大学概率论课后习题答案

第二章 离散型随机变量

2.1 下列给出的是不是某个随机变量的分布列？ (1)

352311

 (2) 0.50.30.20.70.10.1



2n12n1

222n  (4)

111111111222232323

0

(3) 1

2

解 （1）是

（2）0.70.10.11，所以它不是随机变量的分布列。

111113（3）11,所以它不是随机变量的分布列。

22323234

11（4）为自然数，且n0,1，所以它是随机变量的分布列。 2n12

2n

nn

2.2 设随机变量的分布列为：P((2P(

k)

k

,k1,2,3,4,5，求(1)P(1或2); 15

15

)) ； (3) P(12)。 22

121; 解 (1) P(1或2)

15155

151(2) P()P(1)P(2);

225

1

(3) P(12)P(1)P(2).

5

22.3 解 设随机变量的分布列为P(i)C,i1,2,3。求C的值。 3

23272解 22，所以C。

C1

38333





i

N)与N2成反比，求的分布列。

2

C6C解 根据题意知P(N)，其中常数C待定。由于，所以CC1222

2.4 随机变量只取正整数N，且P(

N

N1N6

，即的分布列为

P(N)

6，N取正整数。

2N2

2.5 一个口袋中装有m个白球、nm个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取出了个白球，求的分布列。

解 设“k”表示前k次取出白球，第k1次取出黑球，则的分布列为：

P(k)

m(m1)(mk1)(nm)

,k0,1,,m.

n(n1)(nk)

2.6 设某批电子管的合格品率为布列。

34

，不合格品率为

14

，现在对该批电子管进行测试，设第次为首次测到合格品，求的分

1解 P(k)4

k1

3

,k1,2,. 4

2.7 一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3只球，以表示取出球的取大号码，求的分布列。

k1

2解 P(k),k3,4,5. 53

2.8 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为分布列。

解P(

p(0p1)，设为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，求

的

k)qk1ppk1q,k2,3,，其中q1p。

2.9 两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投中的概率为0.6，求每名队员投篮次数的分布列。

解 设，表示第二名队员的投篮次数，则

P(k)0.6k10.4k10.4+0.6k0.4k10.60.760.24k1,k1,2,； P(k)0.6k0.4k10.60.6k0.4k0.40.760.6k0.4k1,k1,2,。 2.10 设随机变量服从普哇松分布，且P(1)P(2)，求P(4)。

解

P(k)

k

k!

e(0)k0,1,2,。由于e





2

2

e,

得

12,20

（不合要求）。所以

24222

P(4)ee。

4!3

2.11 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不

脱销的概率为0.999。

解 设为该种商品当月销售数，x为该种商品每月进货数，则P(

x)0.999。查普哇松分布的数值表，得x16。

2.12 如果在时间t（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与t成正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。

解 设为时间t内通过交叉路口的汽车数，则

(t)kt

P(k)e(0),k0,1,2,

k!

t1时，P(0)e0.2，所以ln5；t2时，t2ln5，因而 P(1)1P(0)P(1)(24ln25)/250.83。

2.13 一本500页的书共有500个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（每一页的印刷符号超过500个）。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。

1

，因而，至少出现三个错误的概率为 500

k500kk500k5005002

14995001499  1k500500k500500

k3k0

1

1，于是上式右端等于 利用普哇松定理求近似值，取np500500

2

15

1110.080301

k!2ek0

解 在指定的一页上出现某一个错误的概率

p

2．14 某厂产品的不合格品率为0.03，现在要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100个合格品，那么

每箱至少应装多少个产品？

解 设每箱至少装100x个产品，其中有k个次品，则要求x,使 0.9

100xk100xk0.030.97， kk0

x

x

3k3

，查普哇松分布数值表，得利用普哇松分布定理求近似值，取(100x)0.033，于是上式相当于0.9k0k!

x5。

2.15 设二维随机变量(,)的联合分布列为：

P(n,m)

求边际分布列。

解 P(

npm(1p)nm

m!(nm!)

n

e

(0,0p1) m0,1,,n

n0,1,2,

n)P(n,m)

m0

ne

n!

m0

m!(nm)!p

n!

n

n!

m

(1p)nm



ne

n!

n0,1,2,

pme

P(m)P(n,m)

m!n0





nm

m!(nm)!p



m

(1p)nm

(p)mep

m!

m0,1,2,。

2.17 在一批产品中一等品占50%，二等品占30%，三等品占20%。从中任取4件，设一、二、三等品的件数分别为、、，求(,,)的联合分布列与各自的边际分布列。

解 P(

m,n,k)

4!

0.5m0.3n0.2k ，m,n,k0,1,2,3,4mnk4.

m!n!k!

4m4m ，

m0,1,2,3,4； P(m)m0.50.5



4n4n

P(n)n0.30.7 ，n0,1,2,3,4；



4k4k

P(k)k0.20.8 ，k0,1,2,3,4。



2.18 抛掷三次均匀的硬币，以表示出现正面的次数，以表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求(,)的联合分布列及边际分布列。

2.21 设随机变量与独立，且P(又P(解P(

1)P(1)p0，

独立？

1若为偶数，问p取什么值时与0)P(0)1p0，定义

0若为奇数

1)P(0)P(0)P(1)P(1)=(1p)2p2

P(0)P(0)P(1)P(0)P(1)2p(1p)

而P(1,1)P(1,1)p2，由P(1,1)P(1)P(1)得p1

2

1

，定义，证明,,两两独立，但不相互独立。 2

1

证明P(1)P(1)P(1)P(1)P(1)

21

P(1)P(1)P(1)P(1)P(1)

2

1

P(1)P1) 因为P(1,1)P(1,1)4

1

P(1,1)P(1,1)P(1)P1)

41

P(1,1)P(1,1)P(1)P(1)

41

P(1,1)P(1,1)P(1)P(1)

4

所以,相互独立。同理与相互独立。

但是P(1,1,1)P(1)P(1)P(1)，因而,,不相互独立。

2.23设随机变量与独立，，且只取值1、2、3、4、5、6，证明不服从均匀分（即不可能有

1

P(k),k2,3,,12。）

11

证明 设P(k)pk,P(k)qk,k1,2,,6。

1

,k2,3,,12，则 若P(k)11

1

P(2)p1q1 (1)

11

1

P(7)p1q6p2q5p6q1 (2)

11

1

P(12)p6q6 (3)

11

2.22 设随机变量与独立，且P(

1)P(1)

将（2）式减去（1）式，得：(p6

矛盾。

p1)q10，于是p6p1。同理q6q1。因此p6q6p1q1



212

1

，与（3）式11

0

2.24 已知随机变量的分布列为

14

解 分布列为P(



14

，求

2

2与cos3

的分布列。

1121

)； ，P(2)，P(2

43234111

的分布列为P(1)，P(0)，P(1)。

424

2)

321012

11111，求的分布列。



6515305

2.25 已知离散型随机变量的分布列为1

17111

, P(1) , P(4) , P(9) 530530

01013

2.26 设离散型随机变量与的分布列为：131 ，  ：12，且与相互独立，求的分



33288

解P(

0)

布列。

解 1

0

[1**********]11



2412

p)与b(k;n2,p)，求的分布列。

解 设为n1重贝努里试验中事件A发生的次数（在每次试验中P(A)p），为n2重贝努里试验中事件A发生的次数（在每次试验中P(A)p），而与相互独立，所以为n1n2重贝努里试验中事件A发生的次数，因而

2.27 设独立随机变量与分别服从二项分布：b(k;n1,

n1n2kn1n2k

P(k),k0,1,,,n1n2。

kpq

2.28 设与为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为

1

P(n)P(n)n,n1,2,

2

求的分布列。

n1n1

11n1

解P(n)P(k)P(nk)knk n

22k1k12

12

2.29 设随机变量具有分布：P(k),k1,2,3,4,5，求E、E及E(2)2。

5

11222222

解，E(12345)3，E(12345)11

55

2

E(2)2E+4E+4=27

1

2.30设随机变量具有分布：P(k)k,k1,2,，求E及D。

2

k11

解 Ekk

2k12k1222

DE(E)2



k1

k21212

2，Ekk

2k12k12

k

k1

6

2k1

]k,k1,2,，问是否有数学期望？ 2.31设离散型随机变量的分布列为：P[(1)k2

k

111k2解 |(1)|k，因为级数发散，所以没有数学期望。 k2k1kk1k1k

2.32 用天平秤某种物品的重量（砝码仅允许放在一个秤盘中），物品的重量以相同的概率为1克、2克、„、10克，现有三组

砝码：

（甲组）1，2，2，5，10（克）

（乙组）1，2，3，4，10（克） （丙组）1，1，2，5，10（克） 问哪一组砝码秤重时所用的平均砝码数最少？

解 设1、2、3分别表示及甲组、乙组、丙组砝码秤重时所用的砝码数，则有 物品重量度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1 2 1 1 1 1 2 2 2 3 3 1 3 1 1 2 3 1 2 2 3 4 1 于是 E1 E2



1

(1122122331)1.8 10

1

(1111222331)1.7 101

E3(1123122341)2

10



20

所以，用乙组砝码秤重时所用的平均砝码数最少。

 2.33某个边长为500米的正方形场地，用航空测量法测得边长的误差为：0米的概率是0.49, 10米的概率各是0.16，

米的概率各是0.08，30米的概率各是0.05，求场地面积的数学期望。

解

设

场

地

面

积

为

S米2，边长的误差为米，则S(500)2且

E0E22(1020.162020.083020.05)186 所以ESE(500)2E21000E250000250186(米2)

2.34 对三架仪器进行检验，各仪器发生故障是独立的，且概率分别为p1、p2、p3。试证发生故障的仪器数的数学p1+p2+p3。

1第i架仪器发生故障i1,2,3 i

0第i架仪器未发生故障

为发生故障的仪器数，则EiP(i1)pi,i1,2,3， 所以EE1E2E3p1+p2+p3。

证 令

2.37 如果在15000件产品中有1000件不合格品，从中任意抽取150件进行检查，求查得不合格品数的数学期望。 解 设，

101

14，因而Ei则i的分布列为1151515

。设为查得的不合格品数，则

i

i1

150

，所以E

Ei10。

i1

150

2.38 从数字0，1，„，n中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。 解 设为所选两个数字之差的绝对值，则P(

k)

nk1

,k1,2,,n，

n12

n

nk12n22

于是Ek。 [(n1)kk]n1n(n1)3k1k1

2

2.39 把数字1,2,,n任意在排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称有一个匹配，求匹配数的数学期望。

011数字k出现在第k个位置上1 解 设k则k的分布列为：1

10数字k不在第k个位置上nn

nn

1

于是EkP(k1)，设匹配数为，则k，因而EEk1。

nk1k1

2.40 设为取非负整数值的随机变量，证明：

n

(1) E

P(n);

n1



(2) D

2nP(n)E(E1).

n1



证明 (1)由于E



nP(n)存在，所以该级数绝对收敛。从而

n0



EnP(n)

n1

(2) D存在，所以级数E

2

n1i1



2



n0

n

P(n)P(n)P(i)。

i1ni

i1



n2P(n)也绝对收敛，从而



DEEE(E1)n(n1)P(n)E(E1)

n1

2iP(n)E(E1)2iP(n)E(E1) 2nP(n)E(E1).

n1n1i1

i1ni

n

2.41 在贝努里试验中，每次试验成功的概率为

p，试验进行到成功与失败均出现时停止，求平均试验次数。

解 设成功与失败均出现时的试验次数为，则

P(1)1，P(n)pn1qn1,n2,3,(q1p)

利用上题的结论，E

P(1)+P(n)=1+(pn1qn1)

n2

n2



pqp2p1

1

1p1qp(1p)

2.42 从一个装有m个白球、n个黑球的袋中摸球，直至摸到白球时停止。如果(1)摸球是为返回的，(2)摸球是返回的，试对

这两种不同的摸球方式求：取出黑球数的数学期望。

解 略。

2.43 对一批产品进行检验，如果检查到第n0件仍未发现不合格品就认为这批产品合格，如在尚未抽到第n0件时已检查到不合格品即停止继续检查，且认为这批产品不合格。设产品数量很大，可以认为每次检查到不合格品的概率都是查多少件？

解 略。

2.44 流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率品总数的数学期望与方差。

解 设第i1个不合格出现后到第i个不合格品出现时的产品数为i，i

p，问平均每批要检

p，当生产出k个不合格品时即停工检修一次。求在两次检修之间产

1,2,,k.又在两次检修之间产品总数为，则

i.

i1

k

因i独立同分布，P(i

j)qj1p,j1,2,(q1p)，由此得：

Ei



j1



jq

j1

1p

p

，Ei

2

j2qj1p

j1



2pp2

，

DiEi2(Ei)2

k

1p

。 2p

k

k(1p)k

。 EEi，DDi2

ppi1i1

2.46 设随机变量与独立，且方差存在，则有

D()DD(E)2DD(E)2（由此并可得D()DD）

2222222

证明 D()E(E)EE(E)(E)

E2E2E2(E)2E2(E)2(E)2(E)2

2222

ED(E)DDD(E)DD(E)

2.47 在整数0到9中先后按下列两种情况任取两个数，记为和：(1)第一个数取后放回，再取第二个数；(2)第一个数取后不放回就取第二个数，求在k(0k9)的条件下的分布列。

解 (1) P((2) P(

i|k)

19

110

i0,1,,9.

i|k)(i0,1,,9,ik) , P(k|k)0 A出现的概率为p，令

2.49 在n次贝努里试验中，事件

0在第i次试验中A不出现

求在2nr(0rn)的条件下，i(0in)的分布列。

1

解 P(0|r)P(i0,1i1i1nr)

i2n1

i

1在第i次试验中A出现

i1,2,,n

P(12n)

n1rn1rqqpq nr 

nnrnr

pqr

P(i1|12nr)1

nrr。

nn

k

nk

2.50 设随机变量1，2相互独立，分别服从参数为1与2的普哇松分布，试证：

11n P(1k|12n)k11212P(1k,12n)

证明 P(1k|12n)

P(12n)

P(1k)P(2nk)

P(12n)

k1

P(

1

1

由普哇松分布的可加性知1+2服从参数为1+2的普哇松分布，所以

k|12n)

k!(nk)!(12)n(12)

en!

e

n2k

e

2

1nk

12

k

1

1

12

nk

i(1ir)服从同一几何分布，即有

试证明在2rn的条件下，(,2,,r)P(ik)qpk1,k1,2,,(1ir),其中q1p。

2.51 设

，

，„，

为

1

2r

r

个相互独立随机变量，且

1

1

的分布是均匀分布，即

P(1n1,,rnr|12rn

1

，其中nn2nrn.

1

n1r1

n1,,rnr|12rP(1n1,,rnr,1rn)

P(1rn)

P(1n1,,rnr)



P(1rn)

证明 P(1

由于1，2，„，r相互独立且服从同一几何分布，所以

P(12rn)

ki1,2,i1,,r

n1rnrki1

(qp)r1qp。

k1krni1

r

1qrpnr

从而P(1n1,,rnr|2rn)。 

n1rnrn1

r1r1qp



1