全等三角形(知识点讲解)经典例题含答案

全等三角形

一、目标认知学习目标：素；

2．探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。 重点：

1. 使学生理解证明的基本过程 ，掌握用综合法证明的格式； 2 .三角形全等的性质和条件。 难点：

1. 掌握用综合法证明的格式；

2 .选用合适的条件证明两个三角形全等

经典例题透析

1．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元

类型一：全等三角形性质的应用

1、如图，△ABD ≌△ACE ，AB =AC ，写出图中的对应边和对应角.

按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.

思路点拨: AB =AC ，AB 和AC 是对应边，∠A 是公共角，∠A 和∠A 是对应角， 解析：AB 和AC 是对应边，AD 和AE 、BD 和CE 是对应边，∠A 和∠A 是对应角，∠B 和∠C ，∠AEC 和∠ADB 是对应角.

总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边. 已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.

举一反三：

【变式1】如图，△ABC ≌△DBE . 问线段AE 和CD 相等吗？为什么？

【答案】证明：由△ABC ≌△DBE ，得AB=DB,BC=BE， 则AB-BE=DB-BC，即AE=CD。 【变式2】如右图， 求证：AE ∥CF 【答案】

∴AE ∥CF

，

。

2、如图，已知ΔABC ≌ΔDEF ，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE

的度数与EC 的长。

思路点拨: 由全等三角形性质可知：∠DFE=∠ACB ，EC+CF=BF+FC，所以只需求∠ACB 的度数与BF 的长即可。 解析：在ΔABC 中，

∠ACB=180°-∠A-∠B ， 又∠A=30°，∠B=50°， 所以∠ACB=100°. 又因为ΔABC ≌ΔDEF ， 所以∠ACB=∠DFE ，

BC=EF（全等三角形对应角相等，对应边相等）。

所以∠DFE=100° EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。

总结升华：全等三角形的对应角相等，对应边相等。 举一反三：

【变式1】如图所示，ΔACD ≌ΔECD ，ΔCEF ≌ΔBEF

，

∠ACB=90°.

求证：（1）CD ⊥AB ；（2）EF ∥AC. 【答案】

(1）因为ΔACD ≌ΔECD ，

所以∠ADC=∠EDC （全等三角形的对应角相等）. 因为∠ADC+∠EDC=180°，所以∠ADC=∠EDC=90°.

所以CD ⊥AB. (2）因为ΔCEF ≌ΔBEF,

所以∠CFE=∠BFE （全等三角形的对应角相等）.

因为∠CFE+∠BFE=180°， 所以∠CFE=∠BFE=90°.

因为∠ACB=90°, 所以∠ACB=∠BFE. 所以EF ∥AC. 类型二：全等三角形的证明

3、如图，AC ＝BD ，DF ＝CE ，∠ECB ＝∠FDA ，求证：△ADF ≌△BCE ．

思路点拨: 欲证△ADF ≌△BCE ，由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过AC ＝BD 而得 解析：∵AC ＝BD(已知)

∴AB-BD ＝AB-AC(等式性质) 即 AD＝BC 在△ADF 与△BCE 中

∴△ADF ≌△BCE(SAS)

总结升华：利用全等三角形证明线段(角) 相等的一般方法和步骤如下： (1)找到以待证角(线段) 为内角(边) 的两个三角形， (2)证明这两个三角形全等；

(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段) 相等． 举一反三：

【变式1】如图，已知AB ∥DC ，AB ＝DC ，求证：AD ∥BC 【答案】∵AB ∥

CD

∴∠3＝∠4 在△ABD 和△CDB 中

∴△ABD ≌△CDB(SAS)

∴∠1＝∠2(全等三角形对应角相等) ∴AD ∥BC(内错角相等两直线平行)

【变式2】如图，已知EB ⊥AD 于B ，FC ⊥AD 于C ，且EB ＝FC ，AB ＝CD ． 求证 AF＝DE ． 【答案】∵EB ⊥AD(已知)

∴∠EBD ＝90°(垂直定义) 同理可证∠FCA ＝90° ∴∠EBD ＝∠FCA ∵AB ＝CD ，BC ＝BC ∴AC ＝AB+BC ＝BC+CD ＝BD

在△ACF 和△DBE 中

∴△ACF ≌△DBE(S．A ．S) ∴AF ＝DE(全等三角形对应边相等) 类型三：综合应用

4、如图，AD 为ΔABC 的中线。求证：

AB+AC>2AD.

思路点拨: 要证AB+AC>2AD，由图想到：AB+BD>AD，AC+CD>AD，所以AB+AC+BC>2AD，所以不能直接证出。由2AD 想到构造一条线段等于2AD ，即倍长中线。

解析：延长AD 至E ，使DE=AD，连接BE 因为AD 为ΔABC 的中线， 所以BD=CD.

在ΔACD 和ΔEBD 中，

所以ΔACD ≌ΔEBD(SAS). 所以BE=CA.

在ΔABE 中，AB+BE>AE，所以AB+AC>2AD.

总结升华：通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。 举一反三：

【变式1】已知：如图，在Rt ΔABC 中，AB=AC,∠BAC=90°, ∠1=∠2，CE ⊥BD 的延长线于E ，

求证：BD=2CE.

【答案】分别延长CE 、BA 交于F. 因为BE ⊥CF, 所以∠BEF=∠BEC=90°.

在ΔBEF 和ΔBEC 中，

所以ΔBEF ≌ΔBEC(ASA). 所以CE=FE=

CF.

又因为∠BAC=90°,BE ⊥CF.

所以∠BAC=∠CAF=90°，∠1+∠BDA=90°，∠1+∠BFC=90°. 所以∠BDA=∠BFC. 在ΔABD 和ΔACF 中，

所以ΔABD ≌ΔACF(AAS) 所以BD=CF.所以BD=2CE.

5、如图，AB ＝CD ，BE ＝DF ，∠B ＝∠D ，

求证：(1)AE＝CF ，(2)AE∥CF ，(3)∠AFE ＝∠CEF

思路点拨: (1)直接通过△ABE ≌△CDF 而得，(2)先证明∠AEB ＝∠CFD ，

(3)

由(1)(2)可证明△AEF ≌△CFE 而得，总之，欲证两边(角) 相等，找这两边(角) 所在的两个三角形然后证明它们全等． 解析：

(1)在△ABE 与△CDF 中

∴△ABE ≌△CDF(SAS)

∴AE ＝CF(全等三角形对应边相等) (2)∵∠AEB ＝∠CFD(全等三角形对应角相等) ∴AE ∥CF(内错角相等，两直线平行) (3)在△AEF 与△CFE 中

∴△AEF ≌△CFE(SAS)

∴∠AFE ＝∠CEF(全等三角形对应角相等)

总结升华：在复杂问题中，常将已知全等三角形的对应角(边) 作为判定另一对三角形全等的条件． 举一反三：

【变式1】如图，在△ABC 中，延长AC 边上的中线BD 到F ，使DF ＝BD ，延长AB 边上的中线CE 到G ，使EG ＝CE ，求证 AF＝AG ．

【答案】在△AGE 与△BCE 中

∴△AGE ≌△BCE(SAS)

∴AG ＝BC(全等三角形对应边相等)

在△AFD 与△CBD 中

∴△AFD ≌△CBD(SAS)

∴AF ＝CB(全等三角形对应边相等) ∴AF ＝AG(等量代换)

6、如图 AB＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 、CE 相交于F ．

求证：AF 平分∠BAC ．

思路点拨: 若能证得得AD=AE，由于∠ADB 、∠AEC 都是直角，可证得Rt △ADF ≌Rt △AEF ，而要证AD=AE，就应先考虑Rt △ABD 与Rt △AEC ，由题意已知AB=AC，∠BAC 是公共角，可证得Rt △ABD ≌Rt △ACE ． 解析：在Rt △ABD 与Rt △ACE 中

∴Rt △ABD ≌Rt △ACE(AAS) ∴AD=AE(全等三角形对应边相等) 在Rt △ADF 与Rt △AEF 中

∴Rt △ADF ≌Rt △AEF(HL)

∴∠DAF=∠EAF(全等三角形对应角相等) ∴AF 平分∠BAC(角平分线的定义)

总结升华：条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。

举一反三：

【变式1】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等． 【答案】根据题意，画出图形，写出已知，求证．

已知：如图，在△ABC 与△A ′B ′C ′中．AB=A′B ′，BC=B′C ′，AD ⊥BC 于D ，A ′D ′⊥B ′C ′于 D′且 AD=A′D ′ 求证：△ABC ≌△A ′B ′C ′

证明：在Rt △ABD 与Rt △A ′B ′D ′中

(HL)

∴Rt △ABD ≌ Rt△A ′B ′D ′ ∴∠B=∠B ′(全等三角形对应角相等)

在△ABC 与△A ′B ′C ′中

∴△ABC ≌△A ′B ′C ′(SAS)

【变式2】已知，如图，AC 、BD 相交于O ，AC=BD，∠C ＝∠D ＝90° 求证：OC=OD

【答案】∵∠C=∠D=90°

∴△ABD 、△ACB 为直角三角形 在Rt △ABD 和Rt △ABC 中

∴AD=BC

在△AOD 和△BOC 中

∴Rt △ABD ≌Rt △ABC(HL)

∴△AOD ≌△

BOC(AAS)

∴OD=OC．

7、⊿ABC 中，AB=AC，D 是底边BC 上任意一点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，CG

⊥AB 垂足分别是E 、F 、G..

试判断：猜测线段 DE、DF 、CG 的数量有何关系？并证明你的猜想。

思路点拨:寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径 解析：结论：DE+DF=CG

方法一：（截长法）板书此种方法（3分钟） 作DM ⊥CG 于M

∵DE ⊥AB ，CG ⊥AB ，DM ⊥CG ∴四边形EDMG 是矩形 DE=GM DM//AB ∴∠MDC=∠B ∵AB=AC ∴∠B=∠FCD ∴∠MDC=∠FCD 而DM ⊥CG ，DF ⊥AC ∴∠DMC=∠CFD 在⊿MDC 和⊿FCD 中

MC=DF

∴⊿MDC ≌⊿FCD （AAS ） ∴DE+DF=GM+MC=CG 总结升华：

方法二（补短法）作CM ⊥ED 交ED 的延长线于M （证明过程略）

方法三（面积法）使用等积转化

总结：截长补短的一般思路，并由此可以引申到截长法有两种截长的想法

引申：如果将条件“D 是底边BC 上任意一点”改为“D 是底边BC 的延长线上任意一点”，此时图形如何？DE 、DF 和CG 会有怎样的关系？画出图形，写出你的猜想并加以证明 举一反三：

【变式1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。 【答案】证明的过程使用三种证明方法，包括：（1）截长法（2）补短法（3）面积法