微积分大一第二学期
微积分B 期终
一、选择题（每小题3分，共12分）：
1、下列微分方程是三阶线性方程的是（ ）
A） (y ') 3+y =x B） 2y '''+x y '=e x
C ） (y ''') 3+y =x D） y y '''+sinx =0
2、与∆2y t +2y t =t +2为同一差分方程的是（ ）
A） y t -2y t -1+3y t -2=t B） y t -2y t -1+3y t - 2=t +2
C） 3y t -2y t -1+y t -2=t +2 D） y t +1+y t =t +2
3、 下列级数中绝对收敛的是（ ）
A) ∑(-1)
n =1
∞∞n -1n B) ∑(-1) n -1n =1∞∞n n +1
C) ∑(-1)
n =1n -11n D) ∑n =1sin 10n 2n
4、 考虑二元函数f(x,y)的下列四条性质：f(x,y)在点处 （x 0, y 0）
（1）连续，（2）两偏导数连续，(3) 可微，（4）两偏导数存在。若用
“P ⇒Q ”表示可由性质P 推出性质Q ，则有（ ）
A ）(3) ⇒（4）⇒（1） B）(3)⇒ （2）⇒（1）
C ）（2）⇒ (3) ⇒（1） D）(3)⇒ （1）⇒（4）
二、填空题（每题3分，共15分）：
1、设f(x,y)=x 2+e sin[(y -1)(x -1)], 则f y (1, 1) =
2、交换二次积分次序
π2y xy ' ⎰dy ⎰13y 1f (x , y ) dx +⎰dy ⎰f (x , y ) dx 3y -24y
3、⎰2
-π2(x5+1)cos 2xdx =
1⎰e 2xln 2x dx =
x y 2sint ，则f ''(x ) 5、设f (x ) =⎰[⎰58t 4、+∞
三、多元函数微分学(每题8分，共16分)
1、设u=f(x,y,z)=(x -y ) z , z=x 2+y 2 ,求du.
2、由f (x +z z ∂z ∂z , y +) =0确定的隐函数，求x +y . y x ∂x ∂y
四、二重积分（每题8分，共16分)
1、x ⎰⎰σ-x 2+y 2d σ，σ是顶点分别为（0，0），（1，0），（1，1）的三角形闭区域。
（1）化上二重积分为两个不同顺序的二次积分；（2）选择其中适当的二次积分计算其值。
2、ln ⎰⎰σx 2+y 2dxdy ，σ：1≤x 2+y 2≤e 2。
五、级数（每题8分，共16分)
(-1) n -1
2n -1 1、利用逐项求导或逐项积分，求幂级数∑的和函数，写出收敛区间，并x
n =12n -1∞
(-1) n -132n -1利用上结论求数项级数∑的和. () 3n =12n -1∞
2、将函数y =x
1+x -2x 2展成x 的幂级数，并写出收敛区间.
六、微分方程（8分）
⎧⎨(x 2+1) y '+2xy =3x 2
求微分方程初值问题的解
⎩y |.
x =0=1
七、应用题
1、定积分在几何上的应用(8分)
求由直线y=1x ,y=2x,x=1,x=2所围成的图形的： 2
（1）面积； （2）绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.
2、最值在经济中的应用（9分）
某工厂生产甲、乙两种产品，其销售价分别为10万元和9万元，若生产x 件甲种产品和y 件乙种产品。其总成本C=400+2x+3y+0.01(3x+xy+3y) （万元）.
试问若要获得最大利润，两种产品各应生产多少件？这时的最大利润是多少？
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