三角形中的几何计算

三角形中的几何计算

【知识与技能】

1. 通常对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的度量问题

. 2. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关三角形的边和角以及三角形的面积等问题

.

3. 深刻理解三角形的知识在实际中的应用，增强应用数学建模意识，培养分析问题和解决实际问题的能力.

【重点】应用正、余弦定理解三角形.

【难点】灵活应用正、余弦定理及三角恒等变换解决三角形中的几何计算. 【三角形常用面积公式】（对应教材P25页B 组第2小题） （1）S =

1

； 2

111

ab sin C = = ； 2221

·r · (r为三角形内切圆半径) ； 2

（2）S =

（3）S =

（4）

S =

a +b +c ⎫其中p =⎪(海伦公式) ；

2⎭

b 2sin A sin C c 2sin A sin B

== ; （5）S =

sin B sin C

（6）S =

abc

(其中R 为三角形外接圆半径) 。 4R

类型1 三角形中的面积计算问题

【例1】△ABC 中，已知C ＝120°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积．

AB AC AC sin C 2sin 120°1解：由正弦定理＝sin B ＝. 因为AB >AC ，所以C >B ，

sin C sin B AB 2211

∴B ＝30°，∴A ＝30°. 所以△ABC 的面积S ＝·AC ·sin A ＝23·2·sin 30°＝3.

22

小结：由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用；如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算．

【练习】(2013·蒙阴高二检测) 在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC 为________． 解：由S △ABC ＝

3

，则边BC 的长2

313133·AC sin A ＝2AC ×AC ＝1. 由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－222222

1

2AB ·AC ·cos A ＝22＋12－2×2×13. ∴BC 3.

2

类型2 三角形中的长度、角度计算问题

【例2】如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD,AD =10,AB =14,∠BDA =60°, ∠BCD =135°, 求BC 的长.

解：在△ABD 中，由余弦定理，得AB 2=AD 2+BD 2-2AD

·BD

·cos ∠ADB ,

设BD ＝x , 则有142=102+x 2-2×10x cos60°, ∴x 2-10x -96=0,由正弦定理知

∴x 1=16,x 2=-6(舍去) ，∴BD =16。在△BCD 中，

BC BD 16

=，∴BC =·sin30°＝82.

sin 135︒sin ∠CDB sin ∠BCD

【例3】在△ABC 中，已知AB =

466

，cos ∠ABC =，AC 边上的中线BD =5, 求sin A 的值. 36

126

AB =. 23

解：如图所示，取BC 的中点E ，连结DE ，则DE ∥AB , 且DE =

∵cos ∠ABC =

66

, ∴cos ∠BED =-. 设BE ＝x , 在△BDE 中，利用余弦定理，

66

8266

+2⨯⨯x 。 336

可得BD 2=BE 2+ED 2-2BE ·ED cos ∠BED , 即5=x 2+解得x =1或x =-

7

(舍去) ，故BC =2.在△ABC 中，利用余弦定理，可得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos ∠3

ABC =

28302212

, 即AC =. 又sin ∠ABC =-cos ∠ABC

=， 363

∴

2=sin A

2

，∴sin A =70.

1430

6

【练习】如图所示，在△ABC 中，已知BC =15,AB ：AC =7；8,sin B =BC 边上的高AD 的长.

解：在△ABC 中，由已知设AB =7x , AC =8x , x >0,由正弦定理，得

43

, 求 7

7x 8x

=, sin C sin B

∴sin C =

7x sin B 743. ∴∠C =60°或120°若∠C =120°，由=⨯=

8x 872

∴x 2-8x +15=0,解得x =3或x =5.

∴AB =21或AB =35.

在Rt △ADB 中，

8x >7x ，知∠B 也为钝角，不合题意，故∠C ≠120°. ∴∠C =60°. 由余弦定理，得（7x ）2=(8x ) 2+152-2×8x ×15cos60°, AD =AB sin B =

43

AB ，∴AD =12或203. 7

类型3 三角形中的综合问题

32

【例4】△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，b =ac ，cos B ＝5→→cos A cos C

(1)求(2)设BA ·BC ＝3，求a ＋c 的值．

sin A sin C

34cos A cos C

解：(1)由已知b 2＝ac ，及正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C ，由cos B ＝，则sin B ＝. ＋＝

55sin A sin C sin C cos A ＋cos C sin A sin (A ＋C )sin B 15

＝＝sin A sin C sin A sin C sin A sin C sin B 4

→→336(2)由BA ·BC ＝3，得ac cos B ＝3，ac ＝5，由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac ×ac ＝a 2＋c 2－ac ，

cos B 55

a 2＋c 2＋2ac ＝21，∴(a ＋c ) 2＝21. ∴a ＋c 21.

小结：1．本题体现了正、余弦定理在三角形中的综合应用．解答本类综合问题时，还常常用到同角三角函数的基本关系和三角恒等变换公式．2．以下结论也常常用到：(1)A ＋B ＝π－C ，

A ＋B πC

＝－(2)在三角形中大边对大角，反之亦然；(3)222

21

5

任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)三角形内的诱导公式sin(A ＋B ) ＝sin C ，cos(A ＋B ) ＝－cos C ，tan(A A ＋B A ＋B πC C

＋B ) ＝－tan C (C ，sin cos ，sin .

22222

【练习】△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C ， (1)求A 的大小；

(2)若a ＝7，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．

1

解：(1)由已知条件得2cos A sin B ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C ) ＝sin B . 又∵sin B ≠0，∴cos A .

2又∵0°

(2)由余弦定理得7＝b ＋c －2bc ·cos 60°＝b ＋c －bc ＝(b ＋c ) －3bc ，将b ＋c ＝4代入，得bc ＝3. 133故△ABC 面积为S sin A ＝.

24类型4 解三角形中的函数思想

【例5】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设S 为△ABC 的面积，满足S ＝－c 2) ．

(1)求角C 的大小；(2)求sin A ＋sin B 的最大值．

13

解：(1)由题意可知sin C ＝×2ab cos C ．2分所以tan C 3，

24

π2π1

(2)由已知sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin (π－A －) ＝sin A ＋sin(－A ) ＝sin A cos A ＋sin A ＝3sin(A ＋

3322π2ππ

≤3(0＜A ＜). 当A ＝，即△ABC 为等边三角形时取等号，所以sin A ＋sin B 的最大值为3. 633【练习】（1）在△ABC 中，若已知三边为连续整数，最大角为钝角，求最大角的余弦. （2）求以（1）中的最大角为内角，相邻两边之和为4的平行四边形的最大面积.

解：（1）设三边长分别为a -1, a,a +1,由于最大角是钝角，所以(a -1) 2+a 2-(a +1) 2当a =1时，a -1=0，不合题意舍去；当a =2时，三边长为1,2,3，不能构成三

2

2

2

2

2

2

322

a ＋b 4

22+32-421⎛1⎫

. =-（角形；当a =3时，三边长为2,3,4，设最大角为θ，则cosθ=. 2）sin θ=- -⎪=42⨯2⨯34⎝4⎭

设相邻两边分别为x,y ，则x+y=4.所以面积S =xy sin θ=又因为x ∈(0,4)，所以当x =2时，S 取得最大值

xy =x (4-x ) ＝［-(

x -2) 2+4］. 444

【课时小结】1．对于三角形中的几何计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、

余弦定理解决．求三角形的面积的问题，先观察已知什么，尚缺什么，用正弦定理和余弦定理算出需要的元素，就可以求出三角形的面积．证明三角恒等式的关键是用正、余弦定理实现边角转化．2．许多问题既可用正弦定理也可用余弦定理解决，甚至可以两者兼用，当一个公式求解受阻时要及时考虑其他公式列式．3．解三角形问题除了应用正、余弦定理外，也经常用到内角和定理以及三角变换公式中的平方关系、两角和与差的正、余弦公式等．

【课外作业】

1．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝1，AC ＝2，则S △ABC 的值为( )

13

A. B. C. 3 D ．23 22【答案】 B

2．△ABC 中，若A ＝60°，b ＝16，此三角形的面积S ＝3，则a 的值为( )

A ．206 B ．25 C ．55 D ．49 【答案】 D

3．三角形的两边长为3cm 、5cm, 其夹角的余弦是方程5x 2-7x -6=0的根，则此三角形的面积是 ( ) A.6cm 2 B. 【答案】 A

15

cm C.8cm 2

D.10cm 22

4．已知△ABC 周长为20，面积为10，A =60°，则BC 边长为（ ）

A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】

C

5．已知锐角三角形ABC 中，| |=4,| |=1,△ABC 的面积为3，则·的值为 ( )

A.2 B.-2 C.4

D.-4【答案】 A

6．在△ABC 中，若sin A ：sin B ：sin C =k ：(k +1)：2k , 则k 的取值范围是（ ） A. （2，+∞） B. （-∞，0） C. （-【答案】 D

7．边长为a 的等边三角形的高为________．【答案】

a 2

11

，0） D. （，+∞） 22

8．已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝，AC ＝4，求AC 边上的高．

3＋13)－1613391

解：设AC 边上的高为h ，由余弦定理知cos B ，∴sin B ＝，∴S ＝×3×13

131322×3×13×

239331333

＝×2＝33. 又S ＝×4×h ，∴2h ＝3，∴h ＝，∴AC 边上的高为. 132222

2

2

9．已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m =(a,b ), n=(sinB ,sin A ), p =(b -2, a -2).

（1）若m ∥n , 求证：△ABC 为等腰三角形

. （2）若m ⊥p , 边长c =2,角C ＝

π

，求△ABC 的面积. 3

a b =b·, 其中R 是三角形ABC 外接圆半径，∴a 2=b 2, a=b, 2R 2R

∴a+b=ab. 由余弦定理可知，

解：（1）∵m ∥n , ∴a sin A =b sin B , ａ·∴△ABC 为等腰三角形.

(2)由题意可知m ·p =0,即a (b -2)+b (a -2)=0.

4=a 2+b 2-ab =(a+b) 2-3ab , 即(ab ) 2-3ab -4=0,∴ab =4(舍去ab =-1).∴S=

12ab sin C =12·4·sin π

3

=. 10．在△ABC 中，C-A =π2

，sin B =1

3.

（1）求sin A 的值；

（2）设AC =，求△ABC 的面积. 解：（1）由C-A =

π2和A+B+C=π，得2A =ππ

2-B ,0

. ∴cos2A =sinB ,

1-2sin 2A =

13, ∴sin A =33. （2）由（1）得cos A =

3

. 6⨯

又由正弦定理，得

BC =AC

, ∴BC =

AC sin A =sin A sin B

sin B 1=32. ∵C-A =π2, ∴C =π2+A , 3

sin C =sin(

π2+A )=cosA =61163, ∴S △ABC =2AC ·BC ·sin C =2×6×32×3

=32.

∴