通信原理教程(第三版)第10章答案

第十章习题

习题 10.1设有两个码组“0101010”和“1010100”，试给出其检错能力、纠错能力和 同时纠错的能力。

解：两个码组的最小码距为：do =6 由do e+1,得 e=5,即可以检错 5位。 由do 2t+1,得 t=2，即可以纠错 2位。

由do e+t+1,得 e=3,t=2,即可以纠错 2位，同时检错 3位。 习题 10.2设一种编码中共有如下 8个码组： 000000，001110，010101，011011，100011， 101101，110110，111000试求出其最小码距，并给 出其检错能力、纠错能力和同时纠检错的能力。

解：此 8个码组的最小码距为：do =3。 由do e+1,得 e=2,即可以检错 2位。 由do 2t+1,得 t=1，即可以纠错 1位。

由do e+t+1,得 e=1,t=1,即可以纠错 1位，同时检错 1位。

0001 0010 0100 1000 0011 0101 0110 0111 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 0000 S1S2S3S4

错码 位置 无错 码 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13

14

表 10-1习题 10.3表

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习题 10.3设有一个长度为 n=15的汉明码，试问其

监督位 r应该等于多少？其码率等于多少？其最小码距 等于多少？试写出其监督位和信息位之间的关系。

r

解：由n 2 1，n =15，得r =4，即监督位 4位。 码率为： k nr =154 = 11。

n n 15 15

用S1S2S3S4表示校正子，正好可以指明 15个错码的 位置，其关系如表 10-1所示。

可得监督位和信息位之间的关系式为

a3 a14 a13 a12 a11 a10 a9 a8 a a a13 a a11 a a a2 14 1 2 7 6 5 a1 a14 a a10 a9 a a6 a13 7 4 a a14 a12 a a8 a7 a a0 10 5 4

www . k h d aw.com

a

最小码距为：d o =3。

习题 10.4设上题中的汉明码是系统码。试计算出对应于信息位为全“1”的码组。

解：上题的监督矩阵为

1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 01 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 H=

1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0

1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1

则生成矩阵为

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 10 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1H

= 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1当信息位全为“1”时，码组为 [**************]。

习题 10.5设在上题给定信息位的码组中，第 3位码元出错。试求出这时的校正 子。

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解：第三位码元出错，则校正子为 0100。

说明：题目指明该分组码为循环码，但所得结果并不循环，其他资料上曾有同样 的题目，但只是说普通线性分组码，而非循环码，现将原循环码的监督矩阵改为

1 1 1 0 1 0 0

H= 0 1 1 1 0 1 0

1 1 0 1 0 0 1

习题 10.6已知一循环码的监督矩阵如下：

1 1 0 1 1 0 0H= 1 1 1 0 0 1 0

1 1 0 0 1

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试求出其生成矩阵，并写出所有可能的码组。

解：由该线性分组码的监督矩阵可知，该码长度 n=7,信息位 k=4,监督位 r=3.

0 1

1 1 1 0P = 0 1 1 1，Q= P

1 1 0 1

1 0 11 0 0 0 1 0 11 1 1 0 1 0 0 1 1 1 T

。 = ，则生成矩阵 G=

0 0 1 0 1 1 0 1 1 0

0 1 1

0 0 0 1 0 1 1

整个码组：A=[ a6 a5 a4 a3 ]G，于是可得所有可能的码组为

0000000，0001011，0010110，0011101，0100111，0101100，0110001，0111010， 1000101，1001110，1010011，1011000，1100010，1101001，1110100，1111111

习题 10.7对于上题中给定的循环码，若输入信息位为“0110”和“1110”，试分别求 出这两个码组，并利用这两个码组说明此码的循环性。

解：对于信息位“0110”，码组为：0110001，此码向左循环可得

1100010，1000101，0001011，0010110，0101100，1011000

依然为许用码组。

对于信息位“1110”，码组为：1110100，此码向左循环可得

1101001，1010011，0100111，1001110，0011101，0111010

依然为许用码组。

习题 10.8设一个（7，3）循环码的生成矩阵为 1 0 0 1 1 1 0G= 0 1 0 0 1 1 1

0 0 1 1 1 0 1

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试求出其监督矩阵，并列出所有许用码组。

1 0 1 1 0 0 01 0 0 1 1 1 0

1 1 1 0 1 0 0

。 解：由 G= 0 1 0 0 1 1 1，得 H=

1 1 0 0 0 1 0

0 0 1 1 1 0 1

0 1 1 0 0 0 1则所有许用码组为

0000000，0011101，0100111，0111010，1001110，1010011，1101001，1110100

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试给出此循环码的生成多项式 g(z)和生成矩阵G(x)，并将G(z)化成典型矩阵 解：由全部码组得：唯一的一个 n-k=3次码多项式所代表的码组为 0001011，则

x x 1，从而生成矩阵为

3

习题 10.9已知一个循环（7，4）循环码的全部码组为

0000000，1000101，0001011，1001110，0010110，1010011，0011101，1011000 0100111，1100010，0101100，1101001，0110001，1110100，0111010，1111111

生成多项式 g(x)

x3g x )(

x 2 g(x)

G( x )=

xg(x)

g(x)

1 0 0 1 0 0

0 1 0 1 0 0

， ，或 G=

0 0 1 0 1 0

0 0 0 1 1 1

化成典型矩阵为：

1 0 0 1 1 0 1G=0 1 0 1 1 1 1 。

0 0 1 0 1 1 0

0 0 0 1 0 1 1

习题 10.10试写出上题中循环码的监督矩阵 H和其典型矩阵形式。 解:监督多项式h(x) x 7 1 x 4

g(x)

2

x x 1，则 h(x) x4 x3 x2 1。

x2hx 1 1 1 0 1 0 0

( )

HH(x) = xh(x)，或= 0 1 1 1 0 1 0，

h(x)

化成典型矩阵为：

0 0 1 1 1 0 1

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g(x)

试求出其生成矩阵和监督矩阵。 解：由 g(x)

x x 1得

4 3

1 1 1 0 1 0 0H= 0 1 1 1 0 1 0。

1 1 0 1 0 0 1

习题 10.11已知一个（15，11）汉明码的生成多项式为

x 4 x 3 1

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x10g x

(x 9 g(x) )x g(x) x g(x)

6 7 8

1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

(x) x g0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 05 (x)，或 G= 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 G(x) = x g4 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0x g(x) 3

0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0x g(x)

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 02

(x)

x g

1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 xg(x)

1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1g(x)

因为监督多项式为 所以

hxx3hx

(x) =则 H

x 2 hx

xh

x

h(x)

15

x 1 x 11

x

g(x) 10

9

x

8

x

6

x

4

x

3

x 1

x11 x8 + x7 + x5 + x3+ x2 + x +1

1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0

0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0

，或 H=

0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0

0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1

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习题 10.12已知 x

15

1(x 1)(x

x 1)(x x 1)(x x x x 1)(x x 1)

4 4 3 4 3 2 2 试问由它可以构成多少种码长为 15的循环码？并列出它们的生成多项式。 r 解：因为 2

x 1)

1(x 1)(x x 1)(x x 1)(x x x x 1)(x 有 5个因子，所以由它可以构成的码长为 15的循环码的数量为 24种。

15

x 14 4 3 3 2

n，而 n =15，所以 4 r 4 13。因为

2

当 r =4时，生成多项式有

g(x) =(x g(x) =(x g(x) =(x

当r =5时，生成多项式有

4 4

4

x 1)(x 4

3

x 3 x

3

x 1) (x 2 2 x 2 x

x 1)

x 1) x 1)

x 1) (x 4

3

x 1)(x 4

x 1)(x 2 x 1)(x 2

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g(x) =(x

4 4

4

x 1)(x 4 3

1) x 1) (x2

x

g(x) =(x g(x) =(x

x 1) (x 4 3

x x 1) (x 1)

3

x 1)(x 4 3

x

2

x

x 1) (x 1)

当r =6时，生成多项式有

g(x) =(x g(x) =(x g(x) =(x

当r =7时，生成多项式有

g(x) =(x g(x) =(x g(x) =(x

当r =8时，生成多项式有

4 4 4 4

4

x 1)(x 4 x 1) (x 4

3

x 1)(x 4

3

x 1) 3 x 3 x

2

x 2 x

x 1) x 1)

4

x 1) (x 2

3

x 1) (x 2 3 x

2

x

x 1) (x 1) x 1) (x 1)

2

x 1) (x x 1) (x 1)

g(x) =(x g(x) =(x 4 x

当r =9时，生成多项式有

4 3

x 1) (x x 1)

2

2

2 1) (x x 12 )

g(x) =(x 4 x

3

x x 1) (x

g(x) =(x x 1) (x 1) g(x) =(x g(x) =(x

4 4 3 4

3 x

x 1)

1) x 1) (x

2

x x 1) (x 1)

当r =10时，生成多项式有

g(x) = x 4

x 1

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当r =11时，生成多项式为 g(x) =(x

2

4 3

1 x) = x x

g(

3 2

xg(x) = x 4 x x 1

x 1) (x 1)。 x 1。

当r =12时，生成多项式为 g(x) = x 2

当r =13时，生成多项式为 g(x) = x 1。

习题 10.13已知一个（7，3）循环码的监督关系式为

x6 x3 x2 x1 0，x5 x2 x1 x0 0，x6 x5 x1 0，x5 x4 x0 0 试求出该循环码的监督矩阵和生成矩阵。

解：由题目条件得

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1 0 0 1 1 1 01 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0

监督矩阵为 H= ，化成典型矩阵为 H=

1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1

0 1 1 0 0 0 1

0 1 1 0 0 0

00 。 0 1

1 0 0 1 1 1 0

则生成矩阵为 G= 0 1 0 0 1 1 1。

0 0 1 1 1 0 1习题 10.14试证明：x x

x x x x x 1为（15，5）循环码的生成多

10 8 5 4 3 2

项式。并求出此循环码的生成矩阵和信息位为 10011时的码多项式。 x 15 1 解：因为 x 1 x x x 1 8 5 4 2

x x x x x

即 x15 1可以被 x10

10 8

x

5

x 4

x 2

x

5 3

5）循环码的生成多项式。

由生成多项式 g(x) = x 10

x4g x )(

3

x 1整除，则可以证明该多项式为（15，

x x x x

8 5 4 2

课后答案网 当信息位为“10011”时，码多项式为：T(x) x

若接收码组为：T(x) x

14

1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0x 1，可得

x g(x) 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1

0 0 (x)，或 G=0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 G(x) = x 2 g

xg(x) 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0

0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 g(x)

14

x

11

x

10

8

x 7

x 6

x x。

习题 10.15设一个（15，7）循环码的生成多项式为： g(x) = x

x

5

x 1。试问其中有无错码。 x

3

3

x 1 x 7 x

4 7 6

x x x 8 x

x x + x +1。

8 7 6 4

1

即码组多项式T(x)不能被生成多项式 g(x)整除，所以其中必有错码。 习题 10.16试画出图 10-1中（2，1，2）卷积码编码器的状态图和网络图。 解：由该（2，1，2）卷积码编码器方框图可得输入和输出关系为

(x) x 6 解：因为 T

g(x)

x

5

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3

c b 1 b，3 c 2 b b b 3

1 1

移存器状态和输入/输出码元的关系如表 10-2所示。

3 2 1

输入 b b b

1

2

3

c 2

+

+

编码输出

图 10-1习题 10.16图

表 10-2习题 10.16表

前一状态

当前输入b1

输出c1c2

下一状态

b3b2

a (00) b (01) c (10) d (11)

0 1 0 1 0 1 0 1

00 11 01 10 11 00 10 01

b3b2

a (00)

b (01) c (10) d (11) a (00) b (01) c (10) d (11)

所以该卷积码的状态图（图中实线表示输入信息位为 “0”，虚线表示输入信息位 为“1”）和网格图分别如下。

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b

11

状态图：

00

a

10

00 01

10

d

01

11

00 11

00 11 01

c

a b

00 11 11 00

00

11 11 00

00 11 11 00

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网格图：

c

01

01

01

d

01 01

01

01

01 01 01

习题 10.17已知一个（2，1，2）卷积码编码器输出和输入的关系为

c1 b1 b2，c2 b2 b3

试画出该编码器的方框图、码树图和网络图。

解：由输入和输出关系可得移存器状态和输入/输出码元的关系如表 10-12所示。 所以该卷积码的状态图（图中实线表示输入信息位为 “0”，虚线表示输入信息位 为“1”）、方框图、码树图，以及网格图分别如下：

b

10

00

a

01

d

输入

b1 b2 b3

11 11

10

01

c

00

c1

c2

编码输出

00 00

00

a 10

11

a b

a

10

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00

0 起点

b 01

01

c d

a

10

11 b 01 01

a b

c

11 10

c d a b

信息位 a 1

11

d 00

a 00 10

11

1

状态 b3b2

c

11

b 01

01

c d

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01

a 00

b 01 c 10 d 11

10

b

10

c 11

10

a

b

d

00

d 00

c

d

a 00 10

00

10

00 10 00 10 00 10

习题 10.18已知一个（3，1，4）卷积码编码器的输出和输入关系为

c1 b1，c2 b1 b2 b3 b4，c3 b1 b3 b4

试画出该编码器的方框图和和状态图。当输入信息序列为 10110时，试求出其输 出序列。

解：由输入和输出关系可得移存器状态和输入/输出码元的关系如表 10-3所示。 所以该卷积码的方框图如下。

表 10-3习题 10.18表

前一状态

下一状态

b4b3b2 a (000) b(001)

当前输入b1 输出c1c2c3

b4b3b2 a (000)

b(001) c (010) d (011) e (100) f (101) g (110) h (111) a (000) b(001) c (010) d (011) e (100) f (101)

0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

000 111 010 101 011 100 001 110 011 100 001 110 000 111

1 课后答案网

c (010) d (011) e (100) f (101) g (110)

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w.

h (111)

0 010

系为

1

1

2

1

2

3

法求出发送信息序列。

g (110)

解：由输入和输出关系可得移存器状态和输入/输出码元的关系如表 10-4所示。 1 101

1

输入

b1

2 b2

3

b3

4 b4

c3 c2

编码输出

c 1

由于发送序列的约束长度 N=m+1=3,所以首先考察 3个信息段，即 3n=6个比特 “100010”，维特比算法解码第一步计算结果如表 10-5所示。

维特比算法解码第二步计算结果如表 10-6所示。 维特比算法解码第三步计算结果如表 10-7所示。

表 10-4习题 10.19表 1

前一状态：

当前输 入b1

b3b2

a（00） b（01）

输出c1c2 下一状态b3b2

1 0 1 0 1 0 1

00 11 11 00 01 10 10 01

对应序 列 00 00 00 11 11 01 00 00 11 11 11 10 00 11 11 11 00 10 00 11 00 11 00 01

汉明距 离 2 5 2 3 4 1 4 3

a（00） b（01） c（10） d（11） a（00） b（01） c（10） d（11） 幸存 否？

是 否 是 否 否 是 否 是

c（10）

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d（11）

表 10-5习题 10.19表 2

序 号 1 2 3 4 5 6 7 8

路径 aaaa abcd aaab abcb aabc abdc

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aabd abdd

表 10-6习题 10.19表 3

序

路径

原幸存路径的

新增路

新增

总

幸存

号 距离 径段 距离 距离 否？

1 2 3 4 5 6 7 8

aaaa+a abcd+a aaaa+b abdc+b aaab+c abdd+c aaab+d abdd+d

2 1 2 1 2 3 2 3

aa ca ab cd bc dc bd dd

0 1 2 1 2 1 0 1

2 2 4 2 4 4 2 4

是 是 否 是 是 是 是 否

表 10-7习题 10.19表 3 序 号

路径

原幸存路径的 距离

新增路 径段

新增 距离

总 距离

幸存 否？

1 2 3 4 5 6 7 8 5 6 7 8

aaaaa+a abdca+a aaabc+a abddc+a aaaaa+b abdca+b aaabc+b abddc+b abdcb+c aaabd+c abdcb+d aaabd+d

2 2 4 4 2 2 4 2 2 2 2

aa aa ca ca ab ab cb bc dc bd dd

0 0 1 1 2 2 1 1 2 1 0 1

2 2 5 5 4 4 5 5 4 3 2 3

是 是 否 否 是 是 否 否 否 是 是 否

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但由于最后移存器将恢复到状态 a，所以只有路径 aaaaa和 abdcaa符合，

对应的发送信息序列分别为：00000和 11000。

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