[概率论与数理统计]习题及答案 第一章
《概率论与数理统计》习题及答案
第 一 章
1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点: (1)掷一颗骰子,记录出现的点数. A =‘出现奇数点’;
(2)将一颗骰子掷两次,记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’,B =‘第一次的点数,比第二次的点数大2’;
(3)一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5;从中同时取出3只球,观察其结果,A =‘球的最小号码为1’;
(4)将a , b 两个球,随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去,观察放球情况,
A =‘甲盒中至少有一球’;
(5)记录在一段时间内,通过某桥的汽车流量,A =‘通过汽车不足5台’,
B =‘通过的汽车不少于3台’。
解 (1)S ={e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6}其中e i =‘出现i 点’i =1, 2, , 6, A ={e 1, e 3, e 5}。
(2)S ={(1,1),(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) (2,1),(2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) (3,1),(3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) (4,1),(4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) (5,1),(5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) (6,1),(6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) }; A ={(4,6), (5,5), (6,4)}; B ={(3,1),(4,2), (5,3), (6,4)}。
(3)S ={(1,2, 3), (2,3, 4), (3,4, 5), (1,3, 4), (1,4, 5), (1,2, 4), (1,2, 5) (2,3, 5), (2,4, 5), (1,3, 5)}
A ={(1,2, 3), (1,2, 4), (1,2, 5), (1,3, 4), (1,3, 5), (1,4, 5)} (4)S ={(ab , -, -), (-, ab , -), (-, -, ab ), (a , b , -), (a , -, b ), (b , a , -), (b , -, a ), (-, a , b , ), (-, b , a )},其中‘-’表示空盒; A ={(ab , -, -), (a , b , -), (a , -, b ), (b , a , -), (b , -, a )}。 (5)S ={0,1,2, },A ={0,1,2, 3, 4},B ={3,4, }。
2.设A , B , C 是随机试验E 的三个事件,试用A , B , C 表示下列事件:
·1·
(1)仅A 发生;
(2)A , B , C 中至少有两个发生; (3)A , B , C 中不多于两个发生; (4)A , B , C 中恰有两个发生; (5)A , B , C 中至多有一个发生。 解 (1)ABC
(2)AB AC BC 或ABC ABC ABC ABC ;
(3)A B C 或ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ; (4)ABC ABC ABC ;
(5)AB AC BC 或ABC ABC ABC ABC ;
3.一个工人生产了三件产品,以A i (i =1, 2, 3) 表示第i 件产品是正品,试用A i 表示下列事件:(1)没有一件产品是次品;(2)至少有一件产品是次品;(3)恰有一件产品是次品;(4)至少有两件产品不是次品。
解 (1)A 1A 2A 3;(2)A 1 A 2 A 3;(3)A 1A 2A 3 A 1A 2A 3 A 1A 2A 3;(4)A 1A 2 A 1A 3 A 2A 3。
4.在电话号码中任取一个电话号码,求后面四个数字全不相同的概率。 解 设A =‘任取一电话号码后四个数字全不相同’,则 P (A ) =
P 1010
44
=
126250
=0.504
5.一批晶体管共40只,其中3只是坏的,今从中任取5只,求 (1)5只全是好的的概率; (2)5只中有两只坏的的概率。 解 (1)设A =‘5只全是好的’,则 P (A ) =
C 37C 40
3
55
0.662;
(2)设B =‘5只中有两只坏的’,则 P (B ) =
C 3C 37C
5
402
0.0354.
6.袋中有编号为1到10的10个球,今从袋中任取3个球,求 (1)3个球的最小号码为5的概率; (2)3个球的最大号码为5的概率. 解 (1)设A =‘最小号码为5’,则
·2·
2
P (A ) =
C 5C
310
=
112
;
(2)设B =‘最大号码为5’,则 P (B ) =
C 4C
23
10
=
120
.
7.(1)教室里有r 个学生,求他们的生日都不相同的概率; (2)房间里有四个人,求至少两个人的生日在同一个月的概率. 解 (1)设A =‘他们的生日都不相同’,则 P (A ) =
P 365365
1
r r
;
(2)设B =‘至少有两个人的生日在同一个月’,则 P (B ) =或
P (B ) =1-P (B ) =1-
P 1212
44
C 4C 12P 11+C 4C 12+C 4P 12+C 12
12
4
2222321
=
4196
;
=
4196
.
8.设一个人的生日在星期几是等可能的,求6个人的生日都集中在一个星期中的某两天,但不是都在同一天的概率.
解 设A =‘生日集中在一星期中的某两天,但不在同一天’,则 P (A ) =
C 7(2-2)
7
62
6
=0.01107.
9.将C , C , E , E , I , N , S 等7个字母随机地排成一行,那么恰好排成英文单词SCIENCE 的概率是多少?
解1 设A =‘恰好排成SCIENCE ’
将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件,所有的排法:
字母C 在7个位置中占两个位置,共有C 7种占法,字母E 在余下的5个位置中占两个位置,共有C 5种占法,字母I , N , C 剩下的3个位置上全排列的方法共3!种,故基本事件总数为C 7⋅C 5⋅3! =1260,而A 中的基本事件只有一个,故
P (A ) =
1C ⋅C ⋅3!
2
7
25
2
2
2
2
=
11260
;
解2 七个字母中有两个E ,两个C ,把七个字母排成一排,称为不尽相异元素的全排列。一般地,设有n 个元素,其中第一种元素有n 1个,第二种元素
·3·
有n 2个…,第k 种元素有n k 个(n 1+n 2+ +n k =n ) ,将这n 个元素排成一排称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为
n ! n 1! n 2! n k !
,
对于本题有
P (A ) =
17! 2!2!
=47! =
11260
.
10.从0,1, 2, , 9等10个数字中,任意选出不同的三个数字,试求下列事件的概率:A 1=‘三个数字中不含0和5’,A 2=‘三个数字中不含0或5’,A 3=‘三个数字中含0但不含5’. 解 P (A 1) = P (A 2) =或
P (A 2) =1-P (A 2) =1- P (A 3) =
C 8C
2
C 8C
3
3
103
=
715C 9
33
.
-C 8
3
C 9
3
C 10
+
C 10C 10
3
=
1415
,
C 8C
1
310
=
1415
,
310
=
730
.
11.将n 双大小各不相同的鞋子随机地分成n 堆,每堆两只,求事件A =‘每堆各成一双’的概率.
解 n 双鞋子随机地分成n 堆属分组问题,不同的分法共‘每堆各成一双’共有n ! 种情况,故
P (A ) =
2⋅n ! (2n ) !
n
(2n ) ! 2!2! 2!
=
(2n ) ! (2!)
n
12.设事件A 与B 互不相容,P (A ) =0.4, P (B ) =0.3,求P (AB ) 与
P (A B )
解 P (A B ) =1-P ( A B ) =1-P (A -) P (B =) 0. 3
因为A , B 不相容,所以A ⊃B ,于是 P (A B ) =P (A ) =0.6
13.若P (AB ) =P (AB ) 且P (A ) =P ,求P (B ) .
·4·
解 P (A B ) =1-P ( A 由P (AB ) =P (AB ) 得
B ) =1-P (A -) P (B +) P (A B )
P (B ) =1-P (A ) =1-p
14.设事件A , B 及A B 的概率分别为p , q , r ,求P (A B ) 及P (A B ) 解 P (A B ) =P (A ) +P (B ) -P (A B ) =p +q -r
P (A B ) =P (A ) +P (B ) -P (AB ) =P (A ) +1-P (B ) -P (A ) +P (AB ) =1-q +p +q -r =1+p -r .
15.设P (A ) +P (B ) =0.7,且A , B 仅发生一个的概率为0.5,求A , B 都发生的概率。 解1 由题意有
0.5=P (AB +AB ) =P (AB ) +P (AB ) =P (A ) -P (A B ) +P (B ) -P (A B ) =0.7-2P (A B ) , 所以
P (A B ) =0.1.
解2 A , B 仅发生一个可表示为A B -AB ,故
0.5=P (A B ) -P (A B ) =P (A ) +P (B ) -2P (A B ), 所以
P (A B ) =0.1.
16.设P (A ) =0.7, P (A -B ) =0.3,
P (B -A ) =0.2
,求P (A B ) 与P (AB ) .
A -B ) =P (A -) P (A B =) 解 0. 3=P (0-. 7P ,A ( B
所以
P (A B ) =0.4, 故
P (A B ) =0.6;
0.2=P (B ) -P (A B ) =P (B ) -0.4. 所以
P (B ) =0.6
P (AB ) =1-P (A B ) =1-P (A ) -P (B ) +P (AB ) =0.1 17.设AB ⊂C ,试证明P (A ) +P (B ) -P (C ) ≤1 [证] 因为AB ⊂C ,所以
P (C ) ≥P (A B ) =P (A ) +P (B ) -P (A B ) ≥P (A ) +P (B ) -1
·5·
故
P (A ) +P (B ) -P (C ) ≤1. 证毕. 18.对任意三事件A , B , C ,试证
P (A B ) +P (A C ) -P (B C ) ≤P (A ) .
[证] P (A B ) +P (A C ) -P (B C ) ≤P (A B ) +P (A C ) -P (A B C )
=P (A B A C ) =P {A (B C )}≤P (A ) . 证毕. 19.设A , B , C 是三个事件,且P (A ) =P (B ) =P (C ) =
P (A C ) =
18
14
, P (AB ) =P (BC ) =0,
,求A , B , C 至少有一个发生的概率。
P (A ) +
P (B +)
P (-C )
P (A -) B
(P -A ) C
(P +B ) C
解 P (A B C ) =因为 0≤P (A B C ) ≤ P (A B C ) =
34
(P A B C
P (A B ) =,所以0P (A B C ) =0,于是
-
18
=
58
20
.随机地向半圆0
内任何区域的概率与区域的面积成正比,求原点与该点的连线与x 轴的夹角小于
π/4的概率. 解:半圆域如图
设A =
‘原点与该点连线与x 轴夹角小于π/4’
由几何概率的定义
1
A 的面积
=+ P (A ) = =12π半园的面积2
πa 2
21.把长为a 的棒任意折成三段,求它们可以构成三角形的概率.
πa +
2
1
a
2
11
解1 设A =‘三段可构成三角形’,又三段的长分别为x , y , a -x -y ,则0a 2
, 0
a 2
,
a 2
不等式确定S 的子域A ,所以 P (A ) =A 的面积S 的面积
=14
解2 设三段长分别为x , y , z ,则0·6·
S .
A 发生⇔x +y
>z
x +z >y y +z >x
不等式确定S 的子域A ,所以
=. P (A ) =
S 的面积4A 的面积
1
22.随机地取两个正数x 和y ,这两个数中的每一个都不超过1,试求x 与
y 之和不超过1,积不小于0.09的概率.
S .
A =‘x +y ≤1, xy ≥0.09’则A 发生的 充要条件为0≤x +y ≤1, 1≥xy ≥0.09不
等式确定了S 的子域A ,故
=⎰(1-x -) dx P (A ) =
0.1
S 的面积x
=0.4-0.18ln 3=0.2
A 的面积
0.9
0.9
23.(蒲丰投针问题)在平面上画出等距离a (a >0) 的一些平行线,向平面上随机地投掷一根长l (l
解 设A =‘针与某平行线相交’,针落在平面上的情况不外乎图中的几种, 设x 为针的中点到最近的一条平行线的距离。
ϕ为针与平行线的夹角,则 0
a 2
, 0
的一个区域S .
L
A 发生⇔x ≤sin ϕ,不等式确定S 的子域A
2 故 P (A ) =
a π
2
1
⎰
π0
L 2
sin ϕd ϕ=
2L a π
·7·