有限电阻网络等效电阻的一种计算方法_季德璜
Vol . 25No . 2 物 理 教 师 第25卷第2期 (2004) PHYSICS T EACH ER 2004年
有限电阻网络等效电阻的一种计算方法
季德璜
(苏州大学物理科学与技术学院, 江苏苏州 215006)
一般说来, 电阻网络是一种复杂电路, 它的等效电阻的计算需要一定的技巧和方法, 因而引起了广大教师的兴趣和关注. 在本刊2002年第5期《田字形电阻网络的等效电阻》一文中, 作者展示了求解电阻网络等效电阻的常用方法, 归纳起来不外乎:(1) 分析电阻网络的对称性, 把网络等效电阻的计算化为简单电路(电阻的串联或并联) 的等效电阻的计算; (2) 利用叠加原理, 计算出网络各支路上的电流, 进而计算出网络的等效电阻. 但上述方法在电阻网络较大或对称性不强时的应用会受到一定的限制, 本文提出一种可以计算任意形状有限电阻网络等效电阻的一般方法
.
2U A -U F -U E =I 0R 0,
-2U A +5U F -2U O -U G =0, -U F +4U O -U E -U H -U G =0, -2U A -2U O +5U E -U H =0, -2U O -U E +4U H -U G =0.
不妨取U G =0(零电势点的选取并不影响网络等效电阻的计算) , 运用消元法或代入法解联立方程组得U A
29
=I 0R 0(U F 、U O 、U E 、U H 的值也可同时求出, 但计24
算等效电阻时用不到, 故不予列出) , 最后可得A 、G 间的等效电阻为:
U A -U G 29R AG ==R 0.
I 024
本方法在电阻网络较大, 又不具有明显对称性时尤为有效. 例如考虑如图2所示的电阻网络, 现欲求O 、K 两点间的等效电阻. 此时电路中的节点为E 、O 、F 、G 、H 、D 、K , 设电流I 0从O 点流入, K 点流出, 由各节点处的电流关系, 可得各节点电势满足的联立线性方程组为:
5U E -2U O -U F -2U D =0,
-U E +4U O -U F -U G -U H =I 0R 0, -U E -2U O +4U F -U G =0, -2U O -U F +4U G -U H =0, -2U O -U G +7U H -2U D -2U K =0, -U E -U H +3U D -U K =0. 取U K =0, 解联立线性方程组得U O =
543
I R , 最后52000
图1 图2
我们仍以田字形电阻网络为例来说明这一方法. 12个阻值相等的电阻R 0组成如图1所示的田字形网络, 现欲求A , G 间的等效电阻, 显然此时网络对A , G 两点无对称可言. 设电流I 0从A 点流入, G 点流出, 电路中的节点(三条以上支路的交点) 为A 、F 、O 、E 、H 、G . 令各节点处的电势分别为U A 、U F 、U O 、U E 、U H 、U G , 列出各节点处的电流关系, 例如对节点A , 我们有
U A -U F U A -U E
+=I 0, R 0R 0
化简后得
2U A -U F -U E =I 0R 0.
对节点F 有
U F -U A U F -U G U F -U O
++=0, R i 2R 0R 0
即 -2U A +5U F -2U o -U G =0.
同样对O 、E 、H 各节点均可列出相应关系式(这里只需列出独立的方程, 故G 点的方程不需列出) . 由此可得各节点电势满足的联立线性方程组:
得O 、K 两点间的等效电阻为:
U O -V K 543R OK ==R .
I 05200
由上述两例我们可以看到, 本文提出的方法可以计算任意形状有限电阻网络中任意两点, 如A 与B 间的等效电阻, 思路简单清晰. 注意到当电阻网络增大, 节点数增多时, 求解联立线性方程组的工作量也相应增大, 此时可进一步利用求解线性方程组的计算机应用程序, 例如Ma tlab 或Ma thematica , 进行数值求解. 在计算时可取I 0=1, R 0=1, U B =0, 若数值计算结果为U A =C (C 为正常数) , 则得网络等效电阻为R AB =CR 0. 从而使得这一方法更加快捷有效.
(收稿日期:2003-08-18)
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