初高中数学几何衔接

初高中衔接教材编排

第一部分相交线

1角的定义： 具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，

这两条射线叫做角的两条边。表示方法符号：∠

两条相交线出现四个角

2余角和补角：两角之和为90°则两角互为余角，两角之和为180°则两角互为补角。 等角的余角相等，等角的补角相等

3对顶角的定义

4同位角，内错角，同旁内角

同位角：两条直线被第三条直线所截, 在截线的同旁, 被截两直线的同一方, 我们把这种位置关系的角称为同位角.

互为同位角的有：∠1与∠5, ∠2与∠6, ∠4与∠8, ∠3与∠7；

内错角：两条直线被第三条直线所截, 两个角分别在截线的两侧, 且夹在两条被截直线之间, 具有这样位置关系的

一对角叫做内错角. 互为内错角的有：∠3与∠5, ∠2与∠8

同旁内角：两条直线被第三条直线所截, 在两条直线之间, 并在第三条直线同旁的 两个角称为同旁内角 .

互为同旁内角的有：∠3与∠8, ∠2与∠5

例题【基础题】请找出图中的同位角，内错角，同旁内角

例题、【基础题】如图，O 是直线AB 一点，∠BOD=∠COE=90º，

则（1）如果∠1=30º，那么∠2= ，∠3= 。 （2）和∠1互为余角的有 。

D

和∠1相等的角有 。

C

E

例题【基础】32º的余角为 ，137º的补角是 。

3A

421

第二部分平行线

B

O

1．定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.

2．特征 在同一平面内【必须满足，这是一个难点】 不相交

说明强调在一个平面内，是因为高中的时候会出现一条线和一个面，那么这个时候存在着线和这个面内的有些直线不平行的问题，这个有点难理解。

3．表示方法 我们通常用‘／／’表示平行比如直线AB//CD

4. 在同一平面内两条直线的关系有两种，平行和相交

相交的情况包括垂直. 两条直线的夹角为90度，就称这两条直线垂直

垂线的性质经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线最短。 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线的长度。 5. 平行线的画法 工具：直尺，三角板

6. 平行公理，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 【推论】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行

平行于同一直线的两条直线平行 7．平行线的三个性质

性质一：两条直线被第三条直线所截，同位角相等简称两直线平行，同位角相等 性质二：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等简称两直线平行，内错角相等

性质三：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补【相加为180度】简称两直线互补，同旁内角互补。

【基础题】

【基础题】

例题【基础题】判断对错

在同一平面内两条平行线有且只有一个交点（错） 两直线的位置只有相交和平行（错）

练习1. 【基础题】在同一平面内，与已知直线m 平行的直线有 条， 而经过直线m 外一点，与已知直线平行的直线有 条。

练习2. 【基础题】已知AB ∥CD,CD ∥EF ，则AB ∥EF 根据是 。 练习3. 【基础题】在同一平面内，两条直线的位置关系可能有（ ）

A 两种:平行或相交; B、两种:平行或垂直；C 、三种:平行、垂直、相交； D、两种:垂直或相交 练习4. 【基础题】已知直线AB 及一点P ，若过P 点作一直线与AB 平行，那么这样的直线（ ） A 、有且只有一条； B、有两条； C、不存在； D、不存在或只有一条

例题[基础题]如图（1），直线a,b 被直线c 所截，若∠1+∠3=180°，则 ∥ 。

第三部分三角形

1. 定义：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形

三角形的三条边，三个顶点，三个内角 三角形的表示方法，可以用符号△ABC 来表示 三角形的三个内角之和是180度。

四边形的内角和是360度，五边形的内角和是540度。。。 n 变形的内角和是180（n-2）

在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180

°.

和内角相邻互补的三个角叫做外角。

由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做该三角形的外角.

三角形的三个外角之和为360度。

与三角形的每个内角相邻的外角分别有 2 个，他们的大小 相等 ，互为对顶角.

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和

2、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

【基础题】

例题【基础题】如图（1）△BCD 的外角是_____.

（2）∠2既是______的内角， 又是______的外角.

三角形边的性质 三角形两边之和大于第三边 三角形两边之和小于第三边

根据这个性质我们可以判断三边是否可以构成三角形 做题步骤：1. 先找出最长的一条边

2. 然后最长边和其他两边的和相比

3. 如果最长边小于其他两边的和，那么可以组成，如果大于或者等于，则不行。

例题【基础题】判断下列是否可以构成三角形，并说明理由

三角形的高线

从三角形一个顶点向它的对边作一条垂线，三角形顶点和垂足之间的线段称三角形这条边上的高。

（1）a=2.5cm, b=3cm, c=5cm； （2）e=6.3cm, f=6.3cm, g=12.6cm.

例题【基础题】由下列长度的三条线段能组成三角形吗? 请说明理由.

（1）3，8，10； （2）5，2，7； （3）5，5，11； （4）13，12，20.

例题【基础题】现有4根木棒, 长度分别为12, 10, 8, 4, 选择其中3根组成三角形, 则能组成三角形的个数是( c ).

A.1 B.2 C.3 D.4

例题【基础题】 如图，在△ABC 中，∠A=45°，∠B=30°， 求∠C 的度数.

例题【基础题】、在△ ABC 中，∠A=45°，∠B= 2∠C ，求

∠B, ∠C 的度数.

根据三角形内角的大小分为三类 锐角三角形【三个角全是锐角】 直角三角形【有一个角是直角】 钝角三角形【有一个角是钝角】

说明我们平时使用的三角尺有两个，是特别的三角形，一个是两个角都是45度的直角三角形 第二个是一个角为30度，一个角为60度的直角三角形。 三角形的角平分线

三角形

的一个内角的平分线与它的对边相交，连接这个角的顶点和交点之间的线段叫三角形的角平分线。

锐角三角形：从一个顶点向该顶点的对边做垂线；

直角三角形的直角边是直角三角形的高，直角顶点向斜边做垂线为斜边高；

钝角三角形钝角顶点向对边做垂线为该边的高，锐角向对边外延长线做垂线为该边的高。 三角形的垂心：三角形的三条高或其延长线相交于一点，这点称为三角形的垂心

若AD 是△ABC 的高，则①AD ⊥BC 于D ②∠ADC=90°或∠ADB=90°

定理1

角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

三角形的面积

三角形面积是指一个三角形通过测量和计算而得的平面

面积

（面积=底×高

÷2。其中，a 是三角形的底，h 是底所对应的高）注释：三边均可为底，应理解为：三边与之对应的高的积的一半是三角形的面积。这是面积法求线段长度的基础。

三角形的边平分线 三角形顶点到对应边中点的连线叫做三角形的边平分线，一个三角形有三条边平分线，三条边平分线的交点叫做三角形的重心。

全等三角形

全等形 能够完全重合的图形，叫做全等形 说明，他们的形状形同，大小相同。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 说明必须满足大小相同 全等三角形的各个元素

对应顶点 当两个全等三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点 对应边 互相重合的边 对应角 互相重合的角 表示方法例如△ACD ≌△BDC

性质1全等三角形的对应边相等，对应角相等

判定方法1【简称角边角，ASA 】如果一个三角形的两个角及其夹边分别与另一个三角形的两个角及其夹边对应相等，那么这两个三角形全等 判定方法2【简称角角边或AAS 】如果一个三角形的两个角及其中一角的对边分别与另一个三角形的两个角及其中一角的对边对应相等对应相等，那么这两个三角形全等

判定方法3【边角边或者SAS 】 如果一个三角形的两条边及其夹角分别与另一个三角形的两条边及其夹角对应相等，那么这两个三角形全等

判定方法4 【简称边边边或SSS 】如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等。 【基础题】

三角形的外心

三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心

三角形内的勾股定理，等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形 相似三角形

如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角分别对应相等，并且他们的对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形【形状相同，大小不同，对应边成比例】 相似三角形的元素 对应角 对应顶点 对应边 表示方法，例如 △ABC ∽△A‘B’C‘

判定方法1 如果一个三角形的两个角分别与两一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 判定方法2 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

判定方法3 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 推论一 两个相似三角形对应高的比等于它们对应边的比 推论二两个相似三角形面积的比等于它们对应边的比的平方。

矩形的性质定理1 矩形的四个角都是直角 矩形性质定理2 矩形的对角线相等

推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 推论：矩形的面积等于相邻边长的乘积

矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形 菱形： 有一组邻边相等的平行四边形

第四部分平行四边形

1定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 四条边，两组对角，两条对角线

性质定理1：菱形的四条边都相等

性质定理2：菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半

判定定理1： 四条边都相等的四边形是菱形

判定定理2 ：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 正方形： 一组邻边相等的矩形

2性质定理1 平行四边形的对边相等 定理2平行四边形的对角相等

定理3平行四边形的对角线互相平分

两条平行线之间的距离叫做平行四边形的高 平行四边的面积等于高乘以垂直的边

3判定定理1两组对边分别相等的四边形是平行四边形 判定定理2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形 定理4两组对边分别互相平行的四边形是平行四边形 4特殊的平行四边形

矩形 有一个角是直角的平行四边形

推论一有一个角是直角的菱形是正方形

正方形的四个角相等，都是九十度，两条对角线相等，平分，且垂直。

第五部分梯形

1定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫梯形

平行的两边叫做梯形的底，短的叫做上底，长得叫做下底。

不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间，与底垂直的线段叫做梯形的高 推论1两腰相等的梯形叫做等腰梯形

.

其中AB=CD，AC=BD

推论2一腰与底垂直的梯形叫做直角梯形

梯形的面积等于【上底+下底】乘以高除以2

等腰梯形的性质定理1 等腰梯形同一底上的两个内角相等

性质定理2 等腰梯形的两条对角线相等

等腰梯形的判定定理 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形

连接梯形两腰中点的线段，叫做梯形的中位线

梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半。这叫做梯形的中位线定理

第五部分圆

1定义 到固定点距离相等的点所组成的图形叫做圆。固定点叫做圆心，点到固定点的线段叫做半径，一个圆的所有半径都相等。圆上任意两点的连线叫做圆的弦。

弦把圆弧分为两段，长得叫做优弧，短的叫做劣弧。垂直于弦的线段叫做圆的垂径.

圆是轴对称图形，也是中心对称图形。

垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论 平分弦【不是直径】的直径垂直垂直于这条弦，平且平分弦所对的两条弧。 圆心角定义 顶点在圆心上，角的两边与圆周相交的角叫圆心角。 圆心角∠AOB 的取值范围是0°

推论一 圆心角的度数等于它所对的劣弧的度数。

圆周角的定义 顶点在圆周上，并且两边为圆的两条弦的角叫做圆周角（

angle in a circular segment ）切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （Inscribed Angle）。圆周角的顶点在圆上，它的两边为圆的两条弦

圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。 ① 圆周角度数定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

② 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等。 ③ 半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 4在同圆或等圆中，圆周角相等弧相等弦相等弦心距相等。 确定圆的条件 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 直线和圆的位置关系

直线l 与☉o 有两个公共点时，叫做直线l 与☉o 相交。直线l 叫做☉o 的割线，两个公共点叫做交点。 直线l 与☉o 有唯一公共点时，叫做直线l 与☉o 相切。直线l 叫做☉o 的切线，唯一的公共点叫做切点。直线l 与☉o 没有公共点时，叫做直线l 与☉o 相离。

切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径。

三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做内切圆 内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做外切三角形。

圆心到各边都垂直，距离都相等。

三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点。 弧长公式:n是圆心角度数，r 是半径，