圆中的动点问题方法汇总培优卷

1、（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6㎝，BC=8㎝，P为BC的中

点．动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2㎝/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．

⑴当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；

⑵已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．

(第26题)

解⑴直线AB与⊙P相切．

如图，过点P作PD⊥AB, 垂足为D．

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵AC=6cm，BC=8cm，

∴AB=10cm．∵P为BC的中点，∴PB=4cm．

∵∠PDB＝∠ACB＝90°，∠PBD＝∠ABC．∴△PBD∽△ABC． PDPBPD4==，∴PD =2.4(cm) ． ∴,即ACAB610

当t=1.2时，PQ=2t=2.4(cm)

∴PD=PQ，即圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径．

∴直线AB与⊙P相切．

⑵ ∠ACB＝90°，∴AB为△ABC的外切圆的直径．∴OB=

1AC=3cm． 2

∵点P在⊙O内部，∴⊙P与⊙O只能内切．

∴5-2t=3或2t-5=3，∴t=1或4．

∴⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4．

1AB=5cm． 2连接OP．∵P为BC的中点，∴OP=

2、如图：AB是 ⊙O的直径，弦BC=2㎝, ∠ABC=60°。（1）若D是AB延长线上一点，连接CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切。（2）若动点E以2㎝/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1㎝/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t(0＜t＜2），连接EF，当t为何值时，△BEF为直角三角形。

B 图（2）图（1）

解：（1）∵AB是⊙O的直径（已知）

∴∠ACB＝90º（直径所对的圆周角是直角）

∵∠ABC＝60º（已知）

∴∠BAC＝180º－∠ACB－∠ABC＝ 30º（三角形的内角和等于180º） ∴AB＝2BC＝4cm（直角三角形中，30º锐角所对的直角边等于斜边的

一半）

即⊙O的直径为4cm．

CD切⊙O于点C，连结OC，则OC＝OB＝1/2·AB＝2cm．

∴CD⊥CO（圆的切线垂直于经过切点的半径）

∴∠OCD＝90º（垂直的定义）

∵∠BAC＝ 30º（已求）

∴∠COD＝2∠BAC＝ 60º（在同圆或等圆中一条弧所对的圆周角

等于它所对的圆心角的一半）

∴∠D＝180º－∠COD－∠OCD＝ 30º（三角形的内角和等于180º） ∴OD＝2OC＝4cm（直角三角形中，30º锐角所对的直角边等于斜边的

一半）

∴BD＝OD－OB＝4－2＝2（cm）

∴当BD长为2cm，CD与⊙O相切．

（3）根据题意得：

BE＝（4－2t）cm，BF＝tcm；

如图10（2）当EF⊥BC时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BAC

∴BE：BA＝BF：BC

即：（4－2t）：4＝t：2

解得：t＝1

如图10（3）当EF⊥BA时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BCA

∴BE：BC＝BF：BA

即：（4－2t）：2＝t：4

解得：t＝1.6

∴当t＝1s或t＝1.6s时，△BEF为直角三角形．

3、如图1，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A开始沿折线A-B-C-D以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．

（1）t为何值时，四边形APQD为矩形？

（2）当P在AB上运动时，t为何值时，直线PQ与以AD为直径的圆相切？

（3）如图2，如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm，那么t为何值时，⊙P和⊙Q外切？

点P从A开始沿AB边向B以3cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边向D以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．

（1）t为何值时，四边形APQD是平行四边形？

（2）如图2，如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm，那么t为何值时，⊙P和⊙Q外切？

解：（1）∵DQ∥AP，

∴当AP=DQ时，四边形APQD是平行四边形．此时，3t=8-t．解得t=2（s）．即当t为2s时，四边形APQD是平行四边形．

（2）∵⊙P和⊙Q的半径都是2cm，

∴当PQ=4cm时，⊙P和⊙Q外切．而当PQ=4cm时，如果PQ∥AD，那么四边形APQD是平行四边形．

①当四边形APQD是平行四边形时，由（1）得t=2（s）．

②当四边形APQD是等腰梯形时，∠A=∠APQ．

∵在等腰梯形ABCD中，∠A=∠B，

∴∠APQ=∠B．

∴PQ∥BC．

∴四边形PBCQ平行四边形．此时，CQ=PB．

∴t=12-3t

．解得t=3（s）．

综上，当t为2s或3s时，⊙P和⊙Q相切．

5、（2010•威海）如图，在▱ABCD中，∠DAB=60°，AB=15cm．已知⊙O的半径等于3cm，AB，AD分别与⊙O相切于点E，F．⊙O在▱ABCD内沿AB方向滚动，与BC边相切时运动停止．试求⊙O滚过的路程？ 解：连接OE，OA．

∵AB，AD分别与⊙O相切于点E，F，

∴OE⊥AB，OE=3cm．

∵∠DAB=60°，

∴∠OAE=30°．

在Rt△AOE中，OA=2OE=6㎝

∴AE=0A2-OE2=62-32=33

∵AD∥BC, ∠DAB=60°

∴∠ABC=120°

设当运动停止时，⊙O与BC、AB分别相切于点M,N,连接ON,OB

同理可得BN=3㎝

∴EN=AB-AE-BN=15-3-=(15-4)

即⊙O滚过的路程是(15-43)㎝

6、（2010新疆）（10分）如图是一个量角器和一个含30°角的直角三角形放置在一起的示意图，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC=OE.

（1）求证：DE∥CF；

（2）当OE=2时，若以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，求OB的长.

（3）若OE=2，移动三角板ABC且使AB边始终与半圆O相切，直角顶点B在直径DE的延长线上移动，求出点B移动的最大距离.

（1）证明：连接OF，

∵AB切半圆O于点F，∴∠OFB=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠OFB=∠ABC，

∴OF∥BC，

∵BC=OE，OE=OF，

∴BC=OF，

∴四边形OBCF是平行四边形，

∴DE∥CF；

（2）若△OBF∽△ACB OBAC=∴ OFAB

AC∙OF∴OB=

AB

∴OB=4⨯2

2=43 3

若△BOF∽△ACB，

OBAC=∴ OFCB

AC∙OF CB

4⨯2=4 OB=2∴OB=

4 3

（3）解：画出移动过程中的两个极值图，

由图知：点B移动的最大距离是线段BE的长， ∵∠A=30°，∴∠ABO=30°，∴BO=4，∴BE=2， ∴点B移动的最大距离是线段BE的长为2． 综上可知：OB的值是4或是