两道与正方形相关的证明题
11-09
★已知正方形ABCD，BE∥AC，且CE=AC，EC的延长线交BA的延长线于F， 求证：AE＝AF F解答：连结BD交AC于点O，过点C作CG⊥BE于G，
∵正方形ABCD，
∴OA=OC=OB=OD，∠ACD=45°，AC⊥BD，
又∵CG⊥BE，BE∥AC，
∴CG∥BD，
四边形OCGB是平行四边形，
∵CG⊥BE，
∴平行四边形OCGB是矩形， ∴OB=CG=OA=OC=OD， 在直角三角形CGE中，∠CGE=90°，
OB=CG，OB=OC=OA=11AC=CE 22B
∴∠CEG=30°，
∵BE∥AC，
∴∠ACF=∠CEG=30°，
∵AC=CE，
∴∠CAE=∠CEA=E1∠ACF=15°， 2
∵∠ACD=45°，∠ACF=30°，
∴∠FCD=∠ACD-∠ACF=15°，
∵正方形ABCD，则AB∥CD，
∴∠F=∠FCD=15°，
∵∠CEA=15°，
∴∠F=∠CEA=15°，
∴AF=AE，
★E、F分别是正方形
ABCD
的边CD和AD的中点，连接FC、BE相交于点P。求证：AP=AB.
证明：∵CE=DF，∠BCD=∠D=90°，BC=CD，∴△BCE≌△CDF，∴∠EBC=∠FCD，又∵∠FCD+∠FCB=90°，∴∠EBC+∠FCB=90°，∴BE⊥CF。
延长BA，CF，交于Q，由于AF=FD，∠QFA=CFD，∠QAF=∠D=90°，∴△QAF≌△CDF，
1∴QA=CD=AB，∴A是QB的中点，∴AP=QB即AP=AB 2