初三升高一数学(一)

第五部分 衔接知识点的专题强化训练

★ 专题一 数与式的运算

例1 解下列不等式：（1）x21 （2）x1x3＞4．

例2 计算：

（1

）(x2



12

112

13

)

（2）(15

m

2

n)(

25

m

10

mn

14

n2

)

（3）(a2)(a2)(a44a216) （4）(x22xyy2)(x2xyy2)2

例3 已知x2

3x10，求x31x

3

的值．

例4 已知abc0，求a(11)b(11b

c

c

)c(11a

a

b

)的值．

例5 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：

（1）

（2）

x1)

（3）

（4）

例6

设xy

，求x3y3的值．

2

例7 化简：（1）

x （2）

x3x96xx

1x

x2

27



9xx

2



x162x

x

1x

【巩固练习】

1． 解不等式 x3x27

22．

设x

xyy

2

y

，求代数式

xxy

的值．

22

3． 当3a2

ab2b2

0(a0,b0)，求

abb



a



abab

的值．

4．

设x

142

2

，求xx2x1的值．

5． 计算(xyz)(xyz)(xyz)(xyz)

6．化简或计算：

(1) 

(2) 3

xyy







★ 专题二 因式分解

【例题选讲】

例1 （公式法）分解因式：(1) 3a3b81b4；(2) a7ab6

例2 （分组分解法）分解因式：（1）ab(c2

d2

)(a2

b2

)cd （2）2x2

4xy2y2

8z2

例3 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) x25x24 (2) x22x15 (3) x2xy6y2

(4) (x2x)28(x2x)12

例4 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) 12x25x2；(2) 5x26xy8y2

例5 （拆项法）分解因式x33x24

【巩固练习】

1．把下列各式分解因式：

(1) ab(c2d2)cd(a2b2)

(2) x24mx8mn4n2

(3) x4

64 (4) x311x2

31x21

(5) x34xy22x2y8y3

2．已知ab23

,ab2，求代数式a2b2a2b2ab2

的值．

3．现给出三个多项式，12

12

2

x2

x1，

12

x3x1，

2

xx，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果

因式分解.

4．已知abc0，求证：a3

a2

cb2

cabcb3

0．

★ 专题三 一元二次方程根与系数的关系 【例题选讲】

例1 已知关于x的一元二次方程3x2

2xk0，根据下列条件，分别求出k的范围： （1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根 （3）方程有实数根； （4）方程无实数根．

例2 已知实数x、y满足x2y2xy2xy10，试求x、y的值．

例3 若x2

1,x2是方程x2x20070的两个根，试求下列各式的值：

(1) x22

11x2； (2)

1x

1

x； (3) (x15)(x25)； (4) |x1x2|．2

例4 已知x2

1,x2是一元二次方程4kx4kxk10的两个实数根．

2

(2) 求使x1xx22的值为整数的实数k的整数值．

2

x1

【巩固练习】

1．若x1,x2是方程2x26x30的两个根，则

11x

的值为( )

1

x2

A．2 B．2 C．

1 D．9

2

2

2．若t是一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根，则判别式b24ac和完全平方式M(2atb)2的关系是( )

A．M

B．M

C．M

D．大小关系不能确定

3．设x1,x2是方程x2pxq0的两实根，x11,x21是关于x的方程x2qxp0的两实根，则p__ ，q= _ ____ ．

4．已知实数a,b,c满足a6b,c2ab9，则a，b= _____ ，c= _____ ．

5．已知关于x的方程x23xm0的两个实数根的平方和等于11，求证：关于x的方程

(k3)x2

kmxm2

6m40有实数根．

6．若x1,x2是关于x的方程x2

(2k1)xk2

10的两个实数根，且x1,x2都大于1． (1) 求实数k的取值范围；(2) 若

x1x1，求k的值．

2

2

★ 专题四 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数 【例题选讲】

例1 已知A2,y1、Bx2,3，根据下列条件，求出A、B点坐标．

(1) A、B关于x轴对称；(2) A、B关于y轴对称；(3) A、B关于原点对称．

例2已知一次函数y＝kx＋2的图象过第一、二、三象限且与x、y轴分别交于A、B两点，O为原点，若ΔAOB的面积为2，求此一次函数的表达式。

例3如图，反比例函数y

k

x

的图象与一次函数ymxb的图象交于A(1，3)，B(n，1)两点．

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．

【巩固练习】

1．函数ykxm与y

mx

(m0)在同一坐标系内的图象可以是（ ）

图（12）

x

x

x

x

A．

B．

C．

D．

2．如图，平行四边形ABCD中，A在坐标原点，D在第一象限角平分线上，又知AB

6，AD求B,C,D点的坐标．

3．如图，已知直线y1k2

x与双曲线y

x

(k0)交于A，B两点，且点A的横坐标为4．

（1）求k的值；

（2）过原点O的另一条直线l交双曲线ykx

(k0)于P，Q两点（P点在第一象限），若由点P为顶点组成

的四边形面积为24，求点P的坐标．

★ 专题五 二次函数

【例题选讲】

例1 求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．

例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下

此时每天的销售利润是多少？

例3 已知函数yx2,2xa，其中a2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．

例4 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

（1）已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1）； （2）已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2； （3）已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)．

例5 在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg(0＜x≤100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象．

【巩固练习】

1．选择题：

（1）把函数y＝－(x－1)2＋4的图象的顶点坐标是 （ ） （A）（－1，4） （B）（－1，－4） （C）（1，－4） （D）（1，4）

（2）函数y＝－x2

＋4x＋6的最值情况是 （ ） （A）有最大值6 （B）有最小值6 （C）有最大值10 （D）有最大值2

（3）函数y＝2x2＋4x－5中，当－3≤x＜2时，则y值的取值范围是 （ ） （A）－3≤y≤1 （B）－7≤y≤1 （C）－7≤y≤11 （D）－7≤y＜11 2．填空：

（1）已知某二次函数的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)，且过点C（2，4），则该二次函数的表达式

为 ．

（2）已知某二次函数的图象过点（－1，0），（0，3），（1，4），则该函数的表达式为 ． 3．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

（1）已知二次函数的图象经过点A（0，1），B（1，0），C（1，2）； （2）已知抛物线的顶点为（1，3），且与y轴交于点（0，1）；

（3）已知抛物线与x轴交于点M（3，0），（5，0），且与y轴交于点（0，3）；

（4）已知抛物线的顶点为（3，2），且与x轴两交点间的距离为4．

4．如图，某农民要用12m的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供他圈养小鸡．已知墙的

长度为6m，问怎样围才能使得该矩形面积最大？

5．如图所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点A出发沿折线ABCD移动一周后，回到A点．设点A移动的路程为x，ΔPAC的面积为y．

（1）求函数y的解析式；

（2）画出函数y的图像；

C （3）求函数y的取值范围．

P

图2.2－10

★ 专题六 二次函数的最值问题 【例题选讲】

例1求下列函数的最大值或最小值．

（1）y2x2

3x5； （2）yx2

3x4．

例2当1x2时，求函数yx2x1的最大值和最小值．

例3当x0时，求函数yx(2x)的取值范围．

例4当txt1时，求函数y

12

2xx

52

的最小值(其中t为常数)．

例5某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m1623x,30x54．

(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；

(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

【巩固练习】

1．抛物线yx2

(m4)x2m3，当m= _____ 时，图象的顶点在y轴上；当m= _____ 时，图象的顶点在x轴上；当m= _____ 时，图象过原点．

2．用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．

4．已知函数yx22ax1在1x2上的最大值为4，求a的值．

5．求关于x的二次函数yx22tx1在1x1上的最大值(t为常数)．

★ 专题七 不 等 式

【例题选讲】

例1 解下列不等式：(1) x2

x60 (2) (x1)(x2)(x2)(2x1)

例2 解下列不等式：(1) x22x80

(2) x2

4x40

(3) x2

x20

例3 已知对于任意实数x，kx22xk恒为正数，求实数k的取值范围．

例4 解下列不等式： (1) 2x3x1

0

(2)

1x2

3

例5 求关于x的不等式m2x22mxm的解．

【巩固练习】

1．解下列不等式： (1) 2x2x0

(2) x23x180

(3) x2

x3x1

(4) x(x9)3(x3)

2．解下列不等式： (1)

x13x12x2

x1x1

0 (2)

2x1

2 (3)

2x

1 (4)

2x1

0

3．解下列不等式： (1) x22x2x22 (2)

12

2

x

13

x

15

0

4．解关于x的不等式(m2)x1m．

5．已知关于x的不等式mx2xm0的解是一切实数，求m的取值范围．

6．若不等式x23k

1

xk

2

的解是x3，求k的值．

7．a取何值时，代数式(a1)2

2(a2)2的值不小于0？

● 各专题参考答案 ●

专题一数与式的运算参考答案

例1 （1）解法1：由x20，得x2；

①若x2，不等式可变为x21，即x3； ②若x2，不等式可变为(x2)1，即x21，解得：

x1．综上所述，原不等式的解为1x3．

解法2： x2表示x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离，所以不等式x21的几何意义即为x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离小于1，观察数轴可知坐标为x的点在坐标为3的点的左侧，在坐

标为1的点的右侧．所以原不等式的解为1x3．

解法3：x211x211x3，所以原不等式的解为1x3．

（2）解法一：由x10，得x1；由x30，得x3；

①若x1，不等式可变为(x1)(x3)4，即2x4＞4，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；②若1x2，不等式可变为(x1)(x3)4，即1＞4，∴不存在满足条件的x；

③若x3，不等式可变为(x1)(x3)4，即2x4＞4， 解得x＞4．又x≥3，∴x＞4． 综上所述，原不等式的解为x＜0，或x＞4．

解法二：如图，x1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离

|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．

|x－3|

所以，不等式x1x3＞4的几何意义即为|PA|＋|PB|＞4．由|AB|可知点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧．

所以原不等式的解为x＜0，或

x＞4．

|x－1|

例2（1）解：原式=[x2

(

)

1

]2

(x2)2()2(1

)22x2(x2x2



13

3

32

13

()

x43



82

13

x

3

x

9

说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．

（2）原式=(131315m)(2n)

125m3

18

n3 （3）原式=(a24)(a44a242)(a2)343a6

64

（4）原式=(xy)2(x2xyy2)2[(xy)(x2xyy2

)]2

(x3

y3

)2

x6

2x3

y3

y6

例3解：x2

3x10 x0 x1x

3

原式=(x

12

1x

)(x1

(x12

3]3(32

x

2

)x

)[(x

1x

)3)18

例4解：abc0,abc,bca,cab

222

原式=a

bcca(a)bc

b

aac

c

abab



bc



b(b)ac



c(c)ab



abc

abc

①

a3b3(ab)[(ab)23ab]c(c23ab)c3

3abc

a3b3c3

3abc ②，把②代入①得原式=

3abcabc

3

例5解：（1

）原式



23

6

（2）原式=|x1|

|x2|x1)(x2)2x3 (x2)

((x1)(x2)1 (1x2)

说明



|a|的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．



（3）原式ab

（4）

原式

=



例6解

：x



 xy14,xy1

23

7y7原式=(xy)(x2

xyy2

)(xy)[(xy)23xy]14(142

3)2702

说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量． 【巩固练习】

1．4x3 2． 

．3或2 4．3

5．x4

y4

z4

2x2

y2

2x2

z2

2y2

z

2

6．13,

2

3

,

3

y

,4



专题二因式分解答案

例1分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现a6b6

，可看着是

(a3

)2

(b3

)2

或(a2

)3

(b2

)3

．

解：(1) 3a3b81b43b(a327b3)3b(a3b)(a23ab9b2)．

(2) a7ab6a(a6b6)a(a3b3)(a3b3)a(ab)(a2abb2)(ab)(a2abb2)

a(ab)(ab)(a2

abb2

)(a2

abb2

)

例2（1）分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式． 解：ab(c2d2)(a2b2)cdabc2abd2a2cdb2cd(abc2a2cd)(b2cdabd2)

ac(bcad)bd(bcad)(bcad)(acbd)

（2）分析：先将系数2提出后，得到x22xyy24z2，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．

解：2x24xy2y28z22(x22xyy24z2)2[(xy)2(2z)2]2(xy2z)(xy2z)

例5 解： x33x24(x31)(3x23)(x1)(x2x1)3(x1)(x1)

(x1)[(x2

x1)3(x1)](x1)(x2

4x4)(x1)(x2)2

【巩固练习】

1．(1)(bcad)(acbd);(2)(x4m2n)(x2n);(3)(x24x8)(x24x8);

(4)(x1)(x3)(x7);(5)(x2y)2

(x2y)．

2．

28；

33．(

1

2

122

2

xx1)(

2

x3x1)x4x x(x4)

其他情况如下：(

1x2

2x1)(

12

2

2

xx)x1(x1)(x1)； (

12

x2

3x1)(

12

2

2

xx)x2x1(x1)2

.

4．a3

a2

cb2

cabcb3

(a2

abb2

)(abc)

专题三一元二次方程根与系数的关系习题答案

例1解：∵(2)2

43k412k，∴(1) 412k0k

113

； (2) 412k0k3

； (3)

412k0k

13

；(4)412k0k

13

．

例2解：可以把所给方程看作为关于x的方程，整理得：x2(y2)xy2y10

由于x是实数，所以上述方程有实数根，因此：[(y2)]24(y2y1)3y20y0， 代入原方程得：x22x10x1．综上知：x1,y0 例3解：由题意，根据根与系数的关系得：x1x22,x1x22007

(1) x2221x2(x1x2)2x1x2(2)22(2007)4018

(2)

1

x

1

x1x221

x2

x1x

2

2007



22007

(3) (x15)(x25)x1x25(x1x2)2520075(2)251972

(4) |x1x2|







说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：x222

11x1x21x2(x1x2)2x1x2，

x，

1

x2

x1x2

(x22

1x2)(x1x2)

4x1x2，|x1x2|

【巩固练习】

1． A； 2．A； 3．p1,q3； 4．a3,b3,c0； 5． m1 (1)当k3时，方程为

3x10，有实根；(2) 当k3时，0也有实根．6．(1) k

34

且k1； (2) k7．

专题四 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数参考答案

例1 解：(1)因为A、B关于x轴对称，它们横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以x22，y13，则A2,3、

B2,3．

(2)因为A、B关于y轴对称，它们横坐标互为相反数，纵坐标相同，所以，x22，y13，则A2,

3、

B2,3．

(3)因为A、B关于原点对称，它们的横纵坐标都互为相反数，所以x22，y13，则A2,3、B2,3．

例2分析：因为直线过第一、三象限，所以可知k>0，又因为b＝2，所以直线与y轴交于（0，2），即可知OB＝2，而ΔAOB的面积为2，由此可推算出OA＝2，而直线过第二象限，所以A点坐标为（－2，0），由A、B两点坐标可求出此一次函数的表达式。

解：∵B是直线y＝kx＋2与y轴交点，∴B（0，2），∴OB＝2，又S1AOB

2

AOBO2，AO2

又ykx2，过第二象限，A(2，0)把x12，y10代入ykx2中得k1，

yx2 【巩固练习】

1． B 2． D(2，2)、C(8，2)、B(6，0)． 3．（1）k8．（2）点P的坐标是P(2，4)或P(8，1)．

专题五二次函数参考答案

例1 解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2

＋4，∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x＝－1；顶点坐标为(－1，4)；

当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；

当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小； 采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点

B3

0)和

C(

3

0)与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．

说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．

例2 分析：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量yx价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值． 解：由于y是x的一次函数，于是，设y＝kx＋（B），将x＝130，y＝70；x＝150，＝50代入方程，有70130kb,

1，b＝200．∴ y＝－x＋200．

50150kb,

解得 k＝－设每天的利润为z（元），则z＝(－x+200)(x－120)＝－x2

＋320x－24000＝－(x－160)2

＋1600， ∴当x＝160时，z取最大值1600．

答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．

例3 分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论． 解：（1）当a＝－2时，函数y＝x2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x＝－2；

（2）当－2＜a＜0时，由图2．2－6①可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取最小值y＝a2；

（3）当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函数取最小值y＝0；

（4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y＝a2；当x＝0时，函数取最小值y＝0．

① ②

③

说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．

例4（1）分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a．

解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为ya(x2)21(a0)，∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴1a(32)21，解得a＝－2．

∴二次函数的解析式为y2(x2)21，即y＝－2x2＋8x－7．

说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题． （2） 分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．

解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，展开，22

得 y＝ax2

＋2ax－3a， 顶点的纵坐标为 12a4a

4a

4a，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，∴|

－4a|＝2，即a＝

1

．所以，二次函数的表达式为y＝

12

32

2

2xx

2

，或y＝－

12

xx

32

．

分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．

解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x＝－1．又顶点到x轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2，由于函数图象过点(1，

0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．∴a＝－1，或1．所以，所求的二次函数为＝2

a＝

2

y－

1(2

2

x＋1)＋2，或y＝

1

2

(x＋1)2－2．

说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．

（3）解：设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得

22abc

8c

解得 a＝－2，b＝12，c＝－8．所以，所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8． 84a2bc

【巩固练习】

1．（1）D （2）C （3）D 2．（1）y＝x2＋x－2 （2）y＝－x2

＋2x＋3 3．（1）y2x22x1．（2）y4(x1)234x28x1． （3）y

12

12

2

5

(x3)(x5)

15x

2x3．

（4）y5

2

x3

2

12

x3x

52

4．当长为6m，宽为3m时，矩形的面积最大．

x, 0x2,

5．（1）函数f（x）的解析式为y4x, 2x4,4, 4x6,x

8x, 6x8.

（2）函数y的图像如图所示

（3）由函数图像可知，函数y的取值范围是0＜y≤2．

专题六二次函数的最值问题参考答案

例1分析：由于函数y2x2

3x5和yx2

3x4的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值． 解：（1）因为二次函数y2x23x5中的二次项系数2＞0，所以抛物线y2x23x5有最低点，即函数有最小值．因为y2x23x5=2(x

34

)2



49

28

，所以当x

3

4时，函数y2x3x5有最小值是

49

．

8

（2）因为二次函数yx2

3x4中的二次项系数-1＜0，所以抛物线yx23x4有最高点，即函数有最

大值．因为yx23x4=(x

32

252

)

4

，所以当x

3时，函数2

yx23x4有最大值

25．

4

例2解：作出函数的图象．当x1时，ymin1，当x2时，ymax5．

说明：二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．

根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：

例3解：作出函数yx(2x)x22x在x0内的图象．

可以看出：当x1时，ymin1，无最大值．所以，当x0时，函数的取值范围是y1．

例5解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为(x30)元，那么m件的销售利润为ym(x30)，又

m1623x． y(x30)(1623x)3x2252x4860,30x54

(2) 由(1)知对称轴为x42，位于x的范围内，另抛物线开口向下

当x42时，y3422

max252424860432

当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．

【巩固练习】 1．4 14或2，

3 2．

l

2

2

12

16

m 3．a2,b2． 4．a

1a4

或．

5．当t0时，ymax22t，此时x1；当t0时，ymax22t，此时x1．

专题七不等式答案

例2解：(1) 不等式可化为(x2)(x4)0∴ 不等式的解是2x4

(2) 不等式可化为(x2)2

0 ∴ 不等式的解是x2；(3) 不等式可化为(x

12

)2



74

0．

例3解：显然k0不合题意，于是：k0k0k0

(2)24k2

0

k210k1或k1k1 例4分析：(1) 类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因

为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解． (2) 注意到经过配方法，分母实际上是一个正数．

2x302x30x3解：(1) 解法(一)原不等式可化为：

10或

2或

xx10

x321x3

x1



x1

2 11

解法(二) 原不等式可化为：(2x3)(x1)01x

32

．

(2) 解：原不等式可化为：

1303x5x2

x2

0

3x5

x20(3x5)(x2)0



 x20

x2或x53

说明：(1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0． (2) 本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号：13x20

x2x22)1或3(x

3(x2)1

【巩固练习】 1．(1)

12

x0 (2)3x6 (3)x1 (4)x3；

2．(1)x1或x1 (2)x12

或x3 (3)x2或x0 (4)x

12

；

3．(1) 无解 (2) 全体实数 4．(1)当m2时，x1mmm2m2

；(2)当m2时，x

1m2

；(3) 当时，x取全体实数．

5．m12

； 6．k5 7．a5或a1．

12