高等数学(黄立宏)(第三版)习题九课后答案

习题九

1. 求下曲线在给定点的切线和法平面方程：

(1)x =a sin 2t , y =b sin t cos t , z =c cos 2t , 点t =π

4

;

(2)x 2+y 2+z 2

=6,x +y +z =0,点M 0(1,-2,1); (3)y 2=2mx , z 2=m -x , 点M 0(x 0, y 0, z 0).

解：x '=2a sin t cos t , y '=b cos 2t , z '=-2c cos t sin t 曲线在点t =

π

4

的切向量为 T =⎧⎨⎩x '⎛ π⎫⎝4⎪⎭, y '⎛ π⎫⎛π⎫⎫⎝4⎪⎭, z ' ⎝4⎪⎭⎬⎭

={a ,0, -c }当t =

πa b 4

时， x =2, y =2, z =c 2

切线方程为

x -a y -b z -c ==a 0-c

. 法平面方程为

a ⎛ ⎝x -a ⎫2⎪⎭+0⎛ ⎝y -b ⎫2⎪⎭+(-c ) ⎛ c ⎫⎝z -2⎪⎭

=0. 即 ax -cz -a 2c 2

2+2

=0.

（2）联立方程组

⎧x 2+y 2⎨

+z 2=6

=0

⎩x +y +z 它确定了函数y =y (x ), z =z (x ) ，方程组两边对x 求导，得

⎧

⎪⎪2x +2y ⋅d y d z ⎨

d x +2z ⋅d x

=0 ⎪⎪⎩1+d y d x +d z d x

=0解得

d y d x =z -x y -z , d z x -y

d x =y -z

,

在点M 0（1，-2，1）处，所以切向量为{1，0，-1}. 故切线方程为

d y d z

=0, =-1 d x M 0d x M 0

x -1y +2z -1

== 10-1

法平面方程为

1(x -1)+0(y +2)-1(z -1)=0

即x -z =0.

(3)将方程y 2=2mx , z 2=m -x 两边分别对x 求导，得

d y d z 2y =2m , 2z =-1 d x d x 于是

d y m d z 1

=, = d x y d x 2z

1⎫⎧m

曲线在点（x 0, y 0, z 0）处的切向量为⎨1, , -⎬, 故切线方程为

y 2z 0⎭⎩0

x -x 0y -y 0z -z 0==,

m 11-y 02z 0

法平面方程为

(x -x 0) +

m 1(y -y 0) -(z -z 0) =0. y 02z 0

t

在相应点的切线

2

2. t (0

t

解：x '=1-cos t , y '=sin t , z '=2cos ,

2

在t 处切向量为T =1-cos t ,sin t ,2cos 已知平面的法向量为n ={.

2cos t {

t ,

2

}

且T ∥n ,

故

1-cos t sin t

==11

解得t =

π⎛π，相应点的坐标为 -.

且T ={ 2⎝2

故切线方程为

x -

π+1

y -1==

11法平面方程为

x -

π

+1+y -1+z -=0 2

π⎫

即

x +y -⎛ 4+⎪=0.

⎝2⎭

3. 证明：螺旋线x = acost, y = asint, z = bt的切线与z 轴形成定角。 证明：x '=-a sin t , y '=a cos t , z '=b . 螺旋线的切向量为

T ={-a sin t , a cos t , b }.

与z 轴同向的单位向量为

k ={0,0,1}

两向量的夹角余弦为

cos θ=

=

为一定值。

故螺旋线的切线与z 轴形成定角。

4. 指出曲面z = xy 上何处的法线垂直于平面x -2y +z =6,并求出该点的法线方程与切平面方程。 解：z x =y , z y =x .

曲面法向量为n 1={y , x , -1}. 已知平面法向量为n 2={1, -2,1}.

y x ==-1 1-2

解得x =2,y =-1, 此时，z =-2.

即（2, -1, -2）处曲面的法线垂直于平面，且在该点处的法线方程为

x -2y +1z +2

==. -12-1

切平面方程为

-1(x -2)+2(y +1)-(z +2)=0

即 x -2y +z -2=0. 5. 求下列曲面在给定点的切平面和法线方程：

且n 1∥n 2，故有

(1)z = x 2+y 2, 点M 0(1,2,5);

y π

(2)z = arctan, 点M 0(1,1,);

4x 解：（1）z x

m 0

=2x m 0=2, z y

m 0

=2y m =4.

故曲面在点M 0(1,2,5)的切平面方程为

z -5=2(x -1)+4(y -2).

即 2x +4y -z =5. 法线方程为

x -1y -2z -5

== 24-1（2）z x

m 0

=-

y

x 2+y 2

m 0

1

=-, z y

2

m 0

=

x x 2+y 2

m 0

1=. 2

π

故曲面在点M 0(1,1,) 的切平面方程为

4

π11

z -=- (x -1)+(y -1). 422

法线方程为

πz -

x -1y -1. ==11-1-22

6. 证明：曲面xyz = a 3上任一点的切平面与坐标面围成的四面体体积一定。 证明：设 F (x , y , z )=xyz -a 3. 因为 F x =yz , F y =xz , F z =xy ,

所以曲面在任一点M 0(x 0, y 0, z 0) 处的切平面方程为

y 0z 0(x -x 0)+x 0z 0(y -y 0)+x 0y 0(z -z 0)=0.

切平面在x 轴，y 轴，z 轴上的截距分别为3x 0,3y 0,3z 0. 因各坐标轴相互垂直，所以切平面与坐标面围成的四面体的体积为

11V =⎡3x 0⋅3y 0

3⎢⎣2⎤⋅3z =127x y z =1⨯27a 3=9a 3.

0000⎥662⎦

它为一定值。

7. 解：平面∏与曲面z =x 2+y 2在(1,-2,5) 的切平面的法向量为 n ={2x 0,2y 0, -1}={2, -4, -1}

从而平面∏的方程为：2x -4y -z -5=0

i j k

又l 的方向向量为s =11

0=-i +j +(a -1) k

1a -1

由n ⋅s =0求得a =-5

在l 上取一点，不妨取x 0=1求得y 0=-(b +1). z 0=5b +3 由于(x 0, y 0, z 0) 在平面∏上，代入平面方程中可求得b =-2. 8. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点（1，1,2）处沿方向角为α=导数。 解：

πππ

, β=, γ=的方向343

∂u ∂u ∂u ∂u

=cos α+cos β+cos γ

∂y (1,1,2)∂l ∂x (1,1,2)∂z (1,1,2)

=(y 2-yz ) (1,1,2)cos

πππ

+(2xy -xz ) (1,1,2)cos +(3z 2-xy ) (1,1,2)cos =5. 343

9. 求函数u =xyz 在点（5,1,2）处沿从点A （5,1,2）到B （9，4，14）的方向导数。

解：AB ={4,3,12},AB =13.

AB 的方向余弦为

cos α=

4312

, cos β=, cos γ= 131313

∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z

(5,1,2)

=yz =xz =xy

(5,1,2)

=2=10 =5

(5,1,2)(5,1,2)

(5,1,2)(5,1,2)

故

∂u 431298=2⨯+10⨯+5⨯=. ∂l 13131313

x 2y 2⎛x

2y 2⎫

10. 求函数

z =1- 2+2⎪在点处沿曲线a 2+b 2=1在这点的内法线

b ⎭⎝a 方向的方向导数。

解：设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ，它是第三象限的角，因为

2x 2

y b 2x +y

'=0, y '=-2 a 2b 2a y

所以在点处切线斜率为

y '

=-b . =a a 2法线斜率为cos ϕ=于是tan ϕ=a .

b

sin ϕ=∵

∂z 2∂z 2=-2x , =-2y ,

∂x a ∂y b

∴

∂z ∂l

2⎛=-2

a ⎝2-2b =

11. 研究下列函数的极值： (1) z = x 3+y 3－3(x 2+y 2); (3) z = (6x －x 2)(4y －y 2); (5) z = xy (a －x －y ), a ≠0.

(2) z = e2x (x +y 2+2y ); (4) z = (x 2+y 2) e -(x

2

+y 2)

;

2

⎧⎪z x =3x -6x =0

解：（1）解方程组⎨ 2

⎪⎩z y =3y -6y =0

得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).

z xx =6x －6, z xy =0, z yy =6y －6

在点（0，0）处，A =－6，B =0，C =-6，B 2－AC =－36

在点（0，2）处，A =－6，B =0，C =6，B 2－AC =36>0，所以(0,2)点不是极值点. 在点（2，0）处，A =6，B =0，C =－6，B 2－AC =36>0，所以(2,0)点不是极值点. 在点（2，2）处，A =6，B =0，C =6，B 2－AC =－360,所以函数有极小值z (2,2)=-8.

2x 2

⎧⎪z x =e (2x +2y +4y +1) =0

(2)解方程组⎨ 2x

z =2e (y +1) =0⎪⎩y

⎛1⎫

得驻点为 , -1⎪.

⎝2⎭

z xx =4e 2x (x +y 2+2y +1) z xy =4e 2x (y +1) z yy =2e 2x

⎛1⎫

在点 , -1⎪处, A =2e,B =0,C =2e,B 2-AC =-4e 20,所以函数有极小值

⎝2⎭

e 1⎫z ⎛ , -1⎪=-. 2⎝2⎭

2⎧⎪z x =(6-2x )(4y -y ) =0

(3) 解方程组⎨ 2

⎪⎩z y =(6x -x )(4-2y ) =0

得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4). Z xx =－2(4y -y 2), Z xy =4(3－x )(2－y ) Z yy =－2(6x －x 2)

在点（3，2）处，A =－8，B =0，C =－18，B 2－AC =－8×18

在点（0，0）处，A =0，B =24，C =0，B 2－AC >0，所以(0,0)点不是极值点. 在点（0，4）处，A =0，B =-24，C =0，B 2－AC >0，所以(0,4)不是极值点. 在点（6，0）处，A =0，B =-24，C =0，B 2－AC >0，所以(6,0)不是极值点. 在点（6，4）处，A =0，B =24，C =0，B 2－AC >0，所以(6,4)不是极值点.

-(x +y ) ⎧(1-x 2-y 2) =0⎪2x e

(4)解方程组⎨

-(x 2+y 2) 22

(1-x -y ) =0⎪⎩2y e

得驻点P 0(0,0),及P (x 0, y 0), 其中x 02+y 02=1，

在点P 0处有z =0，而当（x , y ）≠(0,0)时，恒有z >0， 故函数z 在点P 0处取得极小值z =0. 再讨论函数z =u e -u

d z d z =e -u (1-u ) ，令=0得u =1, 由d u d u

d z d z 0, 当u >1时，d u d u

由此可知，在满足x 02+y 02=1的点（x 0, y 0）的邻域内，不论是x 2+y 2>1或x 2+y 2

22

z =(x 2+y 2)e -(x +y ) ≤e -1.

故函数z 在点（x 0, y 0）取得极大值z =e-1

⎧z x =y (a -2x -y ) =0

(5)解方程组⎨

z =x (a -2y -x ) =0⎪⎩y

22

⎛a a ⎫

得驻点为 P , ⎪ 1(0,0),P 2

⎝33⎭

z xx =-2y , z xy =a -2x -2y , z yy =-2x .

a -2x -2⎤y ⎡-2y

故z 的黑塞矩阵为 H =⎢⎥ a -2x -2y -2x ⎣⎦

⎡2a ⎢-3⎡0a ⎤

, H (P 2) =⎢于是 H (P 1) =⎢⎥⎣a 0⎦⎢-a

⎢⎣3a ⎤

3⎥⎥. 2a -⎥3⎥⎦-

易知H （P 1）不定，故P 1不是z 的极值点，

a a ⎫a 3⎛H （P 2）当a

27⎝33⎭a a ⎫a 3⎛H （P 2）当a >0时负定，故此时P 2是z 的极大值点，且z , ⎪=.

⎝33⎭2712. 设2x 2+2y 2+z 2+8xz -z +8=0，确定函数z =z (x , y ) ，研究其极值。 解：由已知方程分别对x , y 求导，解得

∂z -4x -8z =, ∂x 2z +8x -1

∂z -4y = ∂y 2z +8x -1

令

x ∂z ∂z

=0, =0, 解得y =0, z =-,

2∂x ∂y

将它们代入原方程，解得x =-2, x =

16⎫

从而得驻点(-2,0), ⎛ ,0⎪.

⎝7⎭

16. 7

∂z ⎫⎛∂z ⎫(2z +8x -1) ⎛-4-8⎪+(4x +8z ) 2+8⎪ ∂z ∂x ⎭⎝⎝∂x ⎭=22

∂x (2z +8x -1)

2

⎛∂z ⎫4y 2+8⎪ 2∂z ⎭, =⎝∂x 2∂x ∂y (2z +8x +1) ∂2z

=∂y 2

-4(2z +8x -1) -8

(2z +8x -1) 2

∂z ∂y .

在点（-2，0）处，Z =1, A =

44

, B =0, C =, B 2-AC

82828216⎫

Z =-, A =, B =0, C =, -AC

7105105⎝7⎭8

. 7

13. 在平面xOy 上求一点，使它到x =0, y =0及x +2y -16=0三直线距离的平方之和为最小。 z =-

解：设所求点为P (x , y ) ，P 点到x =0的距离为|x |,到y =0的距离为|y |，到直线x +2y -16=0的距离为

距离的平方和为

=

1

z =x 2+y 2+(x +2y -16) 2

5

2⎧∂z =2x +(x +2y -16) =0⎪5⎪∂x 由⎨

∂z 4⎪=2y +(x +2y -16) =0

5⎪⎩∂y

816⎫⎛816⎫得唯一驻点⎛ , ⎪, 因实际问题存在最小值，故点 , ⎪即为所求。 ⎝55⎭⎝55⎭

14. 求旋转抛物面z = x 2+y 2与平面x +y -z =1之间的最短距离。

解：设P （x , y , z ）为抛物面上任一点. 则点P 到平面的距离的平方为

(x +y -z -1) 2d =, 即求其在条件z = x 2+y 2下的最值。设F （x , y , z ）

3(x +y -z -1) 2

+λ(z -x 2-y 2) =

3

2(x +y -z -1) ⎧F =-2λx =0⎪x

3

⎪

⎪F =2(x +y -z -1) -2λy =0⎪y

解方程组⎨ 3

⎪-2(x +y -z -1) F =+λ=0⎪z

3⎪

22

⎪⎩z =x +y

得x =y =z =

1

2

1

==15. 抛物面z = x 2+y 2被平面x +y +z =1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短

距离。

解：设椭圆上的点为P （x , y , z ），则

|OP |2=x 2+y 2+z 2.

因P 点在抛物面及平面上，所以约束条件为

z =x 2+y 2， x +y +z =1

设F （x , y , z ）= x 2+y 2+z 2+λ1(z -x 2-y 2)+λ2(x +y +z -1)

⎧F x =2x -2λ1x +λ2=0⎪F =2y -2λy +λ=0

12⎪y

⎪

解方程组⎨F z =2z +λ1+λ2=0

⎪22⎪z =x +y ⎪⎩x +y +z =1得

x =y =

-1 z =22

由题意知，距离

|OP |有最大值和最小值，且

⎛-1⎫2222

OP =x +y +z =2 ⎪+

(2

⎝2⎭

=9.

2

. 16. 在第I 卦限内作椭球面

x 2y 2z 2

+2+2=1 2a b c

的切平面, 使切平面与三坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标。

x 2y 2z 2

解：令F (x , y , z ) =2+2+2-1

a b c

∵F x =

2x 2y 2z

, F =, F =, y z a 2b 2c 2

∴椭球面上任一点P 0(x 0, y 0, z 0) 的切平面方程为

2x 02y 02z 0

(x -x ) +(y -y ) +(z -z 0) =0. 00222a b c

x x y y z z

即 02+02+02=1.

a b c

a 2b 2c 2

切平面在三个坐标轴上的截距分别为, , ，因此切平面与三个坐标面所围

x 0y 0z 0的四面体的体积为

1a 2b 2c 2a 2b 2c 2

V =⋅⋅⋅=

6x 0y 0z 06x 0y 0z 0

x 2y 2z 2a 2b 2c 2

即求V =在约束条件2+2+2=1下的最小值，也即求xyz 的最大值问

a b c 6xyz

题。

设 Φ(x , y , z =)

2λx ⎧

Φ=yz +=0, 2⎪x

a

⎪

⎪Φ=xz +2λx =0, ⎪y b 2

解方程组⎨

2λx ⎪Φz =xy +=0, 2

⎪c ⎪x 2y 2z 2

⎪2+2+2=1.

b c ⎩a

⎛x 2y 2z 2⎫

x y +z λ 2+2+2-1⎪,

b c ⎭⎝a

得x =

y =z =.

故切点为，此时最小体积为

a 2b 2c 2V ==.

26*

17. 设空间有n 个点，坐标为(x i , y i , z i )(i =1,2,

, n ) , 试在xOy 面上找一点，使此

点与这n 个点的距离的平方和最小。 解：设所求点为P （x , y ,0），则此点与n 个点的距离的平方和为

S =(x -x 1) 2+(y -y 1) 2+z 12+(x -x 2) 2+(y -y 2) 2+z 22+

+(x -x n ) 2+(y -y n ) 2+z n 2=nx -2x (x 1+x 2+ +(x 12+x 22+

2

+x n ) +ny -2y (y 1+y 2+

2

+y n )

+z n 2)

+x n 2) +(y 12+y 22+

+x n ) =0+y n ) =0

+y n 2) +(z 12+z 22+

⎧S x =2nx -2(x 1+x 2+解方程组⎨

⎪⎩S y =2ny -2(y 1+y 2+

x 1+x 2++x n ⎧x =⎪⎪n

得驻点⎨

y +y ++y n ⎪y =12

⎪n ⎩

1n ⎫⎛1n

又在点 ∑x i , ∑y i ⎪处

⎝n i =1n i =1⎭S xx =2n =A , S xy =0=B , S yy =2n =C

204

B 2-AC =-4n 20取得最小值.

1n ⎫⎛1n

故在点 ∑x i , ∑y i ⎪处，S 取得最小值.

⎝n i =1n i =1⎭1n ⎛1n ⎫

即所求点为 ∑x i , ∑y i ,0⎪.

⎝n i =1n i =1⎭

*

解：在直角坐标系下描点，从图可以看出，这些点大致接近一条直线，因此可设f (x )=ax +b ，求u =∑[y i -(ax i +b ) ]的最小值，即求解方程组

i =16

2

66

⎧62

⎪a ∑x i +b ∑x i =∑y i x i , ⎪i =

1i =1i =1

⎨66

⎪a x +6b =y i . ∑∑i ⎪i =1⎩i =1

把(x i , y i ) 代入方程组，得

⎧29834a +402b =24003

⎨

402a +6b =320⎩

解得 a =0.884, b =-5.894

即 y =0.884x -5.894,

当x =120时，y =100.186(103元).

205