部，在OB 边上求作一点P ，使得点P

到点M 的距离与点P 到OA 边的距离之和最小．

图3－14

13．已知：如图5－4，ΔABC 中，AB ＝AC ，D 是AB 上一点，延长CA 至E ，使AE ＝AD ．

试确定ED 与BC 的位置关系，并证明你的结论．

图5－4

14．已知：如图5－5，Rt ΔABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，AE ＝BF ．

求证：（1）DE ＝DF ；（2）ΔDEF 为等腰直角三角形．

图5－5

15．在平面直角坐标系中，点P （2，3），Q （3，2），请在x 轴和y 轴上分别找到M 点和N 点，使四边形PQMN 周长最小．

（1）作出M 点和N 点．

（2）求出M 点和N 点的坐标．

12．已知：如图6－7，ΔABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，BF 平分∠ABC 交CD 于

E ，交AC 于F .

求证：CE ＝CF ．

图6－7

13．如图6－8，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝40°，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别为∠BAC 、∠ABC 的角平分线，

求证：BQ ＋AQ ＝AB ＋BP ．

图6－8

15．如图6－10，对于顶角∠A 为36°的等腰ΔABC ，请设计出三种不同的分法，将ΔABC

分割为三个三角形，并且使每个三角形都是等腰三角形．

图6－10

4．如图7－4，在ΔABC 中，∠ABC ＝120°，点D 、E 分别在AC 和AB 上，且AE ＝ED ＝DB ＝BC ，则∠A 的度数为______°．

图7－4

5．如图7－5，ΔABC 是等腰直角三角形，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC 于点E ，且BC ＝10cm ，则△DCE 的周长为______cm ．

图7－5

二、选择题

6．△ABC 中三边为a 、b 、c ，满足关系式 （a －b ） （b －c ）（c －a ）＝______图7－50，则这个三角形一定为 （ ）

A ．等边三角形 B ．等腰三角形

C ．等腰钝角三角形 D ．等腰直角三角形

7．若一个三角形是轴对称图形，则这个三角形一定是 （ ）

A ．等边三角形 B ．不等边三角形

C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形

8．如图7－6，ΔABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝108°，若AD 、AE 三等分∠BAC ，则图中等腰三角形有 （ ）

A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．7个

图7－6 图7－7

29．等腰三角形两边a 、b 满足｜a －b ＋2 ｜＋（2a ＋3b －11）＝0，则此三角形的周长是（ ）

A ．7 B ．5 C ．8 D ．7或5

10．如图7－7，ΔABC 中，AB ＝AC ，BE ＝CD ，BD ＝CF ，则∠EDF ＝ （ ）

A ．2∠A B ．90°－2∠A

C ．90°－∠A D ．90-o 1∠A 2

三、解答题

11．已知：如图7－8，AD 是∠BAC 的平分线，∠B ＝∠EAC ，EF ⊥AD 于F .

求证：EF 平分∠AEB ．

图7－8

12．已知：如图7－9，在ΔABC 中，CE 是角平分线，EG ∥BC ，交AC 边于F ，交∠ACB 的外角 （∠ACD ）的平分线于G ，探究线段EF 与FG 的数量关系并证明你的结论．

图7－9

13．如图7－10，过线段AB 的两个端点作射线AM ，BN ，使AM ∥BN ，请按以下步骤画图并回答．

（1）画∠MAB 、∠NBA 的平分线交于点E ，∠AEB 是什么角？

（2）过点E 任作一线段交AM 于点D ，交BN 于点C ．观察线段DE 、CE ，有什么发

现？请证明你的猜想．

（3）试猜想AD ，BC 与AB 有什么数量关系？

图7－10

14．已知：如图7－11，ΔABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝100°，BE 平分∠B 交AC 于E ．

（1）求证：BC ＝AE ＋BE ；

（2）探究：若∠A ＝108°，那么BC 等于哪两条线段长的和呢？试证明之．

图7－11

10．如图8－5，已知ΔABC 是等边三角形，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD ＝CE ，连接

DE 并延长至点F ，使EF ＝AE ，连接AF 、BE 和CF ．

（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；

（2）求证：AF ＝BD ．

图8－5

11．已知：如图8－6，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CD ∥AB ，BC ＝6cm ，∠BAD ＝30°，∠B ＝90°．求CD 的长______．

图8－6

12．（1）如图8－7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连接AC 和BD ，相交于点E ，连接BC ，求∠AEB 的大小；

图8－7

（2）如图8－8，△OAB 固定不动，保持△OCD 的形状和大小不变，将△OCD 绕着点O 旋转（△OAB 和△OCD 不能重叠），求∠AEB 的大小．

图8－8

13．已知：如图8－9，△ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，使AE ＝BD ，连接CE 、DE ．

求证：CE ＝DE

.

图8－9

14．已知：如图8－10，四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，∠C ＝60°，CD ＝2AD ，AB ＝4．

（1）在AB 边上求作点P ，使PC ＋PD 最小；

图8－10

（2）求出（1）中PC ＋PD 的最小值．