椭圆焦半径的性质及应用
７８——２数学通讯—上半月）０１１年第７、８期（ ·专论荟萃·
椭圆焦半径的性质及应用
王户世
（）陕西省户县二中，７１０３０７
设Ｆ为椭圆的一个焦点，Ｍ是椭圆上任一点，我们把线段Ｍ下面给出椭Ｆ叫椭圆的焦半径，圆焦半径的性质，并举例说明性质的应用．
椭圆上存在点Ｍ满足线段ＭＡ的垂直平分线过点则椭圆的离心率的取值范围是Ｆ，
］（（（Ａ）０．Ｂ）０］． （
２２（）Ｃ）－１
，１．２
（ ）
（）性质 椭圆的右焦２＋２＝１ａ＞ｂ＞０ａｂ
点为Ｆ，椭圆上任一点Ｍ，从ｘ轴正向逆时针转到线段ＭＦ所转的最小正角为θ，则有
２
ＭＦ＝．
ａ＋ｃｃｏｓθ
证明 设椭圆的右准线，为ｌＭ到准线ｌ的距离为ｄ，
２２
，）（Ｄ）１．
２
解 因为椭圆的准线为
右焦点为（，）：ｌｘ＝，Ｆｃ０，ｃ如图２，所以ＡＦ＝－ｃｃ
２由于Ｆ是线段ＭＡ的＝，ｃ
垂直平分线上的点ＡＦ＝
２
２
由椭圆的第二定义有ｄ即＝ｅ，＝ｄａ
２
①
图１
图２
：又准线ｌｘ＝，Ｆ到ｌ
ｃ２
２的距离为由图１知ｃ－＝，ｃｃ
ｄ＝
由例知：即ＭＭＦ，Ｆ＝，１ａ－ｃ≤ＭＦ≤
ｃ
２ａ＋ｃａ－ｃ≤≤ａ＋ｃ
ｃ
２Ｆｃｏｓθ②－Ｍ
ｃ
把②代入①得
２
Ｆ＝．＝Ｍ２
ａａ＋ｃｃｏｓθ
Ｆｃｏｓθ－Ｍ
ｃ
２
２（）例１ Ｍ是椭圆上任２＋２＝１ａ＞ｂ＞０ａｂ
一点，则ＭＦ为右焦点，Ｆ的范围是．２
，解 由性质ＭＦ＝∵０，θ∈［ａ＋ｃｃｏｓθ
２］，当２ｏｓＦ＝ｃ最小，＝ａ－π当ｃθ＝１时Ｍ
ａ＋ｃ２时所以ｃｏｓＭＦ＝＝ａ＋ｃ最大，θ＝－１
ａ－ｃ
］ＭＦ的范围是［ａ－ｃ，ａ＋ｃ．
｛
２２２２２
ｂｃ＋ｃａｃ＋ｃ－ｃ≤ａ≤ａ
２２２２２
ａｃ－ｃｂａｃ－ｃ≤≤ａ－ｃ
｛
｛
２２
１－ｅ≤ｅ＋ｅ
２２ｅ－ｅ≤１－ｅ
｛
２
２ｅ＋ｅ－１≥０
ｅ≤１
≤ｅ≤１，２
，）因为椭圆的离心率ｅ≠１，所以ｅ∈选１，２
（Ｄ）．点评 借助椭圆焦半径的性质，可求出椭圆离心率的值或范围．
２），例３ （年辽宁设是椭圆２０１０Ｆ１Ｆ２Ｃ２＋ａ
点评 掌握椭圆焦半径的性质，容易确定焦半径的范围．
２２（）（例２年四川椭圆２０１０２＋２＝１ａ＞ｂ＞ａｂ
）的右焦点为Ｆ，其右准线与ｘ轴的交点为Ａ，在０
（）的左右焦点，过Ｆｌ与２的直线２＝１ａ＞ｂ＞０ｂ
椭圆交于Ａ，点ＦＢ两点，直线ｌ的倾斜角为６０°，１到直线ｌ的距离为２．（）求椭圆Ｃ的焦距；１
→２Ｆ→（）如果Ａ求椭圆Ｃ的方程．２ＦＢ，２＝ ２
）由条件知直线ｌ：），解（１ｘ－ｃｙ＝２
——２·专论荟萃· 数学通讯—上半月）０１１年第７、８期（７９
）到ｌ的距离为２Ｆ１（０得２＝－ｃ， ）＋（－１２
２
２
又ｃ＝２，所以有ｂ所以椭圆Ｃ的方程为＝５，２２
＋＝１．９５
点评 有关椭圆焦点弦问题（如弦长，弦直线
，的倾角，斜率等）注意用椭圆焦半径的性质．
ｃ＝２，所以椭圆的焦距２ｃ
＝４．
（）由性质Ｂ２Ｆ２
２２
，＝０＝ａ＋１ａ＋ｃｃｏｓ６０
善于思考的读者，类比椭圆焦半径的性质及应用，请你给出双曲线、抛物线焦半径的性质及应用，相信你也会得到新的收获．
（）收稿日期：２０１１－１２－２５
２２
，因为ＡＦ２＝＝００（）ａ－１ａ＋ｃｃｏｓ１８００＋６
→２Ｆ→ＡＦＢＡＦ２＝２ＢＦ２２＝ ２
２２
ａ＝３，＝
ａ－１ａ＋１
换种思路求解一道高考题并探究
吴 英
（）浙江省绍兴市高级中学，３１２０００
一直是高考的重点，求解的方法很 求最值，
有配方法，判别式法，不等式法，换元法，导数多，
法等等，对于特定的题目选择合适的方法，有利于解题速度的提高，有利于解题结论正确性的提高．问题提出１．
设ａ＞０，２００９年天津高考理科数学卷第６题：
ａｂ
若与３的等比中项，则＋的最ｂ＞０．是３
ａｂ
（小值为 ）
）上单调递减，，）数ｙ＝＋在（在０１
ａ１－ａ２２上单调递增．故当ａ＝时，．ｙ取得最小值ｙｍｉｎ＝４
２
解法２ （不等式法）设ｙ＝＋，因为ａ＋
ａｂ
）·则ｙ＝＋＝ｂ＝１，１＝＋）＋
ａｂａｂａｂ
（Ａ）８ （Ｂ）４．Ｃ）１．Ｄ． （ （
４
本问题等价于：设ａ＞０，若ａ＋ｂ＝１，ｂ＞０，求＋的最小值．ａｂ
］解法１ （文［提供，构造函数法）设ｙ＝１
ａ因为得ｂ＝１－ａ，则ｙ＝＋ａ＋ｂ＝１，＋，ｂａｂ（），所以ｙ′＝－２＋０＜ａ＜１＝＋ａ１－ａａ，当令ｙ′＝０得ａ＝．０＜２＝２２（２１－ａ）ａ（１－ａ）
当＜ａ＜１时，可知函ａ＜时，′＜０，′＞０；ｙｙ２２
··（当ａ＋ｂ）＝＋＋２≥２＋２＝４．
ａｂａｂ
＝＝２
ａｂ时，且仅当ｙ取得最小值． ａ＋ｂ＝１＝２点评 比较上述两种方法，显然解法２比较
”的妙用，简单，利用了“并且也很容易推广．下面１笔者将它推广到一类分式函数最小值的求法．问题推广２．
（，，，推广 若函数ｆ（ｘ）ａｂｃ＝＋
ｘ－ｃｄ－ｘ＋
，，则当且仅当ｘ＝ｄ∈Ｒｃ＜ｘ＜ｄ）
＋２
时，最小值为ｘ）取得最小值，＋．ｆ（ｄ－ｃ
）证明 （不等式法）因为（ｘ－ｃｄ－ｘ）＋（＝