轻质材料与结构的一体化设计

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轻质材料与结构的一体化设计

孙士平$张卫红$戴高明$王凤稳

! 西北工业大学现代设计与集成制造技术教育部重点实验室$陕西西安! " " :) ) " !

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摘! 要%针对多孔材料微结构构型的可设计性$基于材料多尺度均匀化计算理论$提出以宏观结构最大刚度为目标$材料微结构构型为变量的材料与结构一体化设计新方法$实现了材料宏观布局设计与材料微结构精细设计的统一&采用凸规划对偶优化求解技术与二次型周长约束格式相结合的途径$实现了快速求解与材料分布棋盘格效应的控制&数值计算结果表明$在材料用量一定的情况下$本方法能有效地实现蜂窝结构及夹层结构的拓扑优化设计$为满足极端环境下航空航天结构的设计需求提供了新的设计思想&关键词%多孔材料’拓扑优化’复合材料’微结构’材料设计中图分类号%$! :8’$! +" ’$! +

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减轻结构重量#提高!! 在航空航天结构设计中$

有效载荷#满足独特的服役环境是设计者追求的永恒理念&多孔材料作为一种特殊的功能复合材料蜂窝结构$由于其可设计性以及优异的抗冲击#吸能#散热#隔音等综合性能$在飞行器设计中受到了普遍的关注与青睐&而这些实现优异特性的根本在于如何根据宏观结构形式与工作载荷的分布$合理设计多孔材料微结构构型和材料组分参

:) 数(&近年来$计算材料学的飞速发展为各向异

因此$它是目前材料微结构分析与设计的基础&

($)

4? I T A S 等人#8提出的基于特定性能的材料逆B

向设计技术$采用均匀化方法实现了负泊松比#多

相复合材料零膨胀系数等极端热机械特性的材料

() 微结构剪裁优化设计&近来L 6&? S ? A S ? +等人提出的*微结构灵敏设计工程+概念将材料设计的内

涵提高到一个新的高度&

另一方面$结构优化设计也从! ) 世纪*) 年代开始的尺寸优化$经过形状优化阶段发展到目

() 前的拓扑优化设计$$L =G A S R %G ? ]T U >? *为此做

性材料的性能表征提供了有效的途径$建立了基于材料体胞的细观力学模型与多尺度计算方法&

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其中均匀化方法(是基于小参数渐进展开近似的

出了奠基性工作&工程实践表明$采用单元伪密度变量惩罚函数! 435V $4%&? S3R %P O %? U 5? U O %9@模型$能够很好地完R P O T U P T O GK ? P >VG A 6&? Z 6P ? %A "

成材料布局优化设计&然而$这些代表性工作并没有达到材料设计与结构设计的有机融合以及实现材料与结构的最佳匹配和一体化设计&因此$如何最大限度地发挥材料潜力这一问题已成为当

() 前设计领域的研究热点&近期$$. 6]6A %C 6]%"

一种通用双尺度计算方法$在材料微结构体胞呈空间周期分布的假设条件下$能够根据体胞微结构构型以及材料组分大小预测材料的等效性能&

收稿日期! ! ) ) 89:! 9) *" 修订日期! ! ) ) +9) " 9) +

基金项目! 国家自然基金重大项目! ; ) 8) +) :*" 与面上项目

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8! ! 航! 空! 学! 报第! " 卷

研究了在材料微结构拓扑形式给定情况下! 针对减小宏观结构热弯曲变形的微结构形状优化设

#$计" J T ? ? 等人

#分材料弹性张量) ! ! " $6N U S ! 6N U S 分别为体胞内所有组分材料弹性张量算术平均与应力张量的算术平均" 显而易见! 第:项仅取决于材料的组分! 第! 项则反映了微结构构型的影响" 实际计算过程中! 一般采用有限元方法进行体胞的离散! 求得平均应力张量" ’即可" ! :$6N U S 后代入式&

同样! 本工作也采用有限元方法进行宏观结构的力学响应分析" 不失一般性! 假设宏观结构每个单元包含一个体胞微结被离散为’个单元!

结构组成及组分材料用量一定的条件下! 研究了面向宏观结构最大刚度优化的微结构设计" 0%9假设材料微结S O ? T G R 等人; 在研究同类问题时! B

构数目与结构有限单元数目相同! 使设计变量总

*

个! 对计算资源提出了严峻的数高达#’! ‘:)

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挑战"

本工作提出了宏观布局优化与微结构拓扑优化相结合的材料与结构一体化设计新方法" 宏观布局优化在于获得材料的宏观分布! 而微结构拓扑优化着重于局部材料的微结构构型设计" 以平面悬臂梁问题为例! 采用均匀化方法%凸规划对偶求解与周长控制约束相结合进行优化计算! 结果表明本方法能够有效地完成轻质蜂窝结构的优化设计"

! 优化设计问题描述

图:所示为给定边界条件和载荷条件下的一多孔固体结构! 为了达到结构宏观性能最优与轻质化要求! 结构的不同部位使用由材料与空洞构

图:! 结构各部位材料构成示意图

J ? B

’:! ,P K %9S ? I G A R ? %A 6&R P O T U P T O G K ? P >6&P G O A 6P ? W G I ? U O %9R P O T U P T O G R

成的不同微结构形式以充分发挥材料的潜力" 均匀化方法为宏观尺度&! ’下材料有效性能与材料尺度&" ’下微结构关系建立了严格的数学描述" 针对材料体胞微结构! 在周期性位移边界条件下! 其有效性能! 如材料有效弹性张量的定量计算表达式为

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@! U S 为第U S 工况下的弹性位移场) ! 6N U S 为组构! 而每个微结构在尺度" 下又划分为(个单元! 如图! 所示" 按照拓扑优化设计概念! 假设&为尺度" 下’‘(个体胞有限单元的伪密度变量

图! ! 结构与材料有限元离散示意图J ? B

’! ! H ? R U O G P ? Z 6P ? %A%Q R P O T U P T O G 6A SI 6P G O ? 6&向量! 如果以宏观结构最大刚度为设计目标函数! 材料微结构的伪密度为设计变量! 则对应的两尺度关联优化模型为

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! +#:! ’! , #:! (式中() 为结构的柔顺度) $为结构所受外力矢

量) %为结构的位移矢量) *+为第+个宏观单元所

包含的固体材料体积) #*为给定的固体材料用量总体积" " +为对应第+个宏观单元包含的体胞有限单元伪密度变量向量) &+! , 为第+个宏观单元所包含的第, 个体胞有限单元的伪密度变量" 由于

问题的高度非线性! 尤其是庞大的设计变量数目! 直接求解本问题异常困难"

! 材料与结构一体化设计方法

为有效解决以上问题! 通过引入宏观尺度&! ’

下有限单元伪密度中间设计变量向量&! 将原问题的求解分解为材料宏观布局优化与材料微结构拓扑优化两个步骤"

:!

! 第#期孙士平等! 轻质材料与结构的一体化设计!

8:

+

:; 宏观布局优化

首先将宏观结构作为均质致密性材料考虑" 对应的有限元方程为

#$#’#&$%#&$#$

其中单元刚度矩阵与设计变量的关系近似为

量的可分离性" 本问题可以分解为’个子问题进行独立并行求解" 也可以根据设计需求" 将具有同样组分值-+对应的材料微结构单元合并为子区域进行优化%因此" 第+个子问题模型为

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’-’" ’为当单元+的伪密度-:时的刚+a +a

度矩阵%优化模型为

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! +#:" ’+" ) 为单元+在伪密度-+a :时的体积%对于二维平面结构" 该问题与尺寸优化求解完全相同" 变量-+可以作为单元初始厚度的比例因子%目标函数灵敏度可以方便求得

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即宏观结构柔顺性的灵敏度为对应单元柔顺性的比例计算" 且总为负值%; :! 材料微结构拓扑优化

在完成宏观布局优化设计后" 对任意单元+" 所获得的变量结果有#种情况" 若-+a ) 或:" 则单元+为完全空洞或实心材料"

无须进行材料微结构构型优化&若) ’-+’:" 则需要求解" +" 继续进行该单元材料微结构构型优化&对于整个宏观结构" 优化模型为

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式中! 宏观位移矢量%为不变量&. $$#

" +$为二次型周长约束" 用于消除微结构构型的棋盘格效

应(:) ) &. +" , " ) 为对应体胞+内第, 个单元伪密度+" :时的体积&) b 8

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" a:为一极小正数以避免单元刚度矩阵出现奇异&10为体胞内两相邻有限

单元的公共边边长. $为周长约束上限%由于变

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$式中目标函数的灵敏度根据链式求导规则结合式#+

$计算" 问题的求解则采用凸近似与对偶优化算法(

:)

) %将优化后的体胞微结构伪密度变量值代入式#:$与式##$计算相应的有效弹性张量与结构位移场响应" 然后再将新的宏观位移场代入所有子问题式#" $计算新的微结构构型%以此类推" 直至收敛为止%

#! 算例分析

以悬臂梁#平面应力$宏观结构为例" 在相同材料用量的情况下" 为了开展比较研究" 按下面#种方式来优化结构! #6$结构拓扑优化&#N $材料与结构一体化优化&#U $基于单一微结构构成材料的材料优化%

宏观结构尺寸为! 长3a#!U I " 宽+3*

a ) ’#" 材料用量" 即相对初始结构体积6a *) c %承受剪力7a :) )(*U I 和弯矩8a :***’"(+U I 共同作用%如图#所示" 微结构取单位正方形大小" 分别划分为! ) ‘! ) , :

图#! 结构示意图

J ? B ’#! H G R ? B AS %I 6? A6A S &%6S ? A B

=; 基于均质材料的结构拓扑优化

假设结构为均质致密材料" 不考虑微结构设计" 并以宏观单元的单元伪密度-+为变量"

采用*:4R &

8:*! ! 航! 空! 学! 报第! " 卷

和周长约束#对宏观结构进行435V 方法! 9a 8" 拓扑优化#材料布局结果见图8$图中黑色部分" #白色部分表示无材料表示有材料分布! -+a:! " #柔顺度为) a :-) *8" 8+$+a

图8! 宏观结构拓扑优化结果! ) a :*8" 8+" J ? B ’8! 1@P ? I ? Z G S P %@%&%B 7K ? P >435V ! G \@

%A G A P ? R 8" =; :! 结构与材料的一体化优化

! :

" 结构宏观布局优化! 假设结构沿纵向为多层结构#每层具有相同的材料组分#结构在宏观上划分为#! ‘! ) 个有限单元#则对应有! ) 个设计变量-+#

+a :#%#! ) #优化结构如图+所示&图+! 结构宏观布局

J ? B ’+! 56U O %9I 6P G O ? 6&&67

%T PK ? P >435V ! :a :" 从图+可见材料呈梯度分布#各层组分-+分别为:’) ) #) ’

" 材料微结构拓扑优化! 根据结构宏观布局优化结果#假设组分相同的层的单元拥有相同的微结构构型#可得宏观结构和材料微结构构型的优化结果以及最终柔顺度) 值!

见图*#图" " $图*! 材料与结构一体化优化结果! ) a :

" J ? B ’*! . %@%&%B 7N 6R G S ? A P G B O 6P G SS G R ? B

A 图" ! 不同组分材料微结构优化构型! 网格:

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" 可以看出#第:种微结构! -a) ’

为主#这完全符合结构的受力承载要求$; =! 基于单一微结构构成材料的材料优化

考虑宏观结构不优化#而仅对材料微结构优化的情况#此时材料与结构的一体化设计蜕化为材料微结构设计$如果整个材料由单一微结构构成且材料体分比为-+a ) ’*#优化的结果如图

图 材料优化构型! ) a !

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! 第#期孙士平等! 轻质材料与结构的一体化设计!

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P ? I 6&I? U O %R P O T U P T O G " I G R >! ! ) ‘! ) #!! 材料微结构的等效胡克矩阵与工程常数分

别为

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#!! 以上结果表明!

由材料与结构一体化设计得到的结构刚度" 柔顺度) a :

的

! 结! 论

采用宏观布局设计与微结构精细设计相结合的两步走方法$开展了材料与结构的一体化设计新方法研究%通过二维算例分析$验证了方法的有效性$为进一步深化该方向的研究奠定了基础$对发展航空航天新型轻质功能结构设计技术具有重要参考意义%

参! 考! 文! 献

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作者简介!

孙士平" :; " ! b #! 男$西北工业大学机电学院博士研究生$主要从事结构&材料的拓扑优化研究%

张卫红" :; *8b #! 男$比利时列日大学博士$国家第二批*长江计划+特聘教授$西北工业大学博士生导师$主要从事结构优化设计与加工仿真研究%

戴高明" :;

王凤稳" :;

西北工业大学机电学院硕士研究生$主要从事结构&材料的拓扑优化研究%

" 责任编辑! 李铁柏#

轻质材料与结构的一体化设计

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

孙士平， 张卫红， 戴高明， 王凤稳， SUN Shi-ping， ZHANG Wei-hong， DAI Gao-ming ， WANG Feng-wen

西北工业大学,现代设计与集成制造技术教育部重点实验室,陕西,西安,710072航空学报

ACTA AERONAUTICA ET ASTRONAUTICA SINICA2006，27(3)2次

参考文献(10条)

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相似文献(10条)

1.学位论文 孙士平 材料和结构的拓扑优化关键理论与方法研究 2006

拓扑优化比尺寸或形状优化具有更显著的节省材料和改进结构性能的技术优势，经过近二十年的快速发展，拓扑优化的研究应用已扩展到许多领域。拓扑优化本质上具有同时优化材料和结构的能力，这为对结构重量、性能敏感的航空航天、汽车等工业领域提供了大幅提升结构性能、挖掘材料潜力的技术基础。结构宏观材料布局和材料细观微结构设计分别处在宏观、细观两个空间尺度，但具有相同的优化实质。目前，材料微结构设计与宏观结构拓扑优化处于分离状况，没有充分发挥材料性能和拓扑优化的技术潜力。因此，以拓扑优化技术为依托，开展材料/结构一体化设计新理念与相关技术的研究，设计具有多功能的材料/结构系统，消除材料、结构界限，已成为当前结构优化的发展方向。本文以此为背景开展关键基础理论与方法的研究，主要成果如下：

回顾了现有解决拓扑优化中数值计算不稳定问题的几种方法，提出适用于非规则网格的广义周长控制方法。该方法以单元间几何距离为计算参数，建立连续二次型广义周长计算表达式，方便近似处理和优化计算，消除了优化结果的棋盘格和中间密度值。根据三相材料拓扑优化中周长的多样性和特殊性，拓展周长定义，提出四种周长控制新方法，其中针对不同类别设计变量分别进行独立周长约束的方法具有最佳控制效能，能获得清晰的材料分布优化结果。大量由两相、三相材料组成的2D和3D结构的拓扑优化算例验证了方法的有效性，为材料和结构的拓扑优化设计奠定了基础。

以均匀化方法为基础，结合有限元数值计算开发实现了材料微结构的等效性能求解和灵敏度计算软件。以此为基础，综合考虑微结构等效性能，建立了多相材料微结构多目标优化模型；利用周长控制方法，开展了两相、三相材料微结构多目标优化设计，获得清晰的微结构构型。从优化模型和实现算法上分析比较了分别以极端性能和给定性能为目标的微结构设计问题，并结合单一体积约束下具有特定性能微结构的优化模型开展了具有特定泊松比的微结构反设计，获得了满足要求的微结构构型，为开展材料/结构的一体化设计铺平了道路。

以自然界多孔材料结构的组织结构特征为指导思想，建立了具有分层梯度变化的材料/结构模型，提出了材料/结构一体化设计方法。采用分步计算策略完成了材料/结构的一体化设计。首先进行结构宏观优化确定材料分布，其次进行细观微结构的精细设计获得了呈梯度分布的多孔材料结构，实现了对结构性能的显著改进。结合材料/结构一体化设计思想，比较了不同长宽比微结构体胞对优化结果的影响，验证了基于均匀化理论的优化设计方法不具备揭示尺度效应的能力。另外，对三相材料构成的材料/结构的一体化优化进一步验证了所建立的模型和方法的有效性。提出尺度关联的材料/结构一体化设计方法。结合分层梯度的材料/结构设计模型，利用超单元方法和变量关联技术，采用分步计算方法对包含不同表征体胞数的材料/结构进行优化设计，优化结果展现了明显的尺度效应，并显示出设计域包含表征体胞的数目、表征体胞的长宽比例对优化结果的影响。发现随着设计域包含表征体胞数的增加，优化结构性能逐渐趋同于基于均匀化方法的优化结果。对圆环对称结构、圆柱夹芯结构，以及三相材料所构成的材料/结构的优化计算，进一步展现了尺度对优化结果的影响。

研究讨论了弱耦合热弹性结构的拓扑优化设计。基于弱耦合热弹性结构有限元分析计算过程，将弱耦合热弹性结构拓扑优化分解为三类优化子问题，并对子问题分别进行了研究。基于结构散热性能的优化问题比较了不同热载荷形式、不同材料模型时的优化结果，阐述了均布热流载荷下的优化模型对优化结果的影响。非耦合的多目标优化包括宏观结构拓扑优化和周期性材料/结构优化两个方面，通过变化加权因子和边界条件得到不同的优化结果，结果显示了明显的尺度效应。对已知温度场的热力耦合结构的拓扑优化，以桁架结构为例，分析了热、机械载荷的相对大小、材料惩罚模型的不同惩罚因子对优化结果的影响，提出采用不同惩罚模型应对不同类别载荷的处理思想，获得了收敛于0-1的优化解，实现了热力耦合热弹性结构的拓扑优化设计。

2.学位论文 汪雷 材料与结构的传热性能优化设计 2006

本文结合航空、航天技术的发展，以均匀化理论和拓扑优化设计技术为基础，对航空、航天器中经常采用的具有抗冲击、吸能、散热、隔音等优异功能的轻质多孔复合材料进行研究，提出了基于热传导性能的多孔材料与结构的拓扑优化设计方法。

多孔材料或复合材料也可以看作一种结构，具有可设计性。为了材料微结构设计工作做准备，本文首先以均匀化方法研究了复合材料等效导热系数的预测问题。均匀化方法是一种严格的数学理论，它以连续介质理论为基础，假设宏观结构由周期性微结构元在空间中重复堆积而成，宏观结构的性能参数是微结构性能的平均值。本文通过计算结果比较，分析了复合材料体分比、纤维截面形状、纤维与基体的相对导热系数对复合材料整体导热性能的影响。

近年来，随着计算机性能的大幅提高，有限元方法的广泛应用，借助于有限元分析的结构拓扑优化广泛应用于航空、汽车等工程实际中。本文以宏观结构的散热弱度为目标函数，采用实体各向同性惩罚函数法(SIMP)，建立了拓扑优化设计模型和算法，将拓扑优化方法成功应用到热传导结构的优化设计中，开辟了热传导结构优化设计的一种新思想和方法。

在以上研究基础上，本文提出了基于稳态导热性能的复合材料微结构构型设计方法。定义设计区域内微结构每个单元的导热系数为伪密度设计变量，约束材料用量，分别以材料微结构某个方向导热性能最好为目标和宏观结构的散热性能最佳为目标，构造单胞结构拓扑优化数学模型，导出材料等效导热系数的灵敏度计算公式；采用凸规划对偶求解与周长控制约束相结合进行拓扑优化，获得了优化的微结构构型。

均匀化方法的计算格式使用小参数渐进展开近似，等效参数预测结果属于极限值而无法反映表征体胞真实尺度的影响。事实上，多孔材料物性参数测试结果与均匀化计算结果均存在一定差异，这种差异就是材料的尺度效应。目前，基于均匀化方法的材料微结构拓扑优化设计无法体现材料尺度对宏观结构传热性能优化结果的影响。为此，本文提出一种以结构散热性最佳为目标函数，材料表征体胞拓扑构型为变量的材料/结构尺度关联设计新方法。通过表征体胞的有限超单元建模技术，表征体胞个数和尺寸的改变，揭示了材料尺度效应的影响、材料构型设计与结构导热设计的统一性以及尺度关联设计结果与采用传统小参数渐进展开均匀化方法计算结果的差异。

3.期刊论文 任善. 李书. REN Shan. LI Shu 多孔材料微结构拓扑优化设计 -安阳工学院学报2008,""(2)

提出多孔材料平面微结构拓扑优化模型,在给定材料体积含量的情况下,分别以材料的体积模量和剪切模量作为目标函数,对微结构进行拓扑优化设计.等效材料常数通过数值均匀化方法计算得到.采用移动渐近线法求解该优化问题,利用敏度过滤去除拓扑优化中存在的数值不稳定性问题.数值算例验证了拓扑优化模型和算法的有效性.并分析了材料体积含量以及有限元网格粗细对优化结果的影响.

4.学位论文 阎军 超轻金属结构与材料性能多尺度分析与协同优化设计 2007

结构物的轻量化设计对于降低产品生产和使用成本、减少长期服役能耗、提高产品性能都具有重要的意义，随着当代能源与资源的短缺及竞争的加剧，轻量化设计受到各方的关注。而随着制备工艺的成熟，超轻金属多孔材料(点阵类桁架材料、线性金属蜂窝材料、泡沫金属)越来越多的应用于工程实践，其卓越的比刚度、比强度及多孔连通性使其成为新一代轻质多功能的结构功能材料。

本论文围绕微结构具有周期性排布特点的超轻金属多孔材料，针对结构与材料性能分析方法与协同优化设计两方面展开了一系列的研究工作。具体内容如下：

1．描述并实现了适用于类桁架点阵材料等效性能预测的均匀化方法及列式；研究了基于Dirichlet型、Neumann 型及周期性边界条件下的代表体元法预测类桁架点阵材料等效弹性模量方法；对代表体元法所预测的弹性性能随参与计算的单胞个数n变化而变化的尺寸效应进行了研究，指出Neumman 边界条件下的单胞边界变形协调性或者Dilichlet 边界条件下的边界节点力的平衡性，是产生上述尺寸效应的本质原因，也可以作为判断是否产生尺寸效应的简单判据。开展了基于均匀化理论的2D桁架材料极值剪切性能的形状优化研究，并对其中出现的奇异现象进行了分析。

2．利用数值模拟，定量地对比了将LCAs(一种重要的类桁架点阵材料)材料等效为经典的柯西介质与微极连续体等效介质的计算精度，发现由柯西介质模型计算得到的位移和应力都存在较大的误差，具有非局部本构的微极连续体等效模型是较为合理的选择。基于能量法等效分析的结果提出了一种映射计算单胞构件微观应力的快速算法。

将具有正方形单胞的LCAs材料等效为微极连续介质，运用拓扑优化思想，以反映材料宏观特性的材料相对密度p和微观特性的微单胞孔径L为设计变量，进行结构应力优化。并对经典的小孔应力集中算例，分别以最小化孔边应力、结构最大应力最小、最小化孔边应力与材料屈服强度比值为目标，给出了结构与材料一体化协同设计结果，同时探讨了材料铺角对优化结果的影响：最后根据连续体等效介质模型优化的结果，建立了细致的刚架模型，通过离散建模计算验证了本文方法的有效性。

3．针对可以通过基本设计模块周期性拼装而成的结构，研究了此类结构和模块协同优化设计的方法和模型，同时考察了基本设计模块的绝对尺寸对优化结果的影响。通过在结构和设计模块两个层次上分别引入独立的密度变量，实现了基于最优设计模块拼装的宏微观协同优化设计，采用拓扑优化技术和子结构分析方法，探讨了此种情况下最优的设计模块构形以及这种模块在结构尺度上的最优分布。

4．基于可制造性考虑，研究了由宏观上均匀的多孔材料制成的结构与材料协同优化设计问题。待设计的结构受到给定的外力和温度载荷作用，优化设计旨在给定允许使用的材料体积约束下，设计宏观结构的拓扑及多孔材料的微结构，使得结构柔度最小。建立了一种宏观结构与微观单胞构型协同优化设计的模型和方法，在此方法中，我们引入宏观密度和微观密度两类设计变量，在微观层次上采用带惩罚的实心各向同性材料法(SIMP：Solid Isotropic Material with Penalty)，在宏观层次上采用带惩罚的多孔各向异性材料法 (PAMP：Porous Anisotropic Materialwith penalty)，借助均匀化方法建立两个层次间的联系，通过优化方法自动确定实体材料在结构与材料两个层次上的分配，得到优化设计。讨论了温度变化、材料体积及计算参数对优化结果的影响。研究结果表明只有机械载荷作用时，基于柔顺性指标的最优微单胞构形往往是各向同性的实体材料；而同时考虑热和机械载荷时，采用多孔材料可以降低结构柔顺性。

5．针对工程中常见的旋转对称结构，将它划分为有限个基本设计模块，而在设计模块内应用基于均匀化方法的结构与材料协同设计优化设计策略，对同时作用有集中力与离心力的旋转对称结构，给出了最优的模块构型以及构成这种模块的材料的最优微结构形式。研究了给定材料用量、不同载荷组合以及非可设计域对协同优化结果的影响，发现当同时作用有离心力与集中力时，多孔材料可以有效的提高系统刚度。

5.学位论文 张永存 多孔材料传热特性分析与散热结构优化设计 2008

防热是航空航天、能源动力、电气电子等工程中普遍关注的问题。空天飞行器热障问题、高温环境下对温度敏感的仪器设备的热保护问题、电子器件散热问题等均需要有效隔热和积极散热措施。多孔材料(包括最新研发的点阵材料)同时具备轻质、多功能和可设计等特点，在满足其他功能的同时具有良好的防热性能。闭孔多孔材料具有低的传热系数可用于隔热；开孔多孔材料由于具有流动通道，可用于主动散热；可设计特点为轻质防热等多功能设计提供了保证。多孔材料隔热、强化传热等性能分析与研究以及以其为基础的散热结构设计优化，具有重要的理论意义和应用价值。

在这一需求的牵动下，本文主要研究了考虑辐射和对流等影响的多孔材料热传输性能的表征方法，建立了考虑辐射影响的闭孔多孔材料热性能分析的多尺度方法、单向开孔金属材料主动散热性能分析的传递矩阵方法和快速数值方法；研究了最优散热结构构型设计理论，建立了基于拓扑优化技术和仿生的最优散热构型设计的数学物理模型和求解方法。主要内容包括：

(1)考虑辐射的多孔材料传热性能表征的多尺度方法。以闭孔类多孔材料(又称空心材料)高温隔热应用为背景，建立了考虑辐射的传热性能表征的多尺度分析方法。该方法首先利用具有严格数学理论的均匀化方法计算具有周期性分布的空心材料的传热性能，得到了纯导热时的等效传热系数和空心材料较为精确的温度场。在此基础上，计算了空心材料等效辐射传热系数。通过与实验结果的比较验证了方法的有效性，并讨论了孔穴形状与尺寸对空心材料换热性能的影响。

(2)金属蜂窝材料主动散热性能表征的新方法：传递矩阵法和快速数值算法。开孔类超轻多孔盒属材料除具有良好的力学性能外，本身还是优良的传热介质。以金属蜂窝材料强迫对流换热应用为背景，提出了两种分析方法：传递矩阵方法和快速数值算法。传递矩阵方法以金属蜂窝夹层结构为研究对象，避免了现有理论模型中的一些近似，是一个更精确的理论模型。与现有的理论模型相比，所预测的结果处于皱壁模型和等效介质模型预测的结果之间，且更趋近于数值仿真的结果。快速数值算法是在实际工程应用中金属蜂窝填充的复杂结构的换热性能分析以及多功能优化设计需求的推动下，以及有限元法和传递矩阵方法的双重启发下提出来的。该方法继承了传递矩阵方法的计算精度，同时继承了有限元方法的广泛适用性。与有限体积法相比，计算效率提高3到4个数量级。针对两个具体算例，通过与有限体积方法计算结果比较，验证了方法的有效性。

(3)基于拓扑优化的导热通道的几何构型设计方法。针对电子设备中基本科学问题，体-点导热问题，提出了基于拓扑优化的导热通道的几何构型设计方法。利用该方法所获得的设计结果在性能上远大于仿生优化所获得的结果，且能突破现有构造方法的性能设计极限。另外，设计结果与自然界中自然树的结构相似，比利用构造方法所获得的结果在结构上更趋近于自然树。

(4)最优传热结构设计问题的数学模型。针对许多实际电子元器件不能超过额定最高温度值这一要求，从理论角度探讨了实现最高温度最低的优化模型的建立。利用一个平板导热优化问题，首先评估了以热量传势容耗散(又称散热弱度)为优化目标的现有优化模型来实现设计目的的近似程

度，提出了一个基于几何平均温度的散热性能描述指标，并以此为目标函数，建立了一个新的散热结构设计优化模型。通过与现有优化模型和理论最优设计的比较，说明几何平均温度是描述散热性能的良好指标，所建立的优化模型能够有效获得散热结构的最优设计。

(5)基于仿生思想的树状多级通道对流散热结构设计。从实际散热结构设计出发，改进了基于仿生思想获得的树枝状分形通道对流冷却散热结构的设计方法。改进后的设计方法能够满足任意长宽比的生热表面的散热要求，同时提出了一种新的分析方法。研究表明，在各种条件下，最优设计的分形层次均为7，生热表面一定的条件下，最优的长宽比为1.87。这些研究结果能为实际工程设计提供非常有价值的参考。

6.期刊论文 张卫红. 孙士平. Zhang Weihong. Sun Shiping 多孔材料/结构尺度关联的一体化拓扑优化技术 -力学学报2006,38(4)

针对多孔材料的尺度效应和微结构构型的可设计性,提出以宏观结构最大刚度为目标,材料表征体胞构型为变量的材料/结构尺度关联一体化设计新方法.采用有限元超单元技术,验证了材料表征体胞尺度、边长比、平移、对称周期分布方式对构型设计结果的影响,实现了材料宏观布局设计、材料表征体胞构型精细设计以及多尺度均匀化设计的统一.基于凸规划对偶优化求解技术与二次型周长控制约束,完成了快速设计与材料分布棋盘格效应的控制.计算结果表明,在给定材料用量的情况下,该方法能有效地实现蜂窝结构的拓扑优化设计,设计结果充分反映了蜂窝夹层结构的尺度效应,为轻质结构设计提供了新的设计方法.

7.学位论文 冯超恒 基于现有软件的结构拓扑优化设计实现技术与程序系统 2006

与形状优化和尺寸优化相比，拓扑优化具有更大的优化效益，成为优化领域研究的热点。对于不同的问题，拓扑优化具有不同的问题提法，其求解方法各异。因此，研究适用于所求解问题的合适的拓扑优化的求解技术，快速开发出拓扑优化的程序，意义重大。本文在总结分析了结构拓扑优化的理论体系、问题提法和求解方法的基础上，研究了基于现有CAE软件的结构拓扑优化的实现技术以及程序系统。基于Strand7软件实践了所提出的拓扑优化设计技术，并开发了基于Strand7的拓扑优化程序系统。该系统能够实现基于均匀化方法和SIMP方法的结构拓扑优化设计，实现了消除棋盘效应、网格依赖性等数值不稳定性的方法。以该程序系统为平台，研究了散热结构拓扑优化问题的提法、求解方法和程序实现技术。主要研究内容和成果包括：

1.研究CAE软件与优化分析的连接技术，研究了拓扑优化中有限元分析技术，分析了拓扑优化与现有软件的接口技术，比较了各种开发方法的优点与不足，研究了基于Strand7作有限元分析工具的拓扑优化实现技术，通过Strand7API，成功实现了优化求解与Strand7有限元分析的连接，开发出可行的程序系统。

2.实现各种求解算法与数值问题的处理方法将数学规划法中可行方向法，序列线性规划法和序列二次规划法与拓扑优化集成，将针对SIMP方法的优化准则算法，应用于拓扑优化计算过程中，在算法上进行实现。分析拓扑优化计算中常出现的多孔材料、棋盘格、网格依赖性、局部极值等数值计算不稳定现象，程序实现了一种能有效去除棋盘格式和多孔材料的过滤数值算法。

3.实现不同优化目标为了深入拓展连续体结构拓扑优化的应用范围，描述了基于结构应变能，互变能等为目标的拓扑优化模型，并以有限元分析软件Strand7为基础，充分利用其各种分析功能，实现多种载荷边界条件，不同目标类型的拓扑优化。探讨了最佳散热问题的提法和求解方法，计算了各种实际算例，验证了所开发程序的有效性。

本文工作得到国家自然科学基金重点项目(10332010)、创新群体基金项目(10421202)、国家重点基础研究发展计划(973计划)项目(2006CB601205)以及教育部“新世纪优秀人才”资助计划(2004)的资助。

8.期刊论文 阎军. 程耿东. 刘岭. YAN Jun. CHENG Geng-dong. LIU Ling 基于均匀材料微结构模型的热弹性结构与材料并发优化 -计算力学学报2009,26(1)

研究由宏观上均匀多孔材料制成的结构的优化设计问题,待设计的结构受到给定的外力与温度载荷作用,优化设计旨在给定结构允许使用的材料体积约束下,设计宏观结构的拓扑及多孔材料的徼结构,使得结构柔度最小.本文提出了一种宏观结构与微观单胞构型并发优化设计的方法.在此方法中,引入宏观密度和微观密度两类设计变量,在微观层次上采用带惩罚的实心各向同性材料法SIMP(Solid Isotropic Material with Penalty),在宏观层次上采用带惩罚的多孔各向异性材料法PAMP(Porous Anisotropic Material with Pemlty),借助均匀化方法建立两个层次阃的联系,通过优化方法自动确定实体材料在结构与材料两个层次上的分配,得到优化设计;提供的数值算例检验了本文所提方法及计算模型,并讨论了温度变化、材料体积及计算参数对优化结果的影响.研究结果表明同时考虑热和机械载荷时,采用多孔材料可以降低结构柔顺性.

9.学位论文 蔡坤 基于骨重建理论的连续体结构拓扑优化方法 2008

结构优化的目的是使得结构达到给定性能条件下尽可能地降低耗费。在过去的几十年里，结构优化广泛地应用于如建筑、机械、化工、航空航天等工程设计领域。目前，连续体结构拓扑优化是结构优化的热点之一。在产品/结构的早期设计阶段，即概念性设计阶段，拓扑优化已成为产品/结构设计的主要手段。经过近二十年的研究，现已产生多种拓扑优化方法。对于结构复杂、设计变量数目庞大的连续体拓扑优化问题，是一项费时费力的工作。为了降低计算量、缩短产品设计周期，需选取合理的优化算法。本文基于骨重建理论和构造张量理论给出了连续体结构拓扑优化仿生方法，所提出的方法的主要思想是，将待优化的结构看作是遵从Wolff法则重建/生长的骨骼。当骨骼达到重建平衡状态时，结构中材料分布达到了优化点。其中，Wolff法则是指骨骼内部微结构的分布随其外部荷载变化而变化，局部材料的刚度主方向与主应力方向趋于一致。 本文的各章节内容安排如下：

第一章，综述连续体结构拓扑优化的研究概况及骨重建理论。主要包括：结构优化的研究历程、当前连续体结构拓扑优化的主要方法、设计变量更新的手段、仿生优化方法和股骨重建模型等。

第二章，介绍描述非均质材料的构造张量理论。主要内容包括构造张量的测定(平均截取长度法MIL)、三维非均质材料的微结构扫描及其有限元模型的构建和材料宏观弹性本构与构造张量间的关系模型。

第三章，给出连续体结构拓扑优化的固定参考应变区间法。1)在该方法中采用构造张量中的元素作为设计变量，利用构造张量描述材料的微结构及宏观弹性张量；2)在多孔材料的构造张量-弹性张量关系给定条件下，为了得到其相对密度，提出等刚度凝缩法。利用等刚度凝缩法将材料点的相对密度用构造张量的不变量表示；3)建立了优化模型：优化过程中设计变量的更新也称为生长规律，它是指对于设计域内任意一点处构造张量特征主方向(即材料的弹性对称面法向或材料主方向)由当前的应力主方向确定；构造张量特征主值的增量，即材料的生长速度，由对应方向上主应变的绝对值与给定的参考应变区间上、下确界的比较确定。当生长过程中构造张量特征对均需要更新时，该过程称为各向异性生长；当构造张量与单位张量成比例时，该过程称为各向同性生长；4)通过数值算例分析了算法中各参数，如参考区间、生长速度和初始材料分布等对算法收敛性的影响。

第四章，根据固定区间法分析多种不同类型结构优化问题。内容包括：1)二维连续体结构的各向同性与各向异性生长结果比较，给出各向异性生长后结构中构造张量的分布；2)三维连续体结构的各向同性生长；3)板结构的各向同性生长；4)股骨头密度分布预测及其结果与Stanford模型结果的比较。

第五章，提出浮动参考区间法用于解决具有非应变约束的优化问题。1)这些约束包括结构的体积约束、位移约束和/或应力约束；2)浮动区间法与固定区间法的主要区别在于，在生长过程中，结构的参考应变区间不断变化，即当任意一个应变主值的绝对值超过当前参考应变(区间)时，构造张量需更新；3)参考区间的更新由优化问题的主动约束控制；4)针对二维和三维结构中材料点的相对密度差异，分别采用两种方式搜索参考应变(区间)；5)通过数值算例表明所提出的算法具备分析单约束或多约束优化问题的能力。

第六章给出双参考应变区间法分析具有不同拉伸与压缩性能材料的连续体结构拓扑优化问题。材料的拉伸与压缩性能不同是指两个方面，一是指结构中材料仅能抗拉(如索膜结构)或抗压(如砖墙)。另一是指材料的拉伸与压缩弹性性能不同。材料拉伸与压缩性能差异对局部材料分布及结构拓扑均有影响。若采用传统的分析方法，无论在结构分析阶段还是在设计变量更新阶段，计算量都很大。为了降低计算量并分析这种差异对结果的影响，在本文提出的方法中用具有各向同性固的相多孔材料替代了原拉压不同性能的材料、给出两个浮动参考应变区间(拉伸应变区间和压缩应变区间)用于控制多孔材料的更新。其中拉伸参考区间用于确定处于拉伸状态下材料用量在相应方向上的变化；压缩参考区间控制处于压缩状态下材料用量在相应方向上的变化。从而将材料的拉伸与压缩性能差异转化为拉伸与压缩参考区间的差异。该方法的优点在于解除了拉压性能不同材料的非线性行为，降低了结构分析的计算量。通过理论和数值算例考察了材料拉压性能差异和替代材料的拉压参考区间差异对局部材料的分布影响的等效性。指出对于同一个初始设计域，相同的优化问题，结构中材料的拉伸与压缩性能不同时，结构的最优拓扑可能会产生较大差异。结构优化时考虑这种差异可以得到更实用的最优结构。

第七章给出浮动参考应变能密度法，即采用应变能密度区间控制设计变量的更新。通过几个算例考察了算法的可靠性。利用该方法分析了受均布荷载作用的板结构的设计依赖性。分析结果对工程实践具有指导意义。

结论部分对全文内容进行总结，并展望了下一步工作的内容。

10.学位论文 陈丹 液态复合材料模塑成型工艺的渗透率拓扑优化 2008

本文课题来源是国家自然科学基金“树脂膜熔渗成型及质量控制非等温耦合模拟理论与实验研究”，项目编号：50573060。

液态模塑成型工艺(LCM)是一种制造复杂形状复合材料构件的非常有效的工艺方法。LCM是闭模成型工艺，其原理是将预制成型体放入模腔内，用液态热固性树脂浸渍，树脂固化后脱模，然后进行修整得到产品。精确描述树脂在增强材料中的渗透特性，对优化模具设计、充模过程数值模拟、缩短制造周期、保证产品质量等至关重要。预成型体渗透率是LCM工艺的重要工艺参数，直接影响纤维树脂的流动浸润过程和效果。若树脂在预制件内浸渍不良，很容易导致气泡等产品缺陷。因此预制体的渗透率性能研究对解决LCM工艺中因浸润不良而产生的产品缺陷有指导意义，同时对复合材料制备技术的发展有积极的促进作用。在LCM工艺中，树脂在预制体内的流动通常被看作多孔介质的渗流运动。渗透率是预制体本身所固有的属性。而多孔材料看作一种结构，具有可设计性。

本文首先介绍了Stokes流体均匀化理论。以连续介质理论为基础，假设宏观结构由周期性微结构在空间重复堆积而成，那么宏观结构的性能参数是微结构性能的平均值。宏观多孔材料中的流体流动服从Darcy定律，微观单胞内的流体流动服从Stokes方程。Darcy定律中的渗透系数将宏观流动和单胞的微观流动联系起来。采用均匀化方法对单胞进行分析得到等效渗透系数的计算表达式。

本文的重点是针对预制件周期性微结构渗透性能进行优化设计，建立一种最优各向同性渗透性能的优化模型。由于微结构材料对称分布，交叉项等效渗透系数远小于主方向渗透系数，可以近似为零，所以选择主方向渗透系数求和取平均值。采用移动近似法(MMA法)进行优化计算。松弛设计变量以及使用Darcy流正则化方法将离散型优化问题转化为连续型优化问题。采用逆均匀化理论来设计固体材料在单胞中的分布使得由单胞组成的周期性材料具有最大各向同性等效渗透性能。

本文以二维单胞为算例，分别计算了不同的初始分布、网格划分以及固体材料体积比得到的相对应的拓扑结构。

经过算例比较验证，初始分布不同，只对单胞的拓扑结构有影响，得到的周期性微结构是一样的。网格的粗细只是对流体-固体的界面的光滑度有影响。网格划分越细，固体-液体界面越光滑。而不同的固体材料体积比得到的微结构构型大致相同，只是其中的空洞区域的面积根据流体体积比发生变化。

引证文献(2条)

1. 孙士平. 秦国华. 张卫红 多相多也材料/结构的集成优化设计[期刊论文]-航空学报 2009(1)

2. 孙士平. 张卫红. 邱克鹏. 郭中泽. Bassir Hicham 蜂窝夹芯圆环的拓扑优化设计及尺度效应研究[期刊论文]-力学学报 2007(6)

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