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根的分布问题总结

03-29

一元二次方程根的分布问题 -----数形结合的方法

若y =f (x ) 与x 轴有交点x 0⇔f (x 0)=0。

一．一元二次方程根的基本分布——零分布

根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

2

设一元二次方程ax +bx +c =0（a ≠0）的两个实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2。

【定理1】：x 1>0，x 2>0

⎧∆=b 2-4ac ≥0⎧∆=b 2-4ac ≥0

或⎪ ⇔⎪⎪a >0⎪a

⎨⎨⎪f (0) =c >0⎪f (0) =c 0

上述推论结合二次函数图象不难得到。

⎧∆=b 2-4ac ≥0⎧∆=b 2-4ac ≥0

或⎪ ⇔⎪⎪a >0⎪a

⎨⎨⎪f (0) =c >0⎪f (0) =c 0⎩b

【定理2】：x 1

由二次函数图象易知它的正确性。

【定理3】x 1

c

b

1x =0，x >0⇔c =0且【定理4】 ○12

2x

b

>0。 a

二．一元二次方程的非零分布——k 分布

2

设一元二次方程ax +bx +c =0（a ≠0）的两实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2。k 为常数。则一元二次方程根的k 分布（即x 1，x 2相对于k 的位置）有以下若干定理。

【定理1】k

⎧

⎪∆=b 2-4ac ≥0

⇔⎪af (k ) >0

⎨⎪b ⎪->k ⎩2a

【定理2】x 1≤x 2

⎧

⎪∆=b 2-4ac ≥0

。 ⇔⎪

⎨af (k ) >0⎪b ⎪-

【定理3】x 1

【定理4】有且仅有k 1

⎧a >0⎧a 0⎪f (k )

11⎪⎪⎪⎪

【定理5】k 10

⎪f (p ) 0

11

⎪⎪⎪⎩f (p 2) >0⎪⎩f (p 2)

此定理可直接由定理4推出，请读者自证。

⎧⎧

2⎪∆=b -4ac ≥0⎪∆=b 2-4ac ≥0⎪⎪a >0⎪⎪a

【定理6】k 10或⎨f (k 1)

⎪f (k ) >0⎪f (k )

22

⎪⎪

b b ⎪⎪k


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