直角三棱锥的几个性质
直角三棱锥的几个性质
有一类特殊的三棱锥，它的经过同一顶点的三条棱两两垂直，我们不妨把这种三棱锥称作直角三棱锥，从结构上看，它是平面的直角三角形在空间的扩展。循着直角三角形的一些重要性质对直角三棱锥进行探究，我们能得到直角三棱锥的有趣的相应性质。
我们已经学习过的直角三角形的性质有：
性质1：RtΔ的垂心就是直角顶点。
性质2：RtΔ的两个锐角互余。
性质3：RtΔ两直角边的平方和等于斜边的平方。
性质4：RtΔ中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项；每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项；由此，RtΔ两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比。 性质5：RtΔ两直角边的乘积，等于斜边与斜边上高的乘积。
性质6：RtΔ斜边上的中线等于斜边的一半。
(所以RtΔ的外接圆半径R＝c
＝)。
性质7：RtΔ的内切圆半径r＝＝(a＋b－c)。
现在我们来探究一下直角三棱锥的性质。如图所示，在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，设PA＝a，PB＝b，PC＝c。
性质1：直角三棱锥的底面是锐角三角形。
证明：∵PA、PB、PC两两垂直， ∴PA⊥面PBC，PB⊥
面PCA，PC⊥面PAB， ∴面PAB、面PBC、面PCA两两垂直。
作PH⊥面ABC于H，连CH并延长并交AB于D，连PD，则
PH⊥AB，PH⊥CD，面PCD⊥面ABC；而PC⊥面PAB
⊥CA。
由AB⊥面PCD知CD⊥AB，而PD⊥AB且∠APB＝
90°，∴∠ABC、∠CAB为锐角。同理，∠BCA也是锐角， PC⊥AB，所以AB⊥面PCD，∴AB⊥PD，AB⊥CH。同理，AH⊥BC，BH
性质2：直角三棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。 证明：由AB⊥CH，AH⊥BC，BH⊥CA易知，H是ΔABC的垂心，由此可得：
性质3直角三棱锥顶点到底面的距离为h则
＝＋＋。
证明：在RtΔPAB中，PD·AB＝PA·PBPD＝；在RtΔPCD中，CD＝PD＋PC＝()＋c＝；在RtΔPCD中，PH⊥CD，∴PD·PC＝CD·PHPH
＝
＝
＝
，∴
＝
＝＋＋。
性质4：直角三棱锥三条侧棱与底面所成角的正弦值的平方和等于1。（三条侧棱与底面所成角，和三个侧面与底面所成角互为余角。）
证明：因PH⊥面ABC， ∴侧棱PC与底面ABC所成角为∠PCH＝α，则有sin∠PCH＝sinα
＝＝＝。 同理,侧棱PB与底面ABC所成角为∠PBH＝β,sin∠PBH＝sinβ＝，侧棱PA与底面ABC所成角为∠PAH＝γ，sin∠PBH＝sinγ＝，所以sinα＋sinβ＋sinγ＝1。因此，
性质5：直角三棱锥三个侧面与底面所成角的余弦值的平方和等于1。
由AB⊥PD,AB⊥CD，∴侧面PAB与底面ABC所成角为∠PDC＝θ,由PC⊥PD知θ＋α＝90°,∴sinα＝sin(90°－θ)＝cosθ。类似推理，由sinα＋sinβ＋sinγ＝1。易得：sinθ＋sinδ＋
sin＝1。
性质6：①底面内任一点到顶点距离的平方，等于它到三个侧面距离的平方和。
如图，Q为底面ΔABC内任一点，作点Q到面PAB的距离为RQ＝d，到面PBC的距离为RT＝d，到面PCA的距离为RS＝d，容易
得到：PQ＝RQ＋RP＝RQ＋RT＋RS＝d＋d＋d
性质7：直角三棱锥底面三角形的面积S
＝
证明：底面三角形的面积S
， ＝AB·CD
＝
·
。 ＝
性质8：直角三棱锥三个侧面面积的平方和，等
于底面面积的平方。
证明
把S
＝S
S·S。 ＝S·S；S＝S＝S·S；S＋S＋；这三个式子相加，得S
性质9：直角三棱锥外接球的半径R
＝。
证明：将直角三棱锥补成长方体，则直角三棱锥的外接球也是长方体的外接球，其球心是长方体的中心，半径为长方体对角线的一半。因此有
性质10：直角三棱锥内切球的半径r＝
。
证明：设直角三棱锥内切球半径为r，球心为Ｏ，连OA,OB,OC，则把直角三棱锥分成四个小三棱锥，∴ V＝V＋V＋V＋V，
∵ S
＝，∴
×ab×c＝×ab×r＋×bc×r＋×ca×r＋×××r ，
∴ r＝
。