三角形内角平分线定理的推广及其应用
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数学教学研究第３４卷第８期２０１５年８月
三角形内角平分线定理的推广及其应用
陈翠玲
（江苏省邗江中学（集团）北区校维扬中学’２２５００９）
本文现将三角形内角平分线定理的推广及其在证明几个著名几何定理中的应用介绍如下，供初中师生教学参考．１推广
（内分）点，求证：嚣＝黼
如图１，已知Ｐ为△ＡＢＣ的ＡＢ边上一
图１
证明因为涪＝嚣（同高），所以
显∞一专ＣＡ・ｃＰｓｌｎ口
５△∞丢ｃＢ・ｃＰｓｉｎ卢
＝＝—－＿＿——＿・＿・＿＝＝＝・－—一
（’Ａｓｉｎ口ＰＡ
ＣＢｓｉｎ卢ＰＢ‘
显然，当口＝ｐ时，则ｓｉｎ口＝ｓｉｎ卢，所以
嚣二器．故该定理是三角形内角平分线定
理的推广。而三角形内角平分线定理则是该定理的特例．
２应用
例１△ＡＢＣ的３个顶点各与一点０
连结的直线ＡＤ，Ｂ０及∞或其延长线交对
边Ｂｃ，ｃＡ，ＡＢ于ｘ，ｙ，Ｚ．求证：爱・ｇ・
畿＝１．（塞瓦ｃｅｖａ定理）
收稿日期：２０１５－０１—１６
万方数据
证明ａ，ｐ，口如图２所示，则由推广得
ＢＸ一０Ｂｓｉｎ口ＣＸ０Ｃｓｉｎ口’（１）
Ａｙ
ｃｘ一（℃ｓｉｎ口
０Ａｓｉｎ口’
（２）ＡＺ一０Ａｓｉｎ口ＢＺ０Ｂｓｉｎ８。
（３）
由（１）ｘ（２）×（３），得
丛．垡．丝：１
ＣＸ
＿＿－＿一●ｏ・＿一●’－－一＝；●Ａｙ
ＢＺ
“
图２
例２求证三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍．（三角形重心定理）
如图３，已知△ＡＢＣ３边的中线ＡＤ，ＢＥ，ｃＦ交于Ｇ，求证：ＧＡ＝２ＧＤ，ＧＢ＝２ＧＥ，
ＧＣ＝２ＧＦ．
证明口，ｐ如图３所示，则由推广得
ＧＤ
熙：热，
ＢＤｓｉｎＪ９’
（１）“７
丝：丛旦堕塾垡：丛垦璺ｉ坠ｇ：１．ＪⅨ：ＥＣｓｉｎ
Ｊ｜９
’’
２ＢＤｓｉｎｐ
氅：尝．———ｏ＝一
ｆ
ｙｌ
ｓｉｎ口
ＡＢ‘
（２）”７
将（２）代人（１）即得ＧＡ＝２ＧＤ．
同理可得ＧＢ一２ＧＥ，Ｇｃ＝２ＧＦ．
第３４卷第８期２０１５年８月
数学教学研究
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图３
例３求证：若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则过对角线的交点且垂直于一边的直线必平分其对边．（卜拉美古塔定理
Ｂｒａｈｍａｇｕｐｔａ）
证明如图４，设
么ＢＨＦ一么ＥＨＤ一么ＥＡＨ一口，
则由推广得
ＢＦ
雨一面焉虱而
ＨＢｓｉｎ
ａ
：黑血一絮．ｔａｎ口．
ＨＣｃｏｓ口
ＨＣ
……（１）…
又在Ｒｔ△ＡＨＤ中，ｔａｎ口一器，代人（１）得
ＢＦＨＢ・ＨＤ
ＦＣ
ＨＣ・ＨＡ’
（２）
而由相交弦定理，得ＨＢ・ＨＤ—ＨＣ・ＨＡ，
所以ＢＦ—ＦＣ．
．∥圣众．
Ｋ．力
图４
例４
如图５，已知四边型ＡＫＬｃ的两
组对边的延长线交于点Ｄ和Ｇ，Ｂ为四边形对角线的交点，ＤＢ的延长线交ＫＬ于Ｆ，求
证：篱一甓．（射影几何基本定理）
，
么ｋ
图５
万方数据
证明．口，卢如图５所示，则由推广得
ＫＢＤＫｓｉｎ
ａ
ＢＣＤＣｓｉｎ８’ｑ）ＫＦＤＫｓｉｎ
ａ
ＦＬ
ＤＬｓｉｎ８’
＠）
（１）÷（２）得
ＫＢＫＦ
ＤＬＢＣ
ＦＬ
ＤＣ。
＠）
同理可得
ＫＢＤＬＡＫＢＣ
ＣＬ
ＤＡ‘
＠）
（３）÷（４）得
ＫＦ
ＡＫ・ＤＣ
ＦＬ
ＡＤ・ＣＬ。
∞）
又由梅涅劳斯定理知
ＡＤ
ＡＫ
十＝＝１．拦・器乩
ＧＬ
ＣＤ
”
ＫＧＡＫ・ＤＣ
ＬＧ
ＡＤ・ＣＬ。
故由（５）和（６）得篙一器．
例５以△ＡＢＣ的ＡＢ，ＡＣ为边长分别在形外作正方形ＡＢＥＦ、正方形ＡＣＧＨ，ＡＮ
＿ＬＦＨ于Ｎ，设射线ＮＡ交边ＢＣ于Ｍ．求
证：ＭＢ—ＭＣ．
器一糕．
证明如图６，由推广得
ｊ们ＡＣ・ｓｉｎ／２‘
㈣…
因为么３＋么１一么２＋么４—９０。，
所以
ｓｉｎ么１一ｃｏｓ么３，ｓｉｎ么２＝ｃｏｓ么４．又在Ｒｔ△ＡＮＦ和Ｒｔ△ＡＮＨ中，
ＡＮ—ＡＦｃｏｓ么３＝ＡＨｃｏｓ么４，而ＡＢ—ＡＦ，ＡＣ—ＡＨ，所以
ＡＢ・ｓｉｎ么１一ＡＦ・ｃｏｓ么３一ＡＣ・ｓｉｎ么２一ＡＨ・ｃｏｓ么４，从而代人（１）中即得ＭＢ—ＭＣ
图６
例６（上海市１９８６年度初中数学竞赛题）在△ＡＢＣ中，Ｐ，Ｑ两点皆在ＢＣ边上，满
足么ＢＡＰ＝么ＣＡＱ．求证：劳器＝筹．
证明如图７，记么ＢＡＰ一么（ＭＱ＝ｚ，图７
么ＰＡＱ—ｙ，则么ＢＡＱ一么ＣＡＰ—ｚ＋ｙ．视
综上所述可知，应用三角形内角平分线
推广定理证明上述几何题，关键在于根据结Ｐ为△ＡＢＣ的ＢＣ边上一点，则由推广得
墼一塑：堑咝艘一塑：！ｉ望墨论寻找与线段比有关的三角形，然后结合三角、代数运算，通过化简使命题获证．
ＣＰ
ＡＣ・ｓｉ眨Ｇ气ＰＡＣ・ｓｉｎｂ＋３，）‘
在平时教学过程中，注意对著名定理及（１）
其推广在几何中的应用的研究，符合新课程视Ｑ为△ＡＢＣ的ＢＣ边上一点，同样由推广得
改革的理念要求，对于发展学生的逻辑思维能力和灵活运用所学基础知识，提高学生解０Ｑ
幽一塑：曼ｉ垡丝Ｑ一塑：亟兰±业ＡＣ・ｓｉｎ么ＣＡＱ
’
ＡＣ・ｓｉｎｚ
决数学问题的能力大有裨益，为此笔者建议，（２）
加强这类专题的研究，很有必要．
（１）（２）两者相乘，即得
参考文献西砸一丽’
ＢＰ・ＢＱ—ＡＢ２
［１］
于志洪．角平分线定理的推广［Ｊ］．数理天地
（北京），１９９２，（４）．
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２０１５年８月第３４卷第８期（总第２７６期）
（月刊，公开发行，１９８２年创刊）
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刊号：紧黼定价：勰
万方数据