高中数学疑难题及解答1
高中数学疑难题及解答（一）
1. 四面体DABC 中,AB,BC,BD, 两两垂直, 且AB=BC=2,点E 是AC 的中点, 异面直线AD 与BE 所成的角的余弦值为，求BD 的长和四面体DABC 的体积 10
解：以B 为原点，BC 为X 轴，BD 为Y 轴，BA 为Z 轴建立空间坐标系， B （0,0,0），C （2,0,0），D （0,y 0,0) ，A(0,0,2),E(1,0,1),
向量BE=（1，0，1），向量DA=（0,-y 0,2),
向量BE·DA=0+0+2=2，
|BE|=√2，|DA|=√（4+y0^2),
设DA 与BE 所成的角为θ
cosθ=√10/10，
cosθ=BE·DA/（|BE|*|DA|）=2/[√2（4+ y02)]=√[2/（4+y0^2)]=√10/10，y 02=16,y0=±4，∴|BD|=4，∴V=[|BA|*|BC|/2]*|BD|/3=8/3。
若未学向量，则用一般方法。
取CD 中点F ，连结EF ，BF ，EF 是△ADC 中位线，EF//AD，且EF=AD/2，则〈BEF 就是BE 和AD 所成角，AC=√2AB=2√2，BE=AC/2=√2，∵AB=BC，BD=BD，〈ABD=〈DBC=90°，∴RT △ABD ≌RT △CBD ，∴
AD=CD，∵BF 是RT △BDC 斜
边上的中线，∴BF=CD/2，∴
EF=BF，设x=EF=BF,在△BEF
中，根据余弦定理，
BF^2=BE^2+EF^2-2*BE*EF*c
os
0/10，x=√5，AD=2EF=2√5，
AB^2+BD^2=AD^2,4+BD^2=2
0, ∴BD=4，∴VB-ACD=（2*2/2）
*4/3=8/3。
2. 已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c属于R) 满足f(-1)=0且对任意实数x 都有x ≤f (x ) ≤(x +1
2) 2，求f(x)的解析式
解：由x ≤f (x ) ≤(x +1
2) 2令x=1可以得到f(1)=1;将f(-1)=0、f(1)=1带入
2函数得：a+b+c=1,a-b+c=0, f(x)-x≥0即ax +（b-1）x+c≥0; 要对一切x 都成
11立，必有a>0且判别式(b-1)^2-4ac
带入上面不等式得：(4c-1)2
问题得解
2
10x +13. 已知函数f(x)是y=-1(X属于R) 的反函数函数g(x)的图象与函数y=4-3x 的图像关于直线y=x-1成轴对称图形，设F(x)=f(x)+g(x) x -1
(1)求F(x)的解析式及定义域
（2）试问在函数F(x)的图像上市又存在两个不同的点A 、B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直？若存在，求出两点坐标，若不存在，说明理由
解：1、y=2
10x +1
1-x
1+x -1，10x +1=21-y ，10x =， y +11+y 所以f(x)=lg (-1
4-3y -34-3x 的图像上, 所以x-1=. 所x -1y +1-1设P(x,y)是函数g(x)图像上的任意一点, 则P(x,y)关于直线y=x-1对称的点的坐标是(y+1,x-1).由题设可知点(y+1,x-1)在函数y=
以y=1 (x≠-2). x +2
1-x 1+, 其定义域为{x|-1
(2)易知f(x)=lg1-x 1 (-1
在(-1,1)上是减函数. 故不存在这样两个不同点A 、B, 使直线AB 恰好与y 轴垂直.