参数的取值范围例解
2014 11 马洪亮
波利亚提到的思维方法告诉我们:时刻不忘未知量,参数取值范围的求解问题,因为涉及到两个或者两个以上的字母,显得抽象繁琐,还可能考察到二次函数、指数、对数函数、三角函数、向量、解析几何、分段函数等,解题方法也较灵活多样,不易掌握。以下归纳,以作参考。
1.变换主元
例1.若不等式
对满足
的所有实数m都成立,求x的取值范围。
析:已知参数m的取值范围而求未知数x的取值范围,可采用变换主元的策略,原不等式可变形为
,当
时恒成立。当做以m为自变量的函数
,则原问题可等价转化为函数
在区间[-2,2]上的函数值恒小于零,从而有
,即
,解得
。
2.数形结合
例2.已知对任意实数x,不等式
恒成立。求实数k的取值范围。
解:原不等式两端可视为两个函数
与y=kx,在同一坐标系中画出这两个函数的图象,问题的解决方法自然产生。如图,只有当直线
的斜率k取区间[0,1]上的任一值时,才有
恒成立。故实数k的取值范围为
。
3. 分离参数
例3.函数
为定义在
上的增函数。若
恒成立,求实数m的取值范围。
解:依题意,原不等式
对
分离参数m,应用得:
在函数定义域中恒成立
,
可得
对
分离参数m,应用得:
对一切
恒成立
。
可得
由①、②可知,实数m的取值范围为
。
4.最值性质:(1)
恒成立
;(2)
恒成立
;(3)
有解
;(4)
有解
。
例4.求使不等式
有解的实数a的取值范围。
析:只需求出
的最小值,只要a大于其最小值即可,求出坐标轴上到两点和的最小值。答案:
。
5.构造法
例5.设关于
的方程
在区间(0,
)内有相异的两个实根
。求实数a的取值范围。
设
,则由题设知,直线
与圆
有两个不同的交点A(
)和B(
)。
即原点O到直线
的距离小于1,即
。
解得:
。
又因为
、
,且
,直线
不过点(1,0),即
。
所以
,即
点评:将代数问题构造平面图形后,用平面解析几何的有关知识解题,实际上是数形结合思想的灵活应用。
6.利用函数的单调性求解
例6.已知函数
对区间
上的一切x值恒有意义,求a的取值范围。
解:依题意,
对
上任意x的值恒成立
整理为
对
上任意x的值恒成立。
设
,只需
而
在
上是增函数,则
所以
7.构造向量巧解
由向量的数量积公式:
(其中θ为向量a与b的夹角),
,又
,则易得到以下推论:
(1)
; (2)
;
(3)当a与b同向时,
;当a与b反向时,
;
(4)当a与b共线时,
。
例7.设x,y为正数,不等式
恒成立,求a的取值范围。
解:设
,则
由性质
,得
又不等式
恒成立
故有
8. 利用导数解决不等式恒成立问题
不等式恒成立问题,一般都会涉及到求参数范围,往往把变量分离后可以转化为m>f(x) (或m
例8、已知函数
,对f(x)定义域内任意的x的值,f(x)≥27恒成立,求a的取值范围
解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),由f(x)≥27对一切x∈(0,+∞)恒成立
知
对一切x∈(0,+∞)恒成立,
即
对x∈(0,+∞)恒成立
设
则
,由h′(x)=0解
h′(x)>0时,解得0<x<
, h′(x)>0时x>
所以h(x)在(0,
)上递增,在(
,+∞)上递减,
故h(x)的最大值为
,所以