一次函数的图像和性质
第十一讲 一次函数的图像和性质
一．一次函数与二元一次方程组，不等式组的联系
例1．如图，直线l 1：y=2x与直线l 2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P ．
（1）写出不等式2x ＞kx+3的解集： _________ ； （2）设直线l 2与x 轴交于点A ，求△OAP 的面积．
例2．已知一次函数y=kx+b（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象（如图1）．
（1）方程kx+b=0的解为 _________ ，不等式kx+b＜4的解集为 _________ ；
（2）正比例函数y=mx（m 为常数，且m ≠0）与一次函数y=kx+b相交于点P （如
图2），则不等式组
的解集为 ___ ；
（3）在（2）的条件下，比较mx 与kx+b的大小（直接写出结果）．
当堂练：
1．如图，直线y=x+1和y=﹣3x+b交于点A （2，m ）． （1）求m 、b 的值；
（2）在所给的平面直角坐标系中画出直线y=﹣3x+b； （3）结合图象写出不等式﹣3x+b＜x+1的解集是 __ ．
2．如图所示的是函数y=kx+b，y=mx+n的图象， （1）关于x 、y 的方程组
的解是 _____ ；
（2）若k ＜m ，请根据图象确定k 、b 的值．
3．如图，已知直线l 1：y 1=2x+1与坐标轴交于A 、C 两点，直线l 2：y 2=﹣x ﹣2与坐标轴交于B 、D 两点，两线的交点为P 点， （1）求△APB 的面积；
（2）利用图象求当x 取何值时，y 1＜y 2．
4．如图，已知直线l 1：y=3x+1与y 轴交于点A ，且和直线l 2：y=mx+n交于点P （﹣2，a ），根据以上信息解答下列问题： （1）求a 的值，判断直线l 3：y=﹣nx ﹣2m 是否也经过点P ？请说明理由；
21
⎧y =3x +1（2）不解关于x ，y 的方程组⎨，请你直接写出它的解；
y =mx +n ⎩
（3）若直线l 1，l 2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x ＞3，求直线l 2的
函数解析式．
二．一次函数中的面积问题（★期末考试重点★）
例3．如图，直线l 1过点A （0，4），点D （4，0），直线l 2：y =
C ，两直线l 1，l 2相交于点B ．
（1）求直线l 1的解析式和点B 的坐标； （2）求△ABC 的面积．
12x +1与
x 轴交于点
例4．如图，已知：直线AB ：y =
12
x +1分别与
x 轴、y 轴交于点A 、B ，直线CD ：y=x+b
分别与x 轴、y 轴交于点C 、D ，直线AB 与CD 相交于点P ，S △ABD =2．求： （1）b 的值和点P 的坐标； （2）求△ADP 的面积．
当堂练：
1．如图，直线l 1过点A （0，4），点D （4，0），直线l 2：y =C ，两直线l 1，l 2相交于点B ．
（1）求直线l 1的解析式和点B 的坐标； （2）求△ABC 的面积．
12x +1与
x 轴交于点
2．如图，直线y=﹣x+6和y=x ﹣2交于点P ，直线y=﹣x+6分别交x 轴，y
4
4
4
333
轴于点A ，B ，直线y=x ﹣2交y 轴于点C ．
4
3
（1）求两直线交点P 的坐标； （2）求△PCA 的面积．
3．如图，直线OC 、BC 的函数关系式分别是：y 1=x和y 2=﹣2x+6，动点P （x ，0）在OB 上运动（0＜x ＜3）
（1）求点C 的坐标，并回答当x 取何值时y 1＞y 2？ （2）求△COB 的面积；
（3）是否存在点P ，使CP 将△COB 分成的两部分面积之比为1：2？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（本题12分）如图，一次函数y = kx + b的图象与x 轴和y 轴分别交于点A （6，0）和B （0，2
），再将△AOB 沿直线CD 对折，使点A 与点B 重合．直线
CD 与x 轴交于点C ，与AB 交于点D ． （1）试确定这个一次函数的解析式；（4分） （2）求点C 的坐标；（2分）
（3）在x 轴上有一点P ，且△PAB 是等腰三角形
不需计算过程，直接写出点P 的坐标．（4分）