干涉法测量光栅常数_柏栋
第30卷第11期2011年11月大学物理COLLEGE PHYSICS Vol．30No．11Nov．2011
干涉法测量光栅常数
柏
栋，卞永成
(南京大学物理学院，江苏南京210046)
摘要:讨论了一种测量光栅常数的新方法．这一方法基于通过横向移动光栅改变各级衍射条纹之间的相位关系，进而改变相邻衍射条纹之间的干涉效应，从而完成光栅常数的测量．同时给出了运用这种方法完成光栅常数测量的一般条件，并简单地同其他几种测量方法进行比较．
关键词:光栅常数; 衍射; 相移; 干涉中图分类号:O 436．21
文献标识码:A
文章编号:1000-0712(2011) 11-0058-04
光栅是一种极为重要的光学元件，在现代光学
中具有广泛的应用．光栅常数是刻画光栅物理特性的基本物理量．实验上准确测定光栅常数具有重要的意义．
普通物理实验中，光栅常数的测量主要是基于光栅公式
sin θ=k
λ
d
(1)
t 槇(x ，y ) =t 0+t 1cos (2πfx +φ0)
(3)
槇(x ，y ) ，设入射光波前为U 则由屏函数的定义并i
利用欧拉公式可得，衍射光波前为
槇(x ，槇(x ，U y ) =U y ) t 槇(x ，y ) =d i
槇(x ，U y ) ［t 0+t 1cos (2πfx +φ0) ］=i 槇(x ，槇(x ，槇(x ，U y ) +U y ) +U y ) 0+1－1
其中
槇(x ，槇(x ，U y ) =U y ) t 00i
(4)
1槇槇(x ，U y ) =(x ，y ) t 1exp ［i (2πfx +φ0) ］(5) +1
2i 1槇槇(x ，U y ) =U (x ，y ) t 1exp ［－i (2πfx +φ0) ］－1
2i
(6)
槇(x ，槇(x ，槇(x ，U y ) 、U y ) 、U y ) 分别对应0级易知，0+1－1
+1级衍射条纹、－1级衍射条纹．衍射条纹、
现在，将光栅沿x 轴正方向平移ΔX ．相应的，正弦光栅的屏函数为
t 槇+(x ，y ) =t 0+t 1cos ［2πf (x －ΔX ) +φ0］(7) 式(4) —式(6) 式亦做如下变动:
槇+(x ，槇(x ，U y ) =U y ) 00
槇+(x ，槇(x ，U y ) =U y ) exp (－i2πf ΔX ) +1+1
(8) (9) (10)
具有代表性的实验有:利用分光计测量透射光
栅的光栅常数; 利用He －Ne 激光器通过光栅所产生的夫琅禾费衍射测定其光栅常数等等．
基于傅里叶变换光学，本文试图给出一种不同于上述原理的测量光栅常数的新方法，即利用光栅不同衍射级条纹的干涉效应完成测量(简称干涉法) ．干涉法的与众不同之处在于巧妙地运用了各衍射级对光栅横向移动不同的相位响应．
1
1．1
实验原理
光栅横向移动的相位响应
1］以正弦光栅为例．由文献［可知，任意光栅的
屏函数均可通过傅里叶级数化归为正弦光栅的情形，因此下面的推导具有一般性．特别的，对于实验
室中最常见的黑白光栅，下面的有关结论均同样成立．
一般的，正弦光栅的屏函数为
t 槇(x ，y ) =t 0+t 1cos (2πf x x +2πf y y +φ0)
(2)
在后续的推导中，均假设光栅刻线的方向与x 轴垂直，因此正弦光栅的屏函数可做如下简化:
收稿日期:2010－10－25; 修回日期:2011－05－30
槇+(x ，槇(x ，U y ) =U y ) exp (i2πf ΔX ) －1－1
对比式(4) —式(6) ，可知，横向平移光栅后，各级衍
射条纹的位置与强度均无变化，但+1级条纹与－1级条纹发生了方向相反、大小相同的相移，记为
作者简介:柏栋(1989—) ，男，江苏盐城人; 南京大学物理学院2008级本科生．
Δφ=2πf ΔX
特别地，当ΔX =nd 时，Δφ=2πn ．1．2
光栅干涉与光栅常数测量的新方法
(11)
由波动光学可知，平行光经过汇聚透镜后呈球
面波传播．对光栅G 建立如图3所示的坐标系，则由1］可知，文献［可以采用如下复振幅描述入射至光栅G 的汇聚球面波:
x 2+y 2
槇U i (x ，y ) =A (x ，y ) exp －i2πf
2Δ
光栅的各级衍射光是天然的相干光束．通过引入图1所示光路并适当调节光路参数，可以实现相邻各级衍射光的干涉效应
．
()
(13)
这里，先假设Δ＞0(Δ同透镜焦距F 相比亦是
小量) ．则式(4) —式(6) 可做如下改写
:
图1光栅常数测量的实验光路原理图．f 为汇聚透镜其中s 为平行光源，G 为正弦光栅，P 为观测屏
在上面的光路中，光栅G 同汇聚透镜f 的间距
控制在焦距F 附近即可，无需严格等于F ．实验中，光栅G 的0级衍射光分别同+1级与－1级衍射光发生干涉，如图1阴影区域所示．理想情况下，当平行光源S 为矩形光源(图2(a ) ) 时，可得到如图2(b ) 所示的干涉条纹分布
．
图3Δ不为零时实验光路的局部放大图
x 2+y 2
槇U 0(x ，y ) =A (x ，y ) t 0exp －i πf
Δ
1槇(x ，U y ) =A (x ，y ) t 1exp (i φ0) ·+1
2
()
(14)
exp －i2πf
[[
((
x 2+y 2
－x 2Δ
)])]
(15)
1槇(x ，U y ) =A (x ，y ) t 1exp (－i φ0) ·－1
2
exp －i2πf
图2
x 2+y 2
+x 2Δ
(16)
槇(x ，槇(x ，槇(x ，y ) 、U y ) 、U y ) 同为汇可见衍射光U 0+1－1槇(x ，y ) 、聚球面波．由相因子判断法可知，球面波U 0槇(x ，槇(x ，U y ) 、U y ) 的汇聚点坐标分别为(0，0，+1－1
(Δ，0，(－Δ，0，Δ) 、Δ) 、Δ) ，即最终到达观测屏的衍0，(Δ，0，(－射光束可等效为由坐标为(0，Δ) 、Δ) 、0，Δ，Δ) 的3个相干点光源出射的相干球面波．通过适当选择光学参数，实验上可实现相邻衍射光束的
0，干涉，即坐标为(0，Δ) 的点光源的出射光束分别0，(－Δ，0，同坐标(Δ，Δ) 、Δ) 的光源的出射光束相干，形成如图1阴影区域所示的相干区域．此时在观测屏上将出现同杨氏双孔干涉类似的干涉图样．近轴条件下，干涉条纹间距亦可仿照杨氏双孔干涉进行简单估算．
上面的讨论是假定Δ＞0的，当Δ＜0时，光栅G 的入射光束为发散光束，可进行类似讨论．
d
，由上面讨论2
－1级衍知，相比平移前，此时0级衍射光与+1级、
若横向移动光栅G 距离为ΔX =
射光之间的相位差将分别增加Δφ=π，亦即原来干
涉相长的区域此时干涉相消，原来干涉相消的区域干涉条纹的明暗分布将发生反转．实此时干涉相长，验中，通过连续横向移动光栅，将观察到干涉的同步移动．当
ΔX =nd
(12)
时，干涉条纹将发生n 次完整的移动，对于明条纹区域，即经历n 次由明到暗、再由暗到明的过程．式(12) 正是干涉法测量光栅常数的核心公式．
下面，简要说明图1所示光路是如何实现光栅各衍射级之间的干涉．
2
2．1
数据处理及实验分析
－4
与n =20，由表1得，光栅常数d =1．01ˑ 10m ; 由－4表2得，光栅常数d =1．01ˑ 10m ．
实验数据处理
实际操作中，我们使用了如图4(a ) 所示的实验光路，实验现象如图4(b ) 所示
．
2．2
干涉法的实现条件
在前面的分析中，详细地阐述了干涉法测量光
栅常数的基本原理．这一原理的实现依赖于在实验上实现光栅相邻衍射光束的干涉(简称光栅干涉) ．然而，对图1所示的实验光路，并非任意的光学参数都能够形成光栅干涉．实验上能否观测到光栅干涉与平行光源的孔径、待测光栅的光栅常数的大小等因素有关．一般地，平行光源的孔径越大、待测光栅的光栅常数越大，则越容易观测到光栅干涉．
下面，就近轴情形给出发生光栅干涉的判据．
设平行光束孔径为D ，引入α=
D
．对于斜入射2F
的情形，光栅公式(1) 可做如下改动:
sin θ=sin φ+k
λ
d
(17)
近轴条件下，式(17) 进一步简化为
θ=φ+k
λ
d
(18) λ＜αd (19) (20)
易知，发生光栅干涉的必要条件是－α+
图4
即
－4
F ＜1Dd η=
F λDd
选取光栅常数约为1ˑ 10m 的黑白光栅进行
引入判定因子
光栅常数的测量．实验中，我们分别记录了干涉条纹经历10次与20次完整移动所对应的光栅的横向位移ΔX ，见表1、表2．
表1干涉条纹经历10次完整移动所对应的光栅横向位移ΔX
序号12345
ΔX /10－2mm
10．010．29．910．49．8
当η＜1时可观测到光栅干涉．
F ≈30cm 实验中选取
D ≈3cm λ≈600nm
观察到了光栅干涉，并测得光栅常数d ≈1ˑ 10－5m 代入式(20) 得可知符合上述判据．
－6
若选取光栅常数为d ≈1ˑ 10m 的光栅进行
η=
F λ
=0．6＜1Dd
表2干涉条纹经历20次完整移动所对应的光栅横向位移ΔX
序号12345
ΔX /10－2mm
20．120．020．120．320．1
实验．在其他光学参数不变的情况下，此时
η=
F λ
=6＞1Dd
在实验中，确实未能观测到光栅干涉效应，同上述判据很好的吻合．
3结论
同传统的基于光栅公式的测量方案相比，干涉
运用式(12) 可计算光栅常数d ．分别取n =10法测量光栅常数具有测量原理新颖、实验装置简单、
数据处理方便等优点．但在实际的测量中，由于实验
室条件的限制，透镜焦距F 、平行光源孔径D 等光学参数的取值有限，通常这一方法只能用于低频光栅的光栅常数的测量．此时，干涉法的测量精度同传统方法相当．同时由于数据处理过程与入射光的波长无关，利用光栅公式，干涉法又可用来完成光波长的测量．
致谢:感谢南京大学周惠君老师给予的无私支持
与帮助．
参考文献:
［1］赵凯华，钟锡华．光学
1996:60，64，43．社，
M ］．北京:北京大学出版下册［
A new measurement of grating constant based on interference
BAI Dong ，BIAN Yong-cheng
(College of Physics ，Nanjing University ，Nanjing ，Jiangsu 210046，China )
Abstract :A new way to measure grating constant is discussed based on phase shift between adjacent diffraction light caused by the transverse movement of the grate ，which results in a visible change in their interference effect．Also conditions are specified to accomplish the measurement and a brief comparison is given in the end．
Key words :grating constant ; diffraction ; phase shift ; interference
(上接37页)
Design and measurement of high frequency signal of compact disk
recordable in physics experiment
SU Xin-fang ，HUANG Wei ，WEI Jing-hua
(School of Science ，Beijing University of Civil Engineering and Architecture ，Beijing 100044，China )
Abstract :By using the old CD driver and electronic technologies ，the “eye diagram ”formed by high frequen-cy signal of compact disc is demonstrated on analog oscilloscope．The high frequency signal parameters ，such as the highest voltage ，normalized voltage I 11R 、I 3R ，resolution ，symmetry ，are measured．The demonstration installation which is accessible and easily manipulated by students shows the knowledge in high and innovative technologies and daily life．It could be used to demonstrate and analyze the characteristic of the optics experiment．
Key words :compact disk recordable ; high frequency signal ; eye diagram ; parameter test
(上接43页)
Analysis of quantum chaos teaching
ZHONG Guang-hui ，YUAN Guo-yong ，YANG Shi-ping
(College of Physics Science and Information Engineering ，Hebei Normal University ，Shijiazhuang ，Hebei 050016，China )
Abstract :The significance of quantum chaos teaching is introduced．It is useful for undergraduates to compre-hensively understand quantum theory and bring up their innovations．
Key words :quantum mechanics ; quantum chaos ; teaching