空间中点线面之间的位置关系导学案

第二章 点、直线与平面的位置关系

§2.1.1 平面

【学习目标】

（1）利用生活中的实物对平面进行描述； （2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图； （3）掌握平面的基本性质及作用； （4）培养学生的空间想象能力。

【课前导学】阅读教材40—43页，完成新知学习：

1.试描述平面及画法

2.三个公理：

公理1：文字语言： ___________________________ 符号语言： ____________________________ 图形语言：

公理2：文字语言： ____________________________ 符号语言： ___________________________ 图形语言：

公理3：文字语言： ____________________________ 符号语言： ____________________________ 图形语言：

【课中导学】

（一）实物引入、揭示课题

生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？ （二）研探新知 1、平面含义

以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。 2、平面的画法及表示

在平面几何中，怎样画直线？

类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）

D C

A B

平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。

如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画

ββ

·B

课本P41 图 2.1-4 说明

·A 平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。

点A在平面α内，记作：A∈α 点B在平面α外，记作：B α

2.1-4 3、平面的基本性质

把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实归纳出以下公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，即

A∈L

A

B∈α LA∈α

B∈α·B

公理1作用：判断直线是否在平面内

生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等…… 归纳出公理2

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 A B

·符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面 C ·

·

使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

公理3作用：判定两个平面是否相交的依据

§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

【学习目标】

（1）了解空间中两条直线的位置关系；

（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力； （3）理解并掌握公理4； （4）理解并掌握等角定理；

（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。

【课前导学】阅读教材44—47页，完成新知学习：

1.用文字语言叙述异面直线的概念

2. 用图形表示两条异面直线

3.空间两条直线的位置关系有哪三种？

4. 用文字语言叙述公理4

5.用符号语言叙述公理4，并画出相应图形

6.用文字语言叙述等角定理：

7.用数学符号叙述等角定理：

【课中导学】

1、由长方体模型，可以得出得出空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 共面直线

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

由异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图：

2、（1）在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a、b、c是三条直线

a∥b =>a∥c c∥b

强调：（1）公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

（2）公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。 4、异面直线所成的角的概念：

（1）如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。

（2）强调：

① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈2， )；

③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；

④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

§2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、 平面与平面之间的位置关系

【学习目标】

（1）了解空间中直线与平面的位置关系； （2）了解空间中平面与平面的位置关系； （3）培养学生的空间想象能力。

【课前导学】阅读教材48—50页，完成新知学习：

1. 直线与平面平行的概念：

2. 空间中直线与平面之间的位置关系有那三种？以公共点个数如何划分？ 分别用图形和符号表示它们。

3.平面与平面之间的位置关系有哪几种？以交线怎样划分？分别用图形和符号表示它们。

【课中导学】

1、观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点

（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点

强调：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α

完成例4

例4的给出加深了学生对这几种位置关系的理解。

2、对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，准确归纳出两个平面之间有两种位置关系：

（1）两个平面平行 —— 没有公共点

（2）两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线

用类比的方法，很快地理解与掌握了新内容，这两种位置关系用图形表示为：

Lα βα∥β α∩β= L

强调：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边

平行。

完成教材P51 探究，加深对这两种位置关系的理解

§2.1.1 平面

A组

1．下列图形不一定是平面图形的是( ) A．三角形 B．梯形 C．四边形 D．菱形

2．如图所示，用符号语言可表示为( )

A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n 3．平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，点Cl，又AB∩l＝R．设A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是( )

A．直线AC B．直线BC C．直线CR D．以上均错

4．已知点A，直线a，平面α，①A∈a，aα⇒Aα；②A∈a，a∈αA∈α；③Aa，a⊂αAα；④A∈a，a⊂αA⊂α．

以上命题表达正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是( ) A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈βa⊂β

B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈βα∩β＝MN C．A∈α，A∈βα∩β＝A D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线α，β重合 6．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c ＝C，则直线a，b，c，l的位置关系是__________．

B组

1．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则点C1，M，O的关系是________．

2．给出下列四个命题：

①空间四点共面，则其中必有三点共线；

②空间四点中有三点共线，则此四点必共面； ③空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； ④空间四点不共面，则任意三点不共线． 其中正确命题的序号是________．

3．根据下列条件画出图形：平面α∩平面β＝AB，直线CD⊂α，CD∥AB，E∈CD，直线EF∩β＝F，F∉AB．

4．定线段AB所在的直线与定平面α相交，P为直线AB外任一点，且P∉α，

直线AP，PB分别与α交于A′，B′，求证：无论P在什么位置，A′B′恒过一定点．

§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

A组

1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定( )

A．异面 B．相交 C．不相交 D．不平行

2．已知空间四边形的两条对角线互相垂直，那么顺次连接空间四边形各边中点所得的四边形是( )

A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．平行四边形

3．已知异面直线a与b满足a⊂α，b⊂β，且α∩β＝c，则c与a，b的位置关系一定是( )

A．c与a，b都相交

B．c至少与a，b中的一条相交 C．c至多与a，b中的一条相交

D．c至少与a，b中的一条平行

4．有两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( )

A．全等 B．相似 C．有一个角相等 D．无法判断

5．如图所示，为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，

①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线； ③CN与BM成60°角；④DM与BE垂直． 以上4个命题中，正确命题的序号是( )

A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④

6．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，与棱AA1垂直且异面的棱有________．

B组

1．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影有可能是：

①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．

在上面结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)． 2．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为________．

3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别为AA1，CC1的中点．求证：BFED1．

4．如图所示，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，MN＝5，求异面直线AC与BD所成的角．

§2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、 平面与平面之间的位置关系

A组

1．平面外一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线与平面的位置关系是( )

A．平行 B．相交

C．相交或平行 D．以上均不正确

2．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l( ) A．平行 B．相交

C．垂直 D．互为异面直线 3．已知下列命题：

①若直线l平行于α内的无数条直线，则l∥α；

②若直线a在平面α外，则a∥α； ③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；

④若直线a∥b，b⊂α，则直线a平行于α内的无数条直线． 其中正确的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4

4．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( ) A．α内的所有直线与l异面

B．α内不存在与l平行的直线 C．α内存在惟一的直线与l平行 D．α内的直线与l都相交

5．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是( ) A．都平行

B．都相交

C．在两个平面内

D．至少和其中一个平行

6．在下列四个命题中，是真命题的有( )

①若a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β；②若对任一直线，a⊂α，均有a∥β，则α∥β；③a⊂α，a∩β＝A，则α与β不平行；④a⊂α，α∩β＝l，则a与β不平行．

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

A组

1．两平面α与β平行，a⊂α，下列四个命题：

①a与β内的所有直线平行；②a与β内的无数条直线平行；③a与β内的任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．

其中是真命题的有__________．(填序号)

2．过平面外一点，能作出__________条直线和此平面平行．

3．已知直线a，b，若a∥b，则过a且与b平行的平面有________个．

4．如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b，a与β的关系并证明你的结论．