集合问题易错点突破

集合问题易错点突破

集合的概念多，逻辑性强，关系复杂，联系广泛，这对同学们带来了较多的学习障碍，在学习过程中常常会不知不觉地出错，下面对集合问题中常犯错误进行剖析，帮助大家突破易错点。

一、对代表元素理解不清致错。

22 例1. 已知集合A ={y |y =x -2x , x ∈R },B ={y |y =x +6x +16, x ∈R }，求A B 。

22错解1：令x -2x =x +6x +16, 得x =-2，所以y =8, A B ={8}。

22错解2：令x -2x =x +6x +16，得x =-2，所以y =8, A B ={-2, 8}。

剖析：用描述法表示的集合{x |x ∈p }中，x 表示元素的形式，x ∈p 表示元素所具有的性质，集合{(x , y ) |y =f (x ), x ∈R }表示函数f (x ) 的图象上全体点组成的集合，而本题{y |y =f (x ), x ∈R }表示函数f (x ) 的值域，因此求A B 实际上是求两个函数值域的交集。

22正解：由A ={y |y =x -2x , x ∈R }={y |y =(x -1) -1}={y |y ≥-1},

B ={y |y =x 2+6x +16, x ∈R }={y |y =(x +3) 2+7}={y |y ≥7},得A B ={y |y ≥7}。

二、遗漏空集致错。

例2. 已知集合A ={x |-2≤x ≤5}，B ={x |m +1≤x ≤2m -1}，若A ⊇B ，求实数m 的取值范围。

错解：解不等式-2≤m +1≤2m -1≤5, 得2≤m ≤3。

剖析：空集Φ是特殊集合，它有很多特殊性质，如A Φ=Φ, A Φ=A , 空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集。本题错解是因考虚不周遗漏了空集，故研究A ⊇B 时，首先要考虑B =Φ的情况。

正解：①若B =Φ时，则m +1>2m -1, 即m

⎧-2≤m +1, ⎨B ≠Φ时, 则m +1≤2m -1, 即m ≥2②若。由⎩2m -1≤5得-3≤m ≤3。所以2≤m ≤3。

由①②知m 的取值范围是(-∞, 3]。

三、忽视元素的互异性致错。

例3. 已知集合{x , xy , lg(xy )}={0, |x |,y },求x +y 的值。

错解：由xy >0，根据集合的相等，只有lg(xy ) =0, xy =1。所以可得|x |=1或|y |=1。 ⎧x =1⎧x =-1, ∴⎨或⎨⎩y =1⎩y =-1

所以x +y =2或x +y =-2。

剖析：当x =y =1时，题中的两个集合均有两个相等的元素1，这与集合中元素的互异性相悖。其实，当xy =1时, 集合{x , 1, 0}={0, |x |,y }，这时容易求解了。

正解：舍去x =y =1，故x +y =-2。

四、混淆相关概念致错。

222A ={x |x +4ax -4a +3=0, x ∈R },B ={x |x -(a -1) x +a 例4. 已知全集U=R，集合

=0, x ∈R },C ={x |x 2+2ax -2a =0, x ∈R }，若A 、B 、C 中至少有一个不是空集，求实数a 的取值范围。

31∆=(4a ) 2-4(-4a +3) ≥0, 得a ≤-或a ≥22 ①时，A 不是空错解：对于集合A ，当

集。 同理当-1≤a ≤1

3 ②时，B 不是空集；当a ≤-2或a ≥0 ③时，C 不是空集。求

得不等式①②③解集的交集是空集，知a 的取值范围为Φ。

剖析：题中“A 、B 、C 中至少有一个不是空集”的意义是“A 不是空集或B 不是空集

3a ∈(-∞, -] [-1, +∞) 2或C 不是空集”，故应求不等式①②③解集的并集，得。

五、忽视补集的含义致错。

例5. 已知全集I =R ，集合M ={x |x -x

是（ ）

A. 2N ={x |1≤1}x ，则下列关系正确的M ⊂≠C I N

⊃B. M ≠C I N D. C I M N =R C. M =C I N

错解：N ={x |11≤1}C I N ={x |>1}x x 的补集为，故选C 。

剖析：本题错误地认为A ={x |f (x ) ≤0}的补集为C I A ={x |f (x ) >0}。事实上对于全集I =R ，由补集的定义有A C I A =R ，但{x |f (x ) ≤0} {x |f (x ) >0}={x |使f (x ) 有意义，x ∈R }，即为f (x ) 的定义域。所以只有当f (x ) 的定义域为R 时才有A ={x |f (x ) ≤0}的补集为C I A ={x |f (x ) >0}，否则先求A ，再求C I A 。 正解：N ={x |1x -1≤1}={x |≥0}={x |x

感悟与提高

1k 1A ={x |x =k +, k ∈Z },B ={y |y =-, k ∈Z }424 1. 设集合，则它们之间的关系是（ ）

A. A=B B. A≠B ⊃ C. A≠B ⊂D. A ⊆B

22 2. 已知集合A ={m |关于x 的不等式x +2(m -1) x +m -3

x ∈A ，则y 的取值范围是__________。

111x =(4k +1), 由集合B 得y =(2k -1) 44答案提示：1. 由集合A 得。B 是由奇数的4组

1⊂成，A 是由比4的整数倍大1的数的4组成的，所以A ≠B ，选C 。

224(m -1) -4(m -3) >0⇒m