相关系数与P值的一些基本概念
相关系数与P值的一些基本概念
注：在期末论文写作过程中，关于相关系数与假设检验结果的表达方式，出现了一些概念问题。这篇文档的内容是对一些相关资料进行整理后的结果，供感兴趣的同学参考。如果需要更确切的定义，请进一步参阅统计分析类的教材。
1. 相关系数
常用Pearson’s correlation coefficient，计算公式与传统概念上的相同，即：
常用符号r表示。-1≤r≤1
如果用于评估数据点与拟合曲线间的关联程度，则一般用相关系数的平方值表示，常用符号为R，0≤R≤1
典型示例如下图。R相差不大，但显然数据规律完全不同。因此，一般需要结合拟合曲线图表给出R，才有参考价值。
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相关系数另一方面的应用是用来评估两组数据之间相互关联的程度，简单来说，就是判断一下两参量之间是否“相关”，有3种可能的情况，如下面的图所示。
(1)
(2)
(3) r>0，正相关。x增大，y倾向于增大； r
此时的相关系数一般用r表示。下图给出了不同r取值的例子。
显然，如果只是用来判断两参量之间的“关联”性质，r=-0.70与r=0.70应该是相同的。所以也可用（常见）r的绝对值表达。用文字表述“关联”程度时，可参考下面的取值范围
建议：
需要注意的是，这种相关系数的计算方法给出的r值，实际上反映的是“线性相关”的程度，如果两者虽然相关，但不是线性的，很可能给出不是很靠得住的结果，观察下面的例子。
左下角图中，两参量显然相关，但“线性”程度不够，所以Pearson’s correlation coefficient只有0.88。
另外一种相关系数的计算方法，Spearman correlation coefficient，用来评估两参量之间的“单调相关性”。如上面左下角图中的Spearman相关系数=1。Spearman correlation coefficient计算公式为：
其中，n为样本数，
下面的图是一些例子：
2. P值（p-values）
P值是配对ｔ检验(paired t-test)计算过程中得到的结果。用来评估前面所述相关程度计算结果的“显著程度”。在常用统计软件SPSS中，P值（p-value，有时显示为Sig-value）的计算是建立在如下两个假设基础上的：
◆ 无效假设（null hypothesis）H0:r=0，两参量间不存在“线性”关联。
◆ 备择假设（alternative hypothesis）H1:r≠0，两参量间存在“线性”关联。 如果计算出的P值很小，比如为0.001，则可说“有非常显著的证据拒绝H0假设，相信H1假设，即两参量间存在显著的线性关联”。
P值的数值大小没有统计意义，只是将其与某一个阈值进行比对，以得到二选一的结论。关于P值的判断阈值，可参照下面给出的建议：
典型的阈值取为0.05（5%）。因此判断规则如下：
◆ P≤0.05,拒绝无效假设，接受备择假设，即“存在显著的线性关联”；
◆ P>0.05,拒绝无效假设失败。
注意：
◆ 上面所给出的判断方式中，确切的结论是以“p≤阈值”为标准的，如果不是这样，
而是“p>阈值”，则只能给出检验失败的结论，不能说“接受无效假设”，从而得出“存在显著线性关联”的结论。
◆ P值只用于二值化判断，因此不能说P值=0.06比0.07“更好”。
为更好地理解，下面给出例子。
两参量Hb、PCV，经SPSS软件计算得到如下结果：
结论可表达为；“对于所采集到的14个样本值，计算了两参量Hb、PCV之间的Pearson
相关系数，两参量之间存在显著正相关（r=0.88, N=14, p
需要注意的是，相关程度未必能够代表两参量之间存在因果关系。比如上面的例子，只能说明Hb、PCV之间存在关联，而不是“Hb导致PCV变化”。
这种统计分析的结论，与具体的实验设计方式关系很大，需要特别关注是否存在一些隐藏在数据背后的因素。下面是一个极端一些的例子，分析儿童足底长度（footlength）与阅读能力(reading ability) 之间的关系。
用SPSS计算，可得到足底长度与阅读能力之间“显著相关”的结果（r=0.88,N=54,p=0.003）。然而，如果考虑到年龄，则可发现这种“显著相关”很可能是靠不住的，如下图。
下面的图是分年龄的统计结果。可以看到，无法得到“显著相关”的结论。