解耦控制设计与仿真
解耦控制系统设计与仿真
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第一章 解耦控制系统概述
1.1背景及概念
在现代化的工业生产中，不断出现一些较复杂的设备或装置，这些设备或装置的本身所要求的被控制参数往往较多，因此，必须设置多个控制回路对该种设备进行控制。由于控制回路的增加，往往会在它们之间造成相互影响的耦合作用，也即系统中每一个控制回路的输入信号对所有回路的输出都会有影响，而每一个回路的输出又会受到所有输入的作用。要想一个输入只去控制一个输出几乎不可能，这就构成了“耦合”系统。由于耦合关系，往往使系统难于控制、性能很差。
所谓解耦控制系统，就是采用某种结构，寻找合适的控制规律来消除系统中各控制回路之间的相互耦合关系，使每一个输入只控制相应的一个输出，每一个输出又只受到一个控制的作用。 解耦控制是一个既古老又极富生命力的话题，不确定性是工程实际中普遍存在的棘手现象。解耦控制是多变量系统控制的有效手段。 1.2主要分类
三种解耦理论分别是：基于Morgan 问题的解耦控制，基于特征结构配置的解耦控制和基于H_∞的解耦控制理论。
在过去的几十年中，有两大系列的解耦方法占据了主导地位。其一是围绕Morgan 问题的一系列状态空间方法，这种方法属于全解耦方法。这种基于精确对消的解耦方法，遇到被控对象的任何一点摄动，都会导致解耦性的破坏，这是上述方法的主要缺陷。其二是以Rosenbrock 为代表的现代频域法，其设计目标是被控对象的对角优势化而非对角化，从而可以在很大程度上避免全解耦方法的缺陷，这是一种近似解耦方法。
1.3相关解法
选择适当的控制规律将一个多变量系统化为多个独立的单变量系统的控制问题。在解耦控制问题中，基本目标是设计一个控制装置，使构成的多变量控制系统的每个输出变量仅由一个输入变量完全控制，且不同的输出由不同的输入控制。在实现解耦以后，一个多输入多输出控制系统就解除了输入、输出变量间的交叉耦合，从而实现自治控制，即互不影响的控制。互不影响的控制方式，已经应用在发动机控制、锅炉调节等工业控制系统中。多变量系统的解耦控制问题，早在30年代末就已提出，但直到1969年才由E.G. 吉尔伯特比较深入和系统地加以解决。
1．3.1完全解耦控制
对于输出和输入变量个数相同的系统,
如果引入适当的控制规律, 使控制系统的传递函数矩阵为非奇异对角矩阵，就称系统实现了完全解耦。使多变量系统实现完全解耦的控制器，既可采用状态反馈结合输入变换的形式，也可采用输出反馈结合补偿装置的形式。给定n 维多输入多输出线性定常系统(A ，B ，C ) （见线性系统理论），将输出矩阵C 表示为
为C 的第j 个行向量, j =1,2,…,m ，m 为输出向量的维数。再规定一组结构指数di （i =1,2,…,m ）:当B
=0, AB =0…，AB =0时，取di =n -1；否则，di 取为使
CiAB ≠0的最小正整数N ，N =0,1,2,…,n -1。利用结构指数可组成解耦性判别矩阵：
已证明，系统可用状态反馈和输入变换，即通过引入控制规律u =-Kx +Lv ，实现完全解耦的充分必要条件是矩阵E 为非奇异。这里，u 为输入向量，x 为状
态向量，v 为参考输入向量, K 为状态反馈矩阵, L 为输入变换矩阵。对于满足可解耦性条件的多变量系统，通过将它的系数矩阵A ，B ，C 化成为解耦规范形, 便可容易地求得所要求的状态反馈矩阵K 和输入变换矩阵L 。完全解耦控制方式的主要缺点是，它对系统参数的变动很敏感，系统参数的不准确或者在运行中的某种漂移都会破坏完全解耦。 1.3.2静态解耦控制
一个多变量系统在单位阶跃函数(
见过渡过程) 输入作用下能通过引入控制装置实现稳态解耦时，就称实现了静态解耦控制。对于线性定常系统(A ，B ，C ), 如果系统可用状态反馈来稳定, 且系数矩阵A 、B 、C 满足关于秩的关系式，则系统可通过引入状态反馈和输入变换来实现静态解耦。多变量系统在实现了静态解耦后，其闭环控制系统的传递函数矩阵G (s ) 当s =0时为非奇异对角矩阵；但当s ≠0时, G (s ) 不是对角矩阵。对于满足解耦条件的系统，使其实现静态解耦的状态反馈矩阵K 和输入变换矩阵L 可按如下方式选择:首先, 选择K 使闭环系统矩阵(A －BK ) 的特征值均具有负实部。随后, 选取输入变换矩阵
，式中D 为非奇异对角矩阵，其各对角线上元的值可根据其他性能指标来选取。由这样选取的K 和L 所构成的控制系统必定是稳定的, 并且它的闭环传递函数矩阵G (s ) 当s =0时即等于D 。在对系统参数变动的敏感方面, 静态解耦控制要比完全解耦控制优越，因而更适宜于工程应用。 1.4相对增益 1. 相对增益定义
令某一通道μj → y i 在其它系统均为开环时的放大系数与该一通道在其它系统均为闭环时的放大系数之比为λij，称为相对增益。相对增益λij 是μ j 相对于过程中
其他调节量对该被控量y i 而言的增益（ μ j → y i ）
λij =
p ij
q ij
p ij 为第一放大系数（开环增益） q ij 为第二放大系数（闭环增益） 第一放大系数p ij （开环增益）
指耦合系统中，除μ j 到y i 通道外，其它通道全部断开时所得到的μ j 到y i 通道的静态增益;
即，调节量μ j 改变了∆ μ j 所得到的y i 的变化量∆y i 与∆ μ j 之比，其它调节量μ r （r ≠j ）均不变。 p ij 可表示为：
μ → y的增益
j
i
第二放大系数q ij （闭环增益）
（仅μ → y通道投运，其他通道不投运）
j
i
指除所观察的μ j 到y i 通道之外，其它通道均闭合且保持y r （r ≠i ）不变时， μ j 到y i 通道之间的静态增益。
即，只改变被控量y i 所得到的变化量∆y i 与μ j 的变化量∆ μ j 之比。 q ij 可表示为：
μ → y的增益
∂y i
q ij =
∂μj
j i
y r
（不仅μ → y通道投运，其他通道也投运）
j
i
相对增益λij 定义为：
∂y i
p ∂μj
λij =ij =
i q ij
∂μj
μr
y r
对于双输入-双输出系统
⎛p P = 11
⎝p 21p 12⎫⎛k 11k 12⎫⎪= ⎪p 22⎭⎝k 21k 22⎭
y 1=K 11μ1+K 12μ2⎫
⎬
y 2=K 21μ1+K 22μ2⎭
式中，Kij 表示第j 个输入变量作用于第i 个输出变量的放大系数。 λ
11
∂y 要求 ，首先求其分子项 1μ r ，除 μ 1 外，其他 μ 不变，则有，
∂μ1
∂y 1∂μ1
μr
=k 11λ11
∂y 1 的分母项，除 y 1 外，其他y 不变，则有， y r ∂μ1
y 1=K 11μ1+K 12μ2⎫
⎬
0=K 21μ1+K 22μ2⎭
由上面两式可得： 所以
y 1=K 11μ1-K 12
K 21
μ1K 22
k 21k 11k 22-k 12k 21
=k 22k 22
∂y 1
∂μ1
y r
=k 11-k 12
在求得 λ 11 的分子分母项后，可得
同样可以推导出：
∂y 1
p ∂μλ11=11=1
q 111
∂μ1
μr
=
y r
k 11k 22
k 11k 22-k 12k 21
λ22=λ11=λ12=λ21=
k 11k 22
k 11k 22-k 12k 21-k 12k 21
k 11k 22-k 12k 21
相对增益反映的系统耦合特性：
（1）0.8
第二章 解耦控制系统设计与仿真
存在耦合的多变量过程控制系统的分析与设计中需要解决的主要问题： 1. 如何判断多变量过程的耦合程度？ 2. 如何最大限度地减少耦合程度？
3. 在什么情况下必须进行解耦设计，如何设计？
3.3 解耦
这里进行前馈补偿解耦控制仿真。 前馈补偿法解耦
前馈补偿是自动控制中最早出现的一种克服干扰的方法，同样适用于解耦系统。下图所示为应用前馈补偿器来解除系统间耦合的方法。
假定从μ1到μc2通路中的补偿器为D 21，从μ2到μc1通路中的补偿器为D 12，利用补偿原理得到
K 21g 21+D21K 22g 22=0 K 12g 12+D12K 11g 11=0
由上两式可分别解出补偿器的数学模型
已给双输入耦合系统传递函数分别为：
和
耦合系统为
-30. 5和
3s +111s +1
此为双输入双输出系统，初步选择输入x1、x2分别对应输出y1、y2。经分
析，得系统输入、输出的传递关系为：
由式（1）的系统静态放大系数矩阵为：
即系统的第一放大系数矩阵为：
⎡p 11
P =⎢
⎣p 21
⎡k 11k 12⎤⎡110. 5⎤p 12⎤==⎥⎢⎥⎢⎥p 22⎦⎣-30. 3⎦⎣k 21k 22⎦
(3)
⎡11⎢7s +1⎡Y 1(S ) ⎤=⎢⎢⎥
Y (S ) ⎣2⎦⎢-3
⎢11s +1⎣0. 5⎤
⎡X 1(s ) ⎤3s +1⎥⎥⎥0. 3⎥⎢X (s ) ⎣2⎦⎥5s +1⎦
(1)
⎡k 11
⎢⎣k 21k 12⎤⎡110. 5⎤
=⎥⎢⎥k 22⎦⎣-30. 3⎦
(2)
系统的相对增益矩阵为：
⎡0. 68750. 3125⎤Λ=⎢⎥
0. 31250. 6875⎣⎦
(4)
由相对增益矩阵可以看出，λ11=λ22=0.6875, λ12=λ21=0.3125,均在（0.3,0.7）范围内，说明系统耦合作用比较强，需要解耦：
通过计算，前馈解耦控制器分别为：
G p 12(s ) =
3s +0. 61
s +0. 1
(5) (6)
0. 07s +0. 01
G p 21(s ) =-
s +0. 3
首先进行PI 参数整定，PI 参数整定通过解耦的两个单输入单输出系统进行。其Simulink 框图分别如图所示。整定采用试误法。PI 整定模型如图(a)
(a) PI 模块的结构
因此，我们分别进行两个输入的PI 整定
（b ）x1y1通道PI 整定Simulink 框图
(c) x2y2通道PI 整定Simulink 框图
建立simulink 模型
两个单输入单输出的系统的控制器选择PI 控制规律，参数整定为K P1=10、T I1=2、K P2=25、T I2=5，系统的输入分别为幅度为8和10的连续信号，系统的传递函数分别为
和
, 系统的输出响应如图
4所示，分别为幅度为8和10的连续输入、幅值在-1到1的随机干扰信号、第一通道的输出、第二通道的输出响应。
（d ）系统不在耦合的Simulink 仿真框图和仿真波形
(e) 系统耦合Simulink 仿真框图
(f) 利用前馈补偿实现系统耦合的Simulink 仿真框图
图(d)为系统无耦合的Simulink 阶跃仿真框图；图(e)为系统耦合时Simulink 阶跃仿真框图；图(f)为系统采用前馈耦合后的Simulink 阶跃仿真框图。
为了对比解耦和不解耦两种情况，图 (f)为解耦时系统的Simulink 仿真框图，图 (e)为不解耦时系统的Simulink 仿真框图。各处 干扰均为幅度为 1的随机扰动。
通过运行得到：
耦合系统波形
通过耦合系统波形我们可以看出，存在耦合的系统对于输入为8的回路具有很大的超调量，并且系统不稳定。
未加干扰前馈补偿解耦后的系统波形
通过前馈补偿解耦后的波形我们可以看出，系统输出除了开始有一定延迟外，能够很快达到稳定，且分别稳定在输入值10和8。
加干扰后的前馈补偿解耦系统
加入大小为（-1,1）之间的随机干扰后，系统也能自我调节，达到稳定。