角平分线的性质及其逆定理同步练习
角平分线的性质及其逆定理练习
第1题. 如图,△ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,E 、
A
D
F 为垂足,在以下结论中:①△ADE ≌△ADF ;②△BDE ≌△CDF ;③△ABD
≌△ACD ;④AE =AF ;⑤BE =CF ;⑥BD =CD .其中正确结论的个数是( ) A .1
B .2
C .3
D .4
F C
答案:B .
第2题. 如图,Rt △ABC 中,∠C =90º,BD 是角平分线,DE ⊥AB ,垂足为E ,A
BC =6,CD =3,AE =4,则DE =_______,AD =_______,△ABC 的周长是_______.
答案:3,5,24
第3题. 用三角尺画角平分线:如图,∠AOB 是一个任意角,在边
E
B
O A ,OB 上分别取OM =ON ,再分别过M 、N 作OA ,OB 的垂线,交点
为P ,画射线OP ,则这条射线即为角平分线.请解释这种做法的道理.你还能举出哪些作角平分线的方法,并说明这种做法的道理.
答案:提示:OM =ON ,OP =OP ,∴Rt △OMP ≌Rt △ONP (HL),∴∠MOP =∠NOP ,∴射线OP 是∠AOB 的平分线.
第4题. 求证:三角形的三条角平分线相交于一点.
答案:提示:画出图形,写出已知、求证,证明两条角平分线的交点到第三个角的两边的距离相等.
第5题. 如图,三条公路围成的一个三角形区域,要在这个区域中建一个加油站,使它到三条公路的距离都相等,加油站应建在什么位置?请用尺规作图,找出建造加油站的位置. 答案:提示:作两个角的平分线,交点即为建加油站的位置.
第6题. 如图,△ABC 中,∠C =90º,BD 平分∠ABC 交AC 于D ,DE E
C D A
1
是AB 的垂直平分线,DE =2BD ,且DE =1.5cm,则AC 等于( )
A .3cm B .7.5cm 答案:D .
第7题. 如图,△ABC 中,P 是角平分线A D ,BE 的交点. 求证:点P 在∠C 的平分线上.
B
D
C A
E
C .6cm D .4.5cm
答案:如图,过点P 作PM ⊥AB ,PN ⊥BC ,PQ ⊥AC ,垂足分别为M 、N 、Q .∵P 在∠BAC 的平分线AD 上,∴PM =PQ .P 在∠ABC 的平分线BE 上,∴PM =PN 。∴PQ =PN ,∴点P 在∠C 的平分线.
第8题. 如图,已知点D 是∠ABC 的平分线上一点,点P 在BD 上,
P C
B
D N M
E C
PA ⊥AB ,PC ⊥BC ,垂足分别为A ,C .
求证:(1)AD =CD ;(2)∠ADB =∠CDB .
答案:△ABP ≌△CBP ,∴AB =CB ,又∠ABP =∠CBP ,BD =BD ,∴△ABD ≌△CBD ,∴AD =CD ,∠ADB =∠CDB .
第9题. 如图,在∠AOB 的两边O A ,OB 上分别取OM =ON ,OD =OE ,
A
B
O
E
N
B
DN 和EM 相交于点C .
求证:点C 在∠AOB 的平分线上.
答案:提示:作CE ⊥OA 于E ,CF ⊥OB 于F ,OM =ON ,OE =OD ,∠MOE =∠NOD ,∴△MOE ≌△NOD (SAS),∴S △M O E =S△N O D,同时去掉S 四边形ODCE ,得S △M D C=S△N E C,易证,MD =NE ,∴CE =CF ,∴点C 在∠AOB 的平分线上.
第10题. 已知:如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,
A
B
D
E 、F 分别为垂足.
求证:AD 垂直平分EF .
答案:提示:由角平分线的性质定理,可得DE =DF ,进而求得∠DEF =∠DFE ,∠AEF =∠AFE ,所以AE =AF ,所以AD 垂直平分EF .
第11题. 如图,已知△ABC 中,∠C =90º,∠BAC =2∠B ,D 是BC 上一点,DE ⊥AB 于E ,DE =DC . 求证:AD =BD .
答案:提示:DE =DC ,AD =AD ,∴Rt △ADE ≌Rt △ADC ,∴∠EAD =∠DAC =
B
F
C
A
D
C
11
∠BAC ,又∠B =∠BAC ,∴∠EAD =∠B ,∴AD =BD . 22