平面向量单元测试题
平面向量单元测试题
一、选择题(每小题5分,共50分) 1.化简ACBDCDAB得( )
A.AB B. C. D.
0 →→
2.如图,四边形ABCD中,AB=DC,则相等的向量是( )
→→
A. AD与CB →→
C. AC与BD
3.某人先位移向量a:“向东走5 km”,接着再位移向量b:“向西走3 km”,则ab表示( )
A.向东走2 km C.向东走8 km
B.向西走2 km D.向西走8 km
→→
B. OB与OD
→→
D. AO与OC
4.如果△ABC的顶点坐标分别是A(4,6), B(2,1),C(4,1),则重心的坐标是 ( ) A.(2,1) B.(2,2) C.(1,2) D.(2,4)
→→→
5.若AB=(2,4),AC=(1,3),则BC=( )
A.(1,1) B.(-1,-1) C.(3,7)
D.(-3,-7)
6.下列向量组中能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是( )
A.e1=(0,0),e2 =(1,-2) C. e1=(3,5),e2=(6,10)
7. O是ΔABC所在的平面内的一点,且满足(-)·(+-2)=0,则ΔABC的形
状一定为( )
A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.斜三角形
8.已知||3,||5,且12,则向量在向量上的投影为( )
A.
B. e1=(-1,2),e2=(5,7)
13
D. e1=(2,-3),e2=(,-)
24
12
5
B.3 C.4 D.5
9.已知两个力F1,F2的夹角为900,它们的合力的大小为10N,合力与F1的夹角为600,则 F1的大小为( )
A.
B.5N C.10N D.
→→→→
10.已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),在x轴上一点P,使AP·BP有最小值,则点P的坐标为( )
A.(-3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0)
二、填空题(每小题5分,共20分)
11.若a3,b2,且与的夹角为600,则ab.
12.如图,M、N是△ABC的一边BC上的两个三等分点,
若ABa,ACb,则MN= .
13.一艘船从A点出发以2km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为2km/
h,则船实际航行的速度的大小是 km/h.
14.设点M1(2,-2), M2(-2,6),点M在M2M1的延长线上,且| M1M|=|M M2|,则点M的坐标是 .
三、解答题(本大题共6小题,共780分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分14分)
已知向量ae1e2,b4e13e2,其中e1(1,0),e2(0,1). (1)试计算ab及ab的值; (2)求向量a与b的夹角的余弦值。
15
16.(本小题满分14分)
已知a3,b2,a与b的夹角为60°,c3a5b,dma3b. (1)当m为何值时,c与d垂直? (2)当m为何值时,c与d共线?
17.(本小题满分12分)
→
已知在△ABC中,A(2,-1)、B(3,2)、C(-3,-1),AD为BC边上的高,求|AD|与点D的坐标.
18.(本小题满分12分)
如图,ABCD是一个梯形,AB∥CD,AB4,AD2,且AB=2CD,M、N分别是DC和AB的中点,且DAB60,求AMDN的值.
19.(本小题满分14分)
已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4). →→
(1)求证:AB⊥AD;
(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标,并求矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值.
20.(本小题满分14分)
已知平面向量a
(1)证明:ab;
13
3,1,b,
22
(2)若存在不同时为零的实数k和t,使xat3b,ykatb,且xy,试
求函数关系式kf(t);
(3)根据(2)的结论,讨论关于t的方程f(t)k0的解的情况。
平面向量单元测试题参考答案
一、选择题
DDABB BCABC
1
二、填空题 11
12、3(b-a) 13、4 14、(3,4) 15、解:(1)a =(1,0)-(0,1)=(1,-1),b=(4,0)+(0,3)=(4,3)。
a·b=(1,-1)·(4,3)=1;„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分
|a+b|=|(5,2)|=29。„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分 (2)cos
ab2
。„„„„„„„„„„„„„„„„„„14分
|a||b|10
16、解:(1)令c·d=0,则(3a+5b)·(ma-3b)=0,
29
即3m|a|2-15|b|2+(5m-9)a·b=0,解得m=14
29
故当m=时,c⊥d. „„„„„„„„„„„„„„„„„„7分
14(2)令c=λd,则3a+5b=λ(ma-3b),即(3-λm)a+(5+3λ)b=0,
3-λm=0,
∵a,b不共线,,∴
5+3λ=0.
λ=-3解得9
m=-.5
5
9
故当mc与d共线.„„„„„„„„„„„„„„„„„„14分
5→
17、解:设D点坐标为(x,y),则AD=(x-2,y+1),
→→
BC=(-6,-3),BD=(x-3,y-2), →→
∵D在直线BC上,即BD与BC共线, ∴-6(y-2) -(-3)(x-3)=0,
∴x-2y+1=0.①„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 →→又∵AD⊥BC,∴AD·BC=0,即(x-2,y+1)·(-6,-3)=0, ∴-6(x-2)-3(y+1)=0.②
x=1,由①②可得„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分
y=1.
→→
∴|AD|=1-2+25,即|AD|=5,D(1,1).„„„„„„„„„„„„12分
18、解:设ABa,ADb所以a4,b2,则ab42cos604„„„4分
11
AMDN(ADDM)(ANAD)(ba)(ab) 故
42
21211
abab2441„„„„„„„„„„„12分 844
(本题可建坐标解答)
→→
19、解:(1)证明:A(2,1),B(3,2),D(-1,4).∴AB=(1,1),AD=(-3,3).
→→→→又∵AB·AD=1×(-3)+1×3=0,∴AB⊥AD.„„„„„„„„„„„„„„„6分 →→→→(2)∵AB⊥AD,若四边形ABCD为矩形,则AB=DC. 设C点的坐标为(x,y),则有(1,1)=(x+1,y-4),
x+1=1,x=0,∴∴∴点C的坐标为(0,5). y-4=1,y=5.
→→→→→→由于AC=(-2,4),BD=(-4,2),∴AC·BD=(-2)×(-4)+4×2=16,|AC|=25,|BD|=25.
→→
AC·BD164
设对角线AC与BD的夹角为θ,则cosθ=→→205|AC||BD|
4
故矩形ABCD两条对角线所夹锐角的余弦值为„„„„„„„„„„„„„„14分
5
13
20、解:①a·b10 ab„„„„„„„„4分
22
xy,x·y0,即at3b·katb0 ②
22
整理得:katkt3a·btt3b0
22
因为:a·b0,a4,b1,则4ktt30
kf(t)
123
tt„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分 44
22121391399
kf(t)(t3t)tt③
4441616242
且方程f(t)k0的解的情况可以看作曲线yf(t)与直线yk的交点的个数
9
时,yk与f(t)有两个交点,因此方程f(t)k0有两解; 169
k时,yk与f(t)有一个交点,因此方程f(t)k0有一解;
169
k时,yk与f(t)没有交点,因此方程f(t)k0无解。
16
k
„„„„„„„„„„„„„„„„„„14分