全国优秀教学设计:北京丰台二中

《25.2旋转变换》教学设计

北京市义务教育课程改革实验教材数学第18册

北京市丰台二中 赵燕

一、 教学内容解析

（一） 指导思想与理论依据

新《课程标准》在义务教育的三个阶段都非常强调图形运动的教学，并且明确指出在数学教学中，应当注重发展学生的空间观念和几何直观. 从课程内容的安排来讲，统筹地思考、恰当地引入图形运动和图形操作（包括几何作图）可以很好的落实几何直观的教育价值. 同时课标在课程设计思路中指出，义务教育阶段数学课程设计要：“在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程. ”

建构主义理论告诉我们，知识是学生自主建构的，不是老师教给的，通过自己的探究与实践构建自身知识体系符合学生的认知发展规律.

基于这样的思考，本节课通过实例，调动学生关于旋转的已有知识和生活经验，在此基础上，经过逐步抽象，得出旋转变换的定义，随后又采用从特殊到一般的方式，与学生共同归纳出旋转变换的性质. 教学设计力求学生对运用图形变换的观点学习几何有所感受，同时在学生已有的知识与经验的基础上，逐步渗透变换的思想. （二） 学习内容分析

利用图形变换的理论与方法讨论初等几何，是用图形运动的观点处理综合几何的一种重要途径. 第25章主要介绍了四种变换：平移变换、旋转变换、轴对称变换和位似变换，是学生第一次较为系统的学习图形变换的理论，主要是向学生渗透变换的思想，理解变换的基本性质，而不要求严格的几何证明.

本节课是初中数学“空间与图形”中的内容：第18册第25章第2节旋转变换. 本节课是在学习平移变换的基础上，对图形变换的进一步探究，旋转变换不改变图形的形状和大小，属于保距变换，是刚体运动的一种. 旋转变换是一类非常基础而又应用十分广泛的图形变换，其体现出来的变换思想在其他学科领域也多有涉及，可为学生将来的学习打下基础. 基于此，学生对旋转变换的认识不能仅是停留在生活经验的层面上，而应有较为系统而深入的认识，因此确定本节课的重点是旋转变换的概念和性质. 二、 学生学情分析

对于实际生活中物体的运动现象，学生并不陌生. 在小学阶段，学生已经感受过平移、旋转和轴对称现象，并体验过简单图形的运动，而且通过初一和初二的学习，接触过简单图形（如三角形、平行四边形等）的运动，因此学生已经对旋转变换有了一定的了解，只是还不能清晰而准确的把握旋转变换的概念和性质.

学习平移变换时学生已经经历了概念抽象和性质归纳的全过程，概念和性质的得出需要学生具有一定的抽象概括能力和合情推理能力. 对于本节课旋转变换的学习，在抽象概念的环节，通过情景的创设及演示，师生共同努力可以得到旋转变换的概念；在归纳性质的环节， 通过对特殊图形旋转前后性质的总结，推广得到一般的平面图形旋转的性质，学生学习的主要困难在于认识到图形绕旋转中心的旋转，归根结底是图形上的每一个点绕旋转中心的旋转，需要教师的帮助才能实现学生认识上的突破.

基于此，确定本节课的教学难点是性质的归纳. 为了突破难点采取的方式是将将难点分解，逐步突破，在归纳性质的过程中不断深化认识. 三、 教学目标设置

义务教育阶段的课程总目标要求学生“经历图形的抽象、分类、性质讨论、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能，” 并且“探索并理解旋转平面图形的平移、旋转、轴对称”. 根据课程标准及上述分析，确定本节课的教学目标是：

（1） 通过实例认识平面图形关于旋转中心的旋转，探索它的基本性质，并能按要求作出

简单平面图形旋转之后的图形；

（2） 经历对旋转变换图形的欣赏、分析、画图等过程，掌握有关画图的操作技能； （3） 感受从具体到抽象、从特殊到一般的数学思维过程，逐步提升合情推理能力和抽象

概括能力.

（4） 从观察和操作的过程中感受数学的运动美，提高学习兴趣. 四、 教学策略分析 （一） 教学方法

本节课采用启发讲授，探究学习、类比学习等教学方法，使学生在认识旋转变换的同时，体会数学学习的一些常用方法，如抽象、从特殊到一般、类比等. （二） 教学手段

选择多媒体辅助教学，同时借助几何画板，直观、形象地再现平面图形旋转的过程，为学生自主探究和发现新知提供必要的技术支持.

五、 教学过程

（一）直观感知，形成概念

1．直观感知：感受现实生活中的旋转现象

通过问题引发学生对旋转变换本质属性的思考： 问题（1）：你还知道物体的其他运动方式吗？ 问题（2）：你能举例说明吗？

问题（3）：这种运动方式具有哪些共同特征？

学生充分发言，给出丰富的实例，学生举出实例之后，教师分别展示实物(钟表和玩具汽车) 和图片(风车) ，请学生具体感受这类物体的运动，然后归纳物体运动的共同特征. 【设计意图】通过具体实例充分调动学生的感性认识，同时请学生思考旋转这类物体运动的特点，为旋转变换概念的抽象作铺垫.

2．抽象：从物体的旋转现象到平面图形的旋转变换 （1）物体抽象为平面图形

类比上节课的作法，引导学生把实例中的物体抽象为平面图形，抽象的方法是通过物体的主视图，从而把物体抽象为平面图形.

选取钟表指针的旋转（图片展示）和风车的旋转（图片展示）

图1

为例，分别把指针和风车的扇叶抽象为平面图形.

【设计意图】从空间到平面的抽象是研究数学问题的重要手段，同时把空间中物体的运动抽象为平面内图形的运动，使学生对转动现象的定性认识上升到定量的刻画，形成系统而精确的认识，为进一步学习作准备. 3．形成概念

在图1中，隐去风车的图片，得到风车扇叶的外部轮廓，接着再隐去三个扇叶的外部轮廓，从而简化为一个扇叶的外部轮廓，演示所得到的平面图形（线段和四边形）的旋转，同时提出问题：

你能结合这些特征给出平面图形旋转变换的定义吗？ 师生共同分析得出旋转变换的定义.

旋转变换：在平面内，将一个图形绕一个定点沿顺时针或逆时针方向转动一个角度，得到一个新的图形，这样的图形运动称为旋转变换.

定义中要求“绕一个定点”转动，这是学生容易忽略的要素，需要教师引导与强调。 【设计意图】抽象对于学生来讲不是一件容易的事，旋转现象在生活中随处可见，但是越直

观的事物，越是与我们日常生活联系密切的事物就越难抽象. 要想用简练的语言叙述概念，就必须抓住概念的本质，教学中采取的策略从具体到抽象，同时通过课件演示图形的旋转，帮助学生摒除干扰，获得本质. 4．剖析概念

（1）旋转前后图形全等

旋转变换不改变图形的形状和大小，这是与平移变换共有的性质. （2）三要素

分析定义中涉及的关键词，提炼出旋转变换的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角 在图4中指出三要素 （3）图形的旋转→点的旋转

将一个图形绕一个定点沿顺时针或逆时针方向转动一个角度，意味着图形上的每个点同时沿顺时针或逆时针方向转动相同的角度，即图形上每个点的运动都遵循了相同的规律. 通过下面的问题使学生体会到这一点：

问题1：任意在OA 上取一点C ，对应点C ’在哪？ 问题2：点C 到点C ’的运动路线是什么？ 问题3：任意在OB ’上取一点P ’，对应点P 在哪？ （4）旋转变换是可逆变换

图4

旋转变换属于正交变换，是可逆变换的一种，虽然初中生的认知基础不足以理解，但还是可以根据下面的问题来渗透这一思想： 问题：如何从△OA ’B ’旋转得到△OAB ？ 【设计意图】在剖析中加深对概念的理解 （二）观察操作，探索性质

运动前后图形全等，是平移和旋转所共有的特征，那么对于旋转变换而言，又有哪些特有的性质呢？下面我们类比上节课得到平移变换性质的方法，探讨旋转变换的性质. 1．动手操作，探索性质 动手操作1：

如图5，点A 绕点O 顺时针旋转90°，请作出点A 的对应点A ’.

图

5

请学生分析并展示作图方法，对于点的旋转可以根据概念借助圆规画出点的运动路径，并最终确定点A 的对应点A ’，如图6的图形.

图6

动手操作2：如图7，利用直尺、圆规，以平面内任意一点为旋转中心O ，任意选取旋转方向和旋转角，作出△ABC 绕点O 旋转之后的△A’B’C’

在学生完成作图的基础上，请学生思考：结合作图过程，并观察图形，找出旋转前后的不变量.

分析：小组交流之后，请学生代表展示，展示之后适时追问，使学生明确下面的问题. 首先请学生思考：如何完成“从点的旋转到三角形的旋转”的作图问题？引导学生认识到：三角形旋转之后仍然得到与原三角形全等的三角形，故此只需确定顶点的对应点即可.

其次，旋转中心O 的位置有三种：三角形外、三角形边上、三角形内. 下面各图的旋转中心是点O ，旋转方向是顺时针.

A'

图7

在学生展示的基础上，师生共同总结出结论： ①对应点到旋转中心距离相等；

②对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角. 2．从特殊到一般：验证结论，获得性质

类比平移变换性质的归纳过程，关于旋转变换性质的结论同样需要推广到一般情况，课上利用几何画板验证结论.

（1）任意选取旋转中心，验证性质（几何画板演示）

教师引导学生有序思考，旋转中心可能在三角形外、上、内三种位置. ①点O 在三角形外部

旋转角为78°

K

OA = 2.57厘米

OA' = 2.57厘米∠AOA' = 78°∠BOB' = 78°

图8

②点O 在三角形边上

旋转角为

K

OA = 3.34厘米

OA' = 3.34厘米∠AOA' = 78°∠BOB' = 78°

图9

③点O 在三角形内部

旋转角为

K

OA = 2.97厘米

OA' = 2.97厘米∠AOA' = 78°∠BOB' = 78°

图10

（2）任意改变旋转角，验证性质（几何画板演示）

教师引导学生有序思考，旋转角可能是锐角、直角、钝角、平角、优角等. 改变旋转角的大小，观察图形，探讨结论是否成立，具体图形省略. （3）从三角形到其他平面图形

在动手操作1中，已经探讨了点的旋转，由此可以知道，对于平面图形上的每一个点来说，其旋转一定角度的图形都可以与操作1中类似，从而可以知道结论成立.

而任何一个平面图形都是由点构成的，根据上面的讨论，我们可以得出平面图形旋转变换的性质：

①对应点到旋转中心距离相等；

②对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角.

【设计意图】性质是通过观察特殊图形归纳得到的，并不要求学生进行严格的证明，而且学生现有的知识也不足以进行严格的证明，但是从学生自身的发展以及对数学思维的渗透角度来讲，需要让学生明确归纳得到的性质需要具有普适性，体会数学中从特殊到一般的思想方法，为进一步学习打下基础. 此处采取的策略是师生共同分析，借助几何画板演示实现一般化的推广.

（三）解决问题，巩固知识

例1 如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 上一点，△ABD 经过旋转后到达△ACE 的位置. 请回答： （1） 旋转中心是哪一点？旋转了多少度？ （2） 如果M 是AB 的中点，那么经过上述旋转后，

点M 的对应点是哪个点？

（3） 如果N 是AE 的中点，那么点N 是由哪个点

旋转得到的？

答案：（1）点A ；逆时针旋转了60°；（2）AC 的中点；（3）AD 的中点

【设计意图】第（1）问是对旋转变换概念和性质的直接应用，学生容易得出. 通过对第（2）问的思考，使学生进一步体会到旋转变换是“全等变换”，也就是说旋转前后图形上点与点的相对位置不会发生变化，从而对旋转变换不改变图形的形状和大小有更进一步的认识. 通过第（3）问使学生体会到旋转变换是可逆变换，△ABD 上的任意一点都在△ACE 上有对应点，反过来△ABD 上的任意一点都在△ACE 有对应点. 例2 请按照题目要求完成作图

（1）如图为4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，将三角形OAB 绕点O 逆时针旋转90°，画出△OAB 旋转后的图形△O ’A ’B ’.

答案：见上面右图

分析：有两种作图方法可以选择：（1）利用概念借助圆规画图；（2）利用性质画图. 对比两种方法，指出在网格中利用性质画图更为简洁.

（2）如图，△ABC 绕点A 旋转之后，点B 的对应点为B ’，请确定点C 对应点点C ’，并画出旋转之后的图形 追问：如何作出简单平面图形旋转之后的图形？

分析：确定旋转方向和旋转角：顺时针旋转90°，然后作出图形.

关于作图方法，在学生交流的基础上，教师进行评价，

达成共识：根据题目要求确定旋转中心、旋转方向、旋转角和对应点.

【设计意图】通过例2的教学，使学生在动手画图的过程中，理解旋转变换的性质，掌握有关画图的操作步骤，认识旋转图形的形成过程，为运用变换进行图案设计作铺垫

第（1）问的目的是使学生会按题目给出的旋转方向、旋转角度画出旋转后的三角形. 第（2）问是在第（1

）问的基础上，使学生能根据题目给出的一组对应点及旋转中心确定旋转方向

和旋转角度（顺时针旋转90°），并画出旋转后的三角形 （四）知识小结，布置作业 知识小结：

（1）本节课你学到了哪些知识？ （2）这些知识是通过什么方法得到的？

（3）应用知识解决问题的过程中，需要注意什么问题？ （4）对比分析平移变换和旋转变换的异同：

【设计意图】从知识和方法等不同的角度进行本节课的小结，帮助学生梳理知识. 对比分析平移变换和旋转变换的异同，使学生将新知识纳入到原有的知识体系，逐步完善知识网络. 布置作业：

基础要求：课本45页练习 较高要求：C 组题 六、教法特点与效果分析 （一）教法特点

课标在设计思路中指出：“在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程. ”因此我在进行教学设计的时候并没有直接把旋转变换的概念和性质呈现给学生，而是在学生已有知识的基础上，师生共同经历形成概念和归纳性质的全过程，留给学生学习和提升的机会.

（二）效果分析——教学实施之后的思考

1. 观察概括，形成概念. 通过学生举例调动学生的已有知识和生活经验，教师演示图形运动，学生总结共同特征，从动态演示到静态分析，为概念形成作充分的准备。

2. 画图探究，归纳性质. 引导学生利用概念借助圆规画出点的运动路径，通过这样的操作帮助学生在脑海中形成运动的形象，帮助学生理解概念，归纳性质.

3. 开放设问，提升能力. 在归纳性质的环节，教师通过开放设问，给学生充分的空间进行自主探究，在独立思考与交流分析中提升学生能力. （三）不足之处

虽然我在进行教学设计时，力求渗透学习数学的方法，但是仍有不尽人意之处，可以在此方面再改进提高。