专题讲练:高中数学椭圆的概念与性质
专题讲练：椭圆的概念与性质
※知识梳理 1．椭圆的概念
在平面内与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫________．
集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数：
(1)若________，则集合P 为椭圆； (2)若________，则集合P 为线段； (3)若________，则集合P 为空集．
※题型讲练
【例1】一动圆与已知圆O 1：(x ＋3) 2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3) 2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．
变式训练1：
1．求过点A (2,0)且与圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．
【例2】求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)；
(2)经过两点A (0,2)和B ⎛ 1 ⎫
⎝2 ⎪⎭
变式训练2：
1．已知椭圆过(3,0)，离心率e 6
3
【例3】已知曲线C 的方程为x 25－m ＋y 2
m ＋31.
(1)若曲线C 为圆，求m 的范围；
(2)若曲线C 为椭圆，求m 的范围；
变式训练3：
x 2y 2
1．已知椭圆10－m m －2＝1，长轴在y 轴上.
(1)求m 的范围；
(2)若焦距为4，求m 的值；
x 2【例4】设F y 2
1，F 2分别是椭圆25＋16
＝1的左，右焦点，P 为
椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，求|PM |＋|PF 1|的最大值．
变式训练4：
．已知椭圆x 24y 2
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1内有一点P (1，－1) ，F 为椭圆的右焦点，
在椭圆上有一动点M ，求|MP |＋|MF |的最大值及最小值．
已知椭圆方程x 2a y 2
【例5】b 1 (a >b >0)，焦点为F 1、F 2，P 是
椭圆上一点，若∠F 1PF 2=α．求△F 1PF 2的面积．
变式训练5：
x 2y 2
1．设P 是椭圆 16 + 12
= 1 上的点，P 到两焦点F 1、F 2的距离
之差为2，求△F 1PF 2的面积.
【例6】如图，已知点P 是以F 1、F 2为左、右焦点的椭圆上一
点，若PF ＝1
1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 22
变式训练6：
1．已知F 1，F 2是椭圆C 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，求椭圆的离心率．
【例7】已知椭圆C ：4x 2+9y 2=144内有一点P （3，2），求过点P 且以P 为中点的弦所在的直线方程；
变式训练7：
．椭圆 x 2y 2
14＋3
＝1内有一点P (1，－1) ，过点P 且以P 为中点
的直线与椭圆相交于A 、B 两点，求弦AB 的中垂线方程.
【例8】已知直线l ：y =x +m 和椭圆C ：x 24＋y 2
＝1.
(1)若直线l 与椭圆C 相交，求m 的取值范围；
(2)设直线l 与椭圆C 交与A 、B 两点，若弦AB =8，求m 的值.
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变式训练8：
1．已知直线l ：x —y +m=0和椭圆C x 216+ y 2
4
= 1 . (1)若直线l 与椭圆C 相切，求m 的值； (2)当m =1时，求直线l 被椭圆C 截得的弦长.
Q 在椭圆 x 2y 2
【例9】若点4+ 7
= 1 上，求点Q 到直线
3x -2y -16=0
的距离的最大值.
变式训练9：
1．已知F x 21、F 2是椭圆4
y 2
＝1的左右焦点，点P 在椭圆上运
动．求PF 1·PF 2的最大值.