圆的解题技巧总结

圆的解题技巧总结

一、垂径定理的应用

给出的圆形纸片如图所示，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD 的弦AB ，垂足为P ，再将纸片沿着直径CD 对折，我们很容易发现A 、B 两点重合，即有结论AP=BP，弧AC=弧BC ．其实这个结论就是“垂径定理”，准确地叙述为：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

垂径定理是“圆”这一章最早出现的重要定理，它说明的是圆的直径与弦及弦所对的弧之间的垂直或平分的对应关系，是解决圆内线段、弧、角的相等关系及直线间垂直关系的重要依据，同时，也为我们进行圆的有关计算与作图提供了方法与依据．

例1 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．

(1)请你补全这个输水管道的圆形截面；

(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm ，求这个圆形截面的半径．

例2 如图，PQ=3，以PQ 为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P ，正方形ABCD 的顶点A 、B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD 切于点Q ，则AB=？

例3 如图，已知⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD 的四个顶点分别在半径OM 、OP 以及⊙O上，并且∠POM=45°，则AB 的长为多少？

例4 图为小自行车内胎的一部分，如何将它平均分给两个小朋发做玩具？

二、与圆有关的多解题

几何题目一般比较灵活，若画图片面，考虑不周，很容易漏解，造成解题错误，在解有关圆的问题时，常常会因忽视图形的几种可能性而漏解．

1．忽视点的可能位置．

例5 △ABC 是半径为2的圆的内接三角形，若BC 2cm ，则∠A的度数为______．

2．忽视点与圆的位置关系．

例6 点P 到⊙0的最短距离为2 cm，最长距离为6 cm，则⊙0的半径是______．

3．忽视平行弦与圆心的不同位置关系．

例7 已知四边形ABCD 是⊙0的内接梯形，AB∥CD，AB=8 cm，CD=6 cm，⊙0的半径是5 cm，则梯形的面积是______．

4．忽略两圆相切的不同位置关系

例8 点P 在⊙0外，OP=13 cm，PA 切⊙0于点A ，PA=12 cm，以P 为圆心作⊙P 与⊙0相切，则⊙P的半径是______．

例9 若⊙O 1与⊙02相交，公共弦长为24 cm ，⊙O 1与⊙02的半径分别为13 cm 和15 cm ，则圆心距0102的长为______．

三、巧证切线

切线是圆中重要的知识点，而判断直线为圆的切线是中考的重要考点．

判断直线是否是圆的切线，主要有两条途径：

1．圆心到直线的距离等于半径

当题中没有明确直线与圆是否相交时，可先过圆心作直线的垂线，然后证明圆心到直线

的距离等于半径．

例10 如图，P 是∠AOB的角平分线OC 上一点，PD⊥OA于点D ，以点P 为圆心，PD 为半径画⊙P，试说明OB 是⊙P的切线．

2．证明直线经过圆的半径的外端，并且垂直于这条半径

当已知直线与圆有交点时，连结交点和圆心（即半径），然后证明这条半径与直线垂直即可．

例11 如图，已知AB 为⊙O的直径，直线BC 与⊙0相切于点B ，过A 作AD∥OC交⊙0于点D ，连结CD.

(1)求证：CD 是⊙0的切线；

(2)若AD=2，直径AB=6，求线段BC 的长．

四、结论巧用，妙解题

例12 已知：如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 边上的切点，求证：s ∆ABC =AD ⋅BD ．

该结论可叙述为：“直角三角形的面积等于其内切圆与斜边相切的切点分斜边所成两条线段的乘积．”运用它，可较简便地解决一些与直角三角形内切圆有关的问题，举例如下：

例13 如图，⊙0为Rt△ABC的内切圆，切点D 分斜边AB 为两段，其中AD ＝10，BD ＝3，求AC 和BC 的长．

例14 如图，△ABC 中∠A与∠B互余，且它们的角平分线相交于点0，又OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为E 、F ，AC=10，BC ＝13．求AE ·BF 的值．

五、点击圆锥的侧面展开图

圆锥的侧面展开图是中考中的热点内容：

解决此类问题的关键是明确圆锥的侧面展开图中各元素与圆锥各元素之间的关系：圆锥的侧面展开图是扇形，而扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥的底面周长．

例15 若一个圆锥的母线长是它的底面半径长的3倍，则它的侧面

展开图的圆心角是( )A．180° B．90° C．120° D．135°

例16 圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则这个圆锥的母线长与底面

半径长的比是( )A.2:1 B.2π:1 C．2：1 D．3：1

例17 如图，小红要制作一个高4 cm ，底面直径是6 cm 的圆锥形小漏斗，

若不计接缝，不计损耗，则她所需纸板的面积是( )

A ．15πcm B．6πcm C．12⋅πcm D．30 cm

例18 下图是小芳学习时使用的圆锥形台灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面

2积为______cm．（不考虑接缝等因素，计算结果用π表示）

2222

评注：圆锥的侧面积，需要熟练掌握其计算公式，理解圆锥的侧面积等于其剪开后扇形的面积．

例19 如图，有一块四边形形状的铁皮ABCD ，BC= CD,AB= 2AD,∠ABC

＝∠ADB= 90°．

(1)求∠C的度数；

(2)以C 为圆心，CB 为半径作圆弧BD 得一扇形CBD ，剪下该扇形并

用它围成一圆锥的侧面，若已知BC ＝a ，求该圆锥的底面半径；

(3)在剩下的材料中，能否剪下一块整圆做该圆锥的底面？并说明理由．

六、例谈三角形内切圆问题

三角形的内切圆是与三角形都相切的圆，它的圆心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等，它与顶点的连线平分内角．应用内心的性质，结合切线的性质、切线长的性质可以解决很多问题，现举例说明，

例20 如图，△ABC 中，内切圆⊙I和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ．

求证：(1)∠FDE =90︒-1∠A ；

2

(2)∠BIC =90o +1∠A ． 2

例21 如果△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆⊙I 半径为

r ，那么△ABC的面积为( ).

A ．(a +b +c ) r B．1a +b +c ）r 2

C ．1a +b +c ）r D．1a +b +c ）r 34

七、阴影部分面积的求值技巧

求阴影部分面积，通常是根据图形的特点，将其分解、转化为规则图形求解．但在转化过程中又有许多方法．本文精选几个题，介绍几种常用方法．

1．直接法

当已知图形为熟知的基本图形时，先求出适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小，然后直接代入公式进行计算．

例22 如图，在矩形ABCD 中，AB=1，AD=，以BC 的中点E 为圆心的与AD 相切于点P ，则图中阴影部分的面积为( )

A ．2π B．3π C．π D．π 343

2．和差法

当图形比较复杂时，我们可以把阴影部分的面积转化为若干个熟悉的图形的面积的和或差来计算．

例23 如图，AB 和AC 是⊙0的切线，B 、C 为切点，∠BAC=60°，

⊙0的半径为1，则阴影部分的面积是( )

A ．3-2π B．-π C．23-π D．23-π 333

3．割补法

把不规则的图形割补成规则图形，然后求面积．

例24 如图，正方形ABCD 的顶点A 是正方形EFGH 的中心，EF=6

cm ，则图中的阴影部分的面积为______．

4．等积变形法

把所求阴影部分的图形进行适当的等积变形，即可找出与它面

积相等的特殊图形，从而求出阴影部分面积．

例25 如图，C 、D 两点是半圆周上的三等分点，圆的半径为R ，求阴影部分的面积．

5．平移法

把图形做适当的平移，然后再计算面积．

例26 如图，CD 是半圆0的直径，半圆0的弦AB 与半圆O ' 相切，点O ' 在CD 上，且AB∥CD，AB ＝4，则阴影部分的面积是（结果保留π）．

6．整体法

例27 如图，正方形的边长为a ，分别以对角顶点为圆心，边长为半径画弧，则图中阴影部分的面积是( )

A ．-1a 2+1πa 2 B．2(a 2-1πa 2) 244

C ．-a 2+1. πa 2 D．a 2-1πa 2 22

7．折叠法

例28 如图，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点0，其直径CD ，EF 均和x 轴垂直，以0为顶点的两条抛物线分别经过点C 、E 和点D 、F ，则图中阴影部分的面积是______．

8．聚零为整法

例29 如图所示，将半径为2 cm 的⊙0分割成十个区域，其中弦AB 、CD 关于点0对称，EF 、GH 关于点0对称，连结PM ，则图中阴影部分的面积是______（结果用π表示）．

八、圆中辅助线大集合

圆是初中重点内容，是中考必考内容．关于圆的大部分题目，常需作辅助线来求解．现对圆中辅助线的作法归纳总结如下：

1、有关弦的问题，常做其弦心距，构造直角三角形

例30 如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O交于点G 、B 、F 、E ，GB=8 cm ，AG ＝1 cm ，DE ＝2 cm，则EF ＝______cm．

2、有关直径问题，常做直径所对的圆周角

例31 如图，在△ABC 中，∠C=90°，以BC 上一点0为圆心，以OB 为半径的圆交AB 于点M ，交BC 于点N ．

(1)求证：AB ⋅BM =BC ⋅BN

(2)如果CM 是⊙0的切线，N 为OC 的中点，当AC ＝3时，求AB 的值．

3

、直线与圆相切的问题，常连结过切点的半径，得到垂直关系；或选圆周角，找出等

角关系

例32 如图，AB 、AC 分别是⊙0的直径和弦，点D 为劣弧AC 上一点，弦ED 分别交⊙0于点E ，交AB 于点H ，交AC 于点F ，过点C 的切线交ED 的延长线于P ．

(1)若PC ＝PF ，求证：AB⊥ED．

2(2)点D 在劣弧的什么位置时，才能使AD ＝DE·DF，为什么？

4、两圆相切，常做过切点的公切线或连心线，充分利用连心线必过切点等定理

例33 如图，⊙02与半圆O l 内切于点C ，与半圆的直径AB 切于D ，若AB=6，⊙02的半径为1，则∠ABC的度数为______．

C 、数学思想方法与中考能力要求

数学思想和方法是数学的血液和精髓，是解决数学问题的有力武器，是数学的灵魂．因此，我们领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是提高数学思维水平，提高数学能力，运用数学知识解决实际问题的有力保证，因此，我们在学习中必须重视数学思想在解题中的应用．

一、数形结合思想．

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合．通过对图形的认识，数形结合的转化，可培养同学们思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体．

例1 MN是半圆直径，点A 是的一个三等分点，点B 是的中点，P 是直径MN 上的一动点，⊙0的半径是1，求AP+BP的最小值．

二、转化思想

转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换，使之转化，进而得到解决的一种方程，转化思想，能化繁为简，化难为易，化未知为已知．

例2 如图，以0⊙的直径BC 为一边作等边△ABC ，AB 、AC 交⊙0于D 、E 两点，试说明BD=DE=EC．

在同圆或等圆中，经常利用圆心角、圆周角、弧、弦等量的转化，说明其他量．

三、分类思想

所谓分类思想，就是当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论．分类必须遵循一定的原则：(1)每一次分类要按照同一标准进行；(2)不重、不漏、最简.

例3 ⊙0的直径AB=2 cm，过点A 的两条弦AC=2cm ，AD=cm ，求∠CAD 所夹的圆内部分的面积．

在圆中有许多分类讨论的题目，希望同学们做题时，要全面、缜密，杜绝“会而不对，对而不全”的现象．

四、方程思想

通过对问题的观察、分析、判断，将问题化归为方程问题，利用方程的性质和实际问题与方程的互相转化达到解决问题的目的．

例4 如图，AB 是⊙0的直径，点P 在BA 的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E ，且PC 是⊙O的切线，若OE:EA=1:2，PA ＝6，求⊙0的半径．

五、函数思想

例5 （2005·梅州市）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P 是AC 上的动点（P 不与A 、C 重合），设PC ＝x ，点P 到AB 的距离为y ．

(1)求y 与x 的函数关系式；

(2)试讨论以P 为圆心，半径为x 的圆与AB 所在直线的位置关系，并指出相应的x 的取值范围．

例6 (2006·烟台) 如图，从⊙0外一点A 作⊙0的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，且⊙0直径BD ＝6，连结CD 、AO.

(1)求证：CD∥AO；

(2)设CD=x，AO=y，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

(3)若AO+CD＝11，求AB 的长．