数学竞赛初级讲座西姆松定理及应用
中学数学教学参考 2003年第10期
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○数学竞赛初级讲座○
西姆松定理及应用
湖南师大数学奥林匹克研究所 沈文选
1 基础知识
西姆松定理 过三角形外接圆上异于顶点的任意一点作三边的垂线,则三垂足共线(此线称为西姆松线).
证明:如图1,设P为△ABC的外接圆上任一点,从P向三边
BC、CA、AB所在直线作垂线,垂足
射影,是应用西姆松定理的关键.
例1 如图2,过正△ABC外接圆的AC上点一P分别作PD⊥AB,垂足为D,PE⊥AC,垂足为E,PF⊥BC,垂足为F.求证:
PFPD
证明:由PD⊥AB,垂足为
+
=
PE
.
D,PE⊥AC,垂足为E,PF⊥BC,垂足为F,知A、E、P、D及E、F、C、P分别四点共圆,则
分别为L、M、N.连结PA、PC,由
P、N、A、M四点共圆,有∠PMN=
∠DPE=∠BAE=60°,∠∠ECF=.
,知EF三点共线,从而以PPDF应用张角定理,有
PFPD
∠PAN=∠PCL.
∠PAB=∠PCB=
又P、M、C、L四点共圆,有∠PML=∠PCL.故∠PMN=∠PML,即L、N、M.注:此定理有许多证法.,令∠PBC=α,∠PCB,则∠PAM=α,∠PAN=β,∠PBN=,BL=PB・cosα,LC=PC・
cosβ,CM=PC・cosγ,MA=PA・cosα,AN=PA
=LCMANB
PE
=+
+PF
PDPD
PE
,即
PE
=
PF
,故+=.
例2 如图3,设AD、BE、
CF为△ABC的三条高线,自D
・cosβ,NB=PB・cosγ,对△ABC,有
=1.故由梅涅劳斯定βPA・PC・coscosαPB・cosγ
点分别作DP⊥AB,垂足为P,
DQ⊥BE,垂足为Q,DR⊥CF,
理之逆定理,知L、N、M三点共线.
对于西姆松定理,还可运用托勒密定理、张角定理、斯特开尔特定理来证(略).
西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线,则该点在此三角形的外接圆上.
证明:如图1,设点P在△ABC的三边BC、CA、
AB所在直线上的射影分别为L、M、N,且此三点共
垂足为R,DS⊥AC,垂足为S,连结PS.求证:Q、R在直线PS上.
证明:由于△BFH的外接圆为圆BDHF,而D为该圆上一点,且D在△BFH三边所在直线上的射影分别为P、Q、R,于是,由西姆松定理,知P、Q、R三点共线.
同理可证Q、R、S是△HEC的西姆线上三点.由于直线PQR与直线QRS有两个公共点Q、R,所以这两条直线重合,故Q、R在直线PS上.
例3 如图4,设P为△ABC的外接圆上一点,分别作PA′⊥BC交圆周于A′,PB′⊥AC交圆周于B′,
PC′⊥AB交圆周于C′,求证:AA′∥BB′∥CC′.
线,由PN⊥AB,垂足为N,PM⊥AC,垂足为M,PL⊥BC,垂足为L,知P、B、L、N及P、N、A、M分别四点共圆,而AB与LM相交于N,则∠PBC=∠PBL=∠PNM=∠PAM,从而P、B、C、A四点共圆,即点P在△ABC的外接圆上.
2 综合应用
(1)找到或作出三角形外接圆上一点在三边上的
证明:设PA′⊥BC,垂足为L,PB′⊥AC,垂足为
N,PC′⊥AB,垂足为M,则由西姆松定理,知L、M、
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N三点共线.注意到L、B、P、M及A′、B、P、A分别四点共
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的边BC、BA所在直线的垂线,再过P点作PM⊥AC,垂足为M,则由西姆松定理,知L、M、N三点共直线,即L、M、N、K四点共线.
设BC边上的高线为AD,延长AD交圆于F,连结PF交BC于G,交西姆松线NL于Q,连结PH交西姆松线NL于S.
由P、C、L、M四点共圆及A、F、C、P共圆,连结
PC,则∠MLP=∠MCP=∠AFP=∠LPF,从而QP
圆,连结BP,则∠AMN=∠BML=∠BPL=∠BPA′=∠BAA′,于是,AA′∥LN.
同样,注意到A、B、P、B′及A、M、P、N分别四点共圆,连结PA,则∠ABB′=∠APB′
=∠APN=∠AMN,于是BB′∥LN.
=QL,即Q为Rt△PLG的斜边PG的中点.连结HG,由∠DFC=∠ABC=∠DHC,知HD=DF,有
由A、P、C′、C四点共圆,知∠ACC′+∠APC′=
180°.注意到∠APC′=∠APM=∠ANM=∠CNM,
∠HGD=∠DGF=∠LGP=∠QLG,从而HG∥
ML,即SQ是△PHG的中位线,亦即HS=SP.
则∠ACC′+∠CNM=180°.于是,CC′∥LM.故AA′∥BB′∥CC′.
例4 如图5,设P为△ABC外接圆上BC内一点,过P作PD⊥BC,垂足为D,PF⊥AB,垂足为F.设H为△ABC的垂心,延长PD至P′,使PD=P′D.求证:HP′∥DF.(由1979年山西省数学竞赛题改编)
证明:连结AH并延长交BC于A′,交圆于H′,则由∠HCB=∠BAH′=∠BCH′,知
HA′=A′H′.
又PL∥KH,有∠LPS=∠KHS及∠PSL=∠HSK,于是△PSL≌△HSK,即有PL∥
=KH,亦即
四边形PKHL为平行四边形,故PK∥LH.
注:由此例可得,P与垂心H,.
),灵活应
.
7,一条直线l与O的圆不相交,E是l上一点,OE⊥l,M是l上任意异于
E的点,从M作⊙O的两条切线
又由已知PP,且=DP,连结PH′,P′H
关于BC对称,从而∠PH′H=∠P′HH′.
由于从P点已向△ABC的两边所在直线AB、BC引了垂线PF、PD,再过点P向边AC所在直线作垂线
PE,垂足为E,则由西姆松定理,知F、D、E三点共
分别切圆于A和B,C是MA上的点,使得EC⊥MA,D是MB上的点,使得ED⊥MB,直线CD交OE于F.求证:点F的位置不依赖于M的位置.(IMO35预选题)
证明:令OE=a,⊙O的半径为R,连结EA、EB、
OA、OB、OM、AB,设AB交OM于G,交OE于Q,则OA⊥MA,OB⊥MB,OM⊥AB.
2由射影定理,得OG・OM=OB,又由M、E、Q、
线.设西姆线EF与HA′交于M.又由P、C、E、D四点共圆,有∠CPE=∠CDE.
在Rt△PCE中,∠CPE与∠PCE互余;在
Rt△MDA′中,∠A′DM=∠CDE与∠DMA′互余.故
∠DMA′=∠PCE=∠PCA=∠PH′H=∠P′HH′,由此即知HP′∥EF,故HP′∥DF.
例5 如图6,设P为△ABC外接圆上一点,过点P分别作PL⊥BC,垂足为L,PN⊥AB,垂足为
N,LN交BC边上的高线于K,设H为△ABC的垂心.求证:PK∥LH.
G四点共圆,有OQ・OE=OG・OM=OB2=R2,从而
知OQ=
,△OEB∽△OBQ,即有∠BEO=∠OBQa
=∠BAO,即∠1=∠2=∠3.由此得∠MEB+
2
∠MAB=(90°+∠1)+(90°-∠3)=180°,故A、B、
E、M共圆.
作EN⊥AB交AB的延长线于N,由西姆松定理,知C、D、F、N四点共线,注意到A、N、E、C与A、
O、E、M均四点共圆,有∠ENF=∠EAM=∠EOM,
证明:由于从P点引了△ABC
于是EN∥OM,由此有∠ENF=∠NEF,故∠ENF=
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∠NEF.
在Rt△NEQ中,由上推知F为EQ的中点,因
22
(OE-OQ)=EQ=,故F的位
222a
置不依赖于M的位置.
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R在射线DB上,从而D在RC上.此时,如果Q在AC上(当△ABC是锐角三角形时),则
此,EF=
∠RXD=∠RXQ-∠QXD,∠QXC=∠DXC-∠QXD.
如果Q在射线AC上且在⊙O的外部,则上面的等式中的减号须用加号代替.另一方面,
∠RXD-∠QXC=∠RXQ-∠DXC.
(3)
例7 如图8,延长凸四边形ABCD的边AB,CD交于E,延长AD,BC交于F,试证:△BCE,△CDF,△ADE,△ABF的四个外接圆共点.
证明:设△BCE与△CDF的两个外接圆除交于点C外,另一交点为M,设点M在直线
BE、EC、BC上的射影分别为P、Q、R,则由西姆松定理,知P、Q、R三点共线.
由于∠RXQ,∠BCA都是锐角,它们的两条边又两两垂直(或由R、X、C、Q共圆),因此,∠RXQ=∠BCA.注意到∠DXC=∠AXC=∠CBA.又因四边形QRXC是圆内接四边形,有∠QXC=∠QRC,等式
(3)就成为
∠RXD-∠QRC=∠BCA-∠CBA.考察圆Γ,如图11,因XR⊥
BC,所以Γ过点R.又Q、X在RC
(33)
同样,M在直线DC,CF,DF上的射影Q、R、S三点也共线,故P、Q、R、S四点共线.
在△ADE中,P在AE上,Q在DE上,S在边
AD所在直线上,且P、Q、S三点共线,则由西姆松定
的两侧,D在RC上,可得RQ相切当且当∠=,由3△ABC的H外心为O,外接圆半径为R,设A,B,C分别关于直线
BC,CA,AB的对称点为D、E、F,
理的逆定理,知M点在△ADE的外接圆上.
在△ABF中,P在直线AB上,R在BF上,SAF上,且P、R、S三点共线,知M点在△ABF故△BCE、△ADEF的四个外接圆共点.
例8 如图9,设D是△ABC的边BC上的一个内点,AD交△ABC的外接圆⊙O于X.P、Q是X分别到AB和AC的垂足,Γ是直径为XD的圆.证明:PQ与Γ相切当且仅当AB=AC.(IMO38预选题)
证明:连结AO并延长交⊙O
于A′,由B、C的对称性,不失一般性,可设X在BA′上,则Q在直线CA上,而P在射线AB上且位于⊙O的外部(这种安排使∠BCA不是钝角).
设R是X到BC的垂足,由西姆松定理,知P、R、
Q三点共线.
证明:D、E、F三点共线的充分必要条件是OH=2R.(IMO39预选题)
证明:设△ABC的重心为G,
BC、CA、AB的中点分别为A′、B′、C′.过A、B、C分别作BC、CA、AB的平行线,其交
点分别为A″、B″、C″,则△A″B″C″的重心为G,外心为
H.
设O点在直线B″C″、C″
A″、A″B″上的射影分别为D′、E′、F′.以G为位似中心,-h(G,-
为位似比,作位似变换2
设E是A到BC的垂足,若D在E与C之间,这只在AC>AB时发生,此时R在D与C之间,如图
10,因此,PR与Γ的直径DX相交,交点在D与X之
),此变换将A、B、C,A″、B″、C″分别变换2
为A′、B′、C′,A、B、C.
由于A′D⊥BC,且AD∶A′D′=2∶1=GA∶GA′及
h(G,-
间,所以PR(亦即PQ)不能与Γ相切.结论成立.
若D在B与E之间(包括可能与E重合)时,则
∠DAG=∠D′A′G,有D
2
D′,类似地,E
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h(G,-
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2
h(G,-
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90°-(∠B+∠C)=∠BAC,从而A,I,C,K四22
E′,F
2
F′.于是,D、E、F三
点共线等价于D′、E′、F′三点共线.
注意到D′、E′、F′分别是O点在B″C″、C″A″、
A″B″上的射影,由西姆松定理及其逆定理,知D′、E′、F′三点共线的充分必要条件是O点在△A″B″C″的外
点共圆.
又AD⊥CK,垂足为D,AE⊥KB,垂足为E,AG⊥CI,垂足为G,A是△ICK外接圆上任一点,由西姆松定理,知D、E、G三点共线.同理,B、I、A、L四点共圆,AE⊥BI,垂足为E,AG⊥IL,垂足为G,AF⊥
BL,垂足为F,由西姆松定理知E、G、F三点共线.故F、G、E、D四点共线.
(4)设正△ABC外接圆AB上任一点P到边BC、CA、AB的距离分别为ha、hb、hc,其垂足分别为D、E、F,正三角形边长为a,由面积等式可得ha+hb-hc=
接圆上,因为△A″B″C″的外接圆半径为2R.所以,O点在此圆上的充分必要条件是OH=2R.
3 强化训练
(1)设P为△ABC外接圆圆周上一点,P在边BC、CA、AB上的射影分别为L、M、N,令PL=l,PM
=m,PN=n,BC=a,CA=b,AB=c,求证:mna=lnb+lmc.
(2)设PA、PB、BC为⊙O的三条弦,分别以它们
a.此式两边平方,得2
ha2+hb2+hc2+2(hahb-hc-hahc)=
为直径作圆,两两相交于D、E、F.求证:D、E、F三点共线.
(3)自△ABC的顶点A作∠B的内、外角平分线BE、BF的垂线,垂足为E、F,再作∠C的内、2
a.4
==,PB
a・=ba・PA=hc・PC.故ha・PA=hb・PB
=hc・PC.
分线CG、CD的垂线,垂足为G、D,求证:、ED四点共线.
(4)求证:注意到P、F、E、A及P、D、B、F分别四点共圆,有∠PFD=∠PBD=∠PAC,∠PDF=∠PBF
=∠PCA,得△PFD∽△PAC,故PA=PB=
・a.同理,DF
离的平方和为定值.
(5)若三圆均经过其三圆心所成的外接圆上任何
一点,则此三圆两两相交于三个共线点.
训练题参考解答
(1)由西姆松定理知,L、M、N三点共线.注意到P、L、N、B及P、M、C、L分别四点共圆,知∠LPN=
hhh・hh・hh・h・a,PC=・a.即==DEEFDFDEEF
=k.
∠B,∠LPM
PL
==
∠C.又由张角定理,有
PM
由西姆松定理,知D、E、F共线,即DF+FE
=DE.于是hahb-hahc-hbhc=(DE-DF-EF)・k=0.故
22h2a+hb+hc=
+
PN
,即mn・sin∠A=
ln・sin∠B+lm・sin∠C.再应用正弦定理,得mn・a
=ln・b+lm・c.
(2)根据直径所对的圆周角是直角,知∠BDP=
2
a.4
(5)设以△ABC的三个顶点为圆心的三圆,皆经
∠ADP=90°,∠BFP=∠CFP=90°,∠CEP=∠AEP
=90°,即知D、A、B;B、F、C;C、E、A分别三点共线.
过同一点M,而M在△ABC的外接圆上,⊙A与⊙B另交于D,⊙A与⊙C另交于E,⊙B与⊙C另交于
F.
又PD⊥AB,垂足为D,PE⊥AC,垂足为E,PF⊥BC,垂足为F,P是△ABC外接圆圆周上一点,由西姆松定理,知D、E、F三点共线.
(3)延长BE、CD相交于点K,延长CG,BF相交
注意到在⊙A与⊙B中,公共弦MD垂直于连心线AB,⊙A与⊙C中,公共弦ME垂直于连心线AC,⊙B与⊙C中,公共弦MF垂直于连心线BC.对△ABC及其外接圆圆周上一点M,应用西姆松定理,知D、E、F三点共线.
于点L,设CG与BE相交于点I,则I为△ABC的内
心.由∠CAI=∠BAC,而∠CKI=90°-∠CIK=
2