一个三角函数求值公式及其应用
一个三角函数求值公式及其应用
吴家华（四川省遂宁中学校 629000）
在三角函数中，我们经常遇到一类形如“已知a sin x +b cos x =c ，求角x 的某（些）三角函数值. ”的问题. 解决这类问题的一般思路是：将条件式与sin x +cos x =1联立解方程组，求得sin x 或cos x ，再通过同角三角函数的关系式求得其它三角函数值. 这种处理方法虽然思路清晰，但运算量较大，且多次涉及到开平方对正、负号的取舍，尤其是遇到限制了角x 的范围问题时，面对正、负号，学生真是难分难舍，极易出错. 笔者在教学与解题实践中亦有深切感受，总寻思着能不能找到一种尽量避免或减少出现正、负号取舍的方法？笔者通过对这类问题的一般形式的分析、研究，得到了它的一个求值公式：
定理 若关于x 的三角方程a sin x +b cos x =c (a 2+b 2≥c 2) ，则有
2
2
ac ±b a 2+b 2-c 2
s i n . x =22
a +b
c -a sin x
. b
c -a sin x 2222
) =1， 又 sin x +cos x =1，∴sin x +(
b x +b c o s x =c ，∴cos x =证明 a s i n
即(a 2+b 2) sin 2x -2ac sin x +(c 2-b 2) =0.
2ac ±4a 2c 2-4(a 2+b 2)(c 2-b 2) ac ±b a 2+b 2-c 2
， ∴sin x ==
2(a 2+b 2) a 2+b 2ac ±b a 2+b 2-c 2
即sin x =. 22
a +b
定理得证.
根据这个定理，我们很容易得到下面两个推论：
222
推论1 若关于x 的三角方程a sin x +b cos x =c (a +b >c ) ，且a =b ，则有
c ±2a 2-c 2
sin x =.
2a
推论2 若关于x 的三角方程a sin x +b cos x =c ，且a +b =c ，则有 sin x =
2
2
2
a b ，cos x =. c c
本定理中的公式就像初中学过的一元二次方程的求根公式一样，只与方程中的系数
a , b , c 有关，而且不难记忆. 掌握了这个公式，运用它及其推论可以先求出sin x 的值，然后代入方程中，就可以求出cos x 的值，再利用同角三角函数的基本关系式即可求得其它三角
函数值. 因此，这个定理及其推论是解决这类三角函数求值问题的一个有力工具，它也为这类问
题的解决提供了一种新的思路和方法. 请看下面的例子.
例1. 已知sin α+cos α=
1
，且0
α+c o s α=解 s i n
1
，∴5sin α+5cos α=1. 5
∴a =b =5，c =1，且a 2+b 2>c 2.
1±2⨯52-121±7
由推论1，得：sin α=， =
2⨯510
43
，或sin α=-. 55
00.
413
∴sin α=，从而cos α=-sin α=-.
555sin α4
=-. 故tan α=
cos α3
即sin α=
例2. （09年浙江省高考题）若cos α+2sin α A.
=-，则tan α=（ ）
`11
B. 2 C. - D. -2 22
解 c o αs +2s i n α由推论2，得：sin α
=-，∴a =2，b =1，c =-，且a 2+b 2=c 2.
21
，cos α=-. =-
∴tan α=
故应选B.
sin α
=2 cos α
7
，且tan α>1，则cos α=5
例3. 已知sin α+cos α=
α+c o s α=解 s i n
7
，∴5sin α+5cos α=7. 5
∴a =b =5，c =7，且a 2+b 2>c 2.
7±2⨯52-727±1
由推论1，得：sin α=， =
2⨯510
43
，或sin α=. 55473sin α4
=>1满足条件； 当sin α=时，cos α=-sin α=，tan α=
555cos α3374sin α3
=
555cos α4
即sin α=
综上可知：cos α=例4. 已知sin α=
3. 5
1π
+cos α，且α∈(0, ) ，则22
cos 2αsin(α-)
4
的值为 .
α=解 s i n
1
+c o s α，∴2sin α-2cos α=1. 2
∴a =2，b =-2，c =1，且a 2+b 2>c 2.
2⨯1±(-2) 22+(-2) 2-121 由定理，得：sin α=. =
22+(-2) 24
又 α∈(0,
π
2
) ，∴sin α>0.
∴sin α=
1+. 4
11+717-1
. =-=
2424. 2
∴cos α=sin α-
∴sin α+cos α=
cos 2α
cos 2α-sin 2α故. ==-2(sinα+cos α) =-
22sin(α-) (sinα-cos α) 42
例5. 解三角方程
x
+sin x -3=0 2
解 （1） 5sin x -12cos x =6. 5，∴10sin x -24cos x =13.
（1）5sin x -12cos x =6. 5 （2）4cos
2
∴a =10，b =-24，c =13，且a 2+b 2>c 2.
10⨯13±(-24) 2+(-24) 2-1325 3
由定理，得：sin x =. =22
10+(-24) 26
∴sin x =
5±5±k
(k ∈Z ) . ，即x =k π+(-1) arcsin
2626
=k π+(-1) k arcsin
5±, k ∈Z }. 26
故原方程的解集为{x |x （2） 4cos
2
x x
+sin x -3=0，∴2(2cos 2-1) +sin x =1 22
即 sin x +2cos x =1.
∴a =c =1，b =2，且a 2+b 2>c 2.
1⨯1±22+22-121±4
由定理，得：sin x =， =
12+225
即sin x =1，或sin x =-
3. 5
k +1
∴x =2k π+
π
2
，或x =k π+(-1) arcsin
3
(k ∈Z ) . 53
, k ∈Z }. 5
故原方程的解集为 {x |x =2k π+
附：通讯地址：四川省遂宁市船山区介福西路68号 邮编：629000
π
2
, 或x =k π+(-1) k +1arcsin