感应电动势的两种表达式及其关系
目 录
摘 要.......................................................................................................................... 1 关键词.......................................................................................................................... 1 Abstract ...................................................................................................................... 1 Key words .................................................................................................................. 1 引言 .............................................................................................................................. 2 1．感应电动势的两种表达式 ............................................................................. 2
1.1感应电动势的第一种表达式——通量法则................................................... 2 1.2感应电动势的另一种表达式........................................................................... 2
2．两种表达式的一致性....................................................................................... 3 3．通量法则的例外情形....................................................................................... 5 4．矛盾如何消除，矛盾能否消除 . ................................................................... 6 5．两种表达式之间的关系 . ................................................................................. 8 结束语........................................................................................................................ 10 参考文献 . ...................................................................................................................11
感应电动势的两种表达式及其关系
王军伟
指导老师：张献图 职称：教授
摘 要：本文分别对感应电动势的两种表示法进行分析、讨论，说明其一
致性，并用实例验证。通过举例可验证在一般情况下，感应电动势的两种表示法是一致的。但也存在例外，即处在变化的磁场中并且不能够构成闭合回路时，就会导致感应电动势的两种表示法不一致。
关键词：感应电动势；动生电动势和感生电动势；通量法则；回路构成法
Abstract ：This paper will discuss and analyze the two representations of induction electromotive force. At the same time, this paper will prove its consistency through the formula by using examples. Under normal circumstances, it can be proved through discussion and taking example that the two representations of induction electromotive force are the same. Closing circuit on the time, it will lead to the two representations of induction electromotive force inconsistent. That is not the constant magnetic field and can not constitute a closed circuit there were exceptions.
Key words ： Induction electromotive force; Motional electromotive force and induced electromotive force; Flux principle; Return circuit rule.
引言
感应电动有两种表达式。通常情况下用这两种表达式所求得的结果是一样的，两种表达法之间很少出现什么矛盾。但有时用这两种方法所得的结果不一样，这时通量法则就存在反例。这个问题曾在国内杂志上引起了激烈的争论，其中部分文章见[1]—[8]。通过这场争论我们对电磁感应定律有了更好的认识，这对我们深入理解电磁感应定律是十分有益的。
1．感应电动势的两种表达式
1.1感应电动势的第一种表达式——通量法则
1831年Faraday 发现了电磁感应现象，并紧接着进行了深入的研究，提出感应电动势的概念。但是Faraday 并未给出定量描述电磁感应现象所遵循的数学表达式。1845年德国物理学家Neumann 运用Ampere 电动力学导出了电磁感应定律，从而第一次确立了后来以Faraday 的名字命名的电磁感应定律，即闭合回路的感应电动势为
ε=-
d Φdt
=-
d dt
⎰⎰B ⋅dS （1）
s
式中的Φ是通过闭合回路l 为周界的曲面S 的磁通量。Feynman 把决定感应电动势的（1）式称为通量法则，也就是感应电动势的第一种表达式。 1.2感应电动势的另一种表达式
感应电动势分为动生电动势和感生电动势两种。前者是导体相对磁场运动（切割磁力线）引起的，产生动生电动势的非静电力是Lorenz 力，后者是由于磁场随时间变化引起的，产生感生电动势的非静电力是涡旋电场力。显然二者的物理本质不同。一般情况下同时存在动生和感生两种电动势。感应电动势又可表为
ε= ⎰E 涡旋⋅d l +
l
⎰(v ⨯B ）⋅d l （2）
l
式中的积分沿闭合回路l 。（2）式右端第一项中的E 涡旋
是由于磁场变化而产生的
涡旋电场，由Maxwell 方程
∂B
∇⨯E 涡旋=-
∂t
再利用Stokes 公式，（2）式右端第一项可改写为
∂B
⎰E 涡旋⋅d l =-⎰⎰∂t ⋅d S l s
这是感应电动势的感生部分。（2）式右端第二项是由于导线相对磁场运动所引起
的动生电动势，其中v 是导线的运动速度。利用上式，可将（2）式改写为如下
形式：
ε=-⎰⎰
s
∂B ∂t
⋅dS +
⎰(v ⨯B ) ⋅d l （3）
l
式中的S 是以闭合回路l 为周界的曲面。顺便指出，公式（2）同样适用于不构成闭合回路的导线段，此时，有
ε=
E 涡旋⋅d l +
⎰(v ⨯B ) ⋅d l （4）
l
⎰
l
表达式（2）或（3）式是感应电动势的另一种表达式。
2．两种表达式的一致性
可以证明，对于闭合回路，感应电 动势ε的两种表示法（1）式和（3）是 一致的或等效的。我们只需证明下式成 立即可：
d dt
B ⋅d S =⎰⎰
∂B ∂t
l S 3
S 1
⋅d S -
(v ⨯B ) ⋅d l ⎰
⎰⎰
如图1所示、设从t 到(t +∆t ) 的时间间 图（1）
隔内，闭合线形回路从l 1变到l 2，两回路的绕行方向已在图1中标明，回路的变
化可以包括平动、转动、形变等。与此同时，空间的磁场分布从B (t ) 变为B (t +∆t )
（为了简单起见，略去了B
的坐标参量）。在t 时刻，通过闭合线形回路l 1所包
面积S 1的磁通量为
Φ(t ) =⎰⎰B (t ) ⋅dS 1
s 1
式中S 1是以l 1为周界的曲面，d S 1的正方向与l 1的绕行方向构成右手螺旋关系。
同样，在(t +∆t ) 的时刻，通过闭合线形回路l 2所包面积S 2的磁通量为
Φ(t +∆t ) =⎰⎰B (t +∆t ) ⋅dS 2
s 2
式中S 2是以l 2为周界的曲面，dS 2的正方向也由l 2的绕行方向用右手法则确定。
对于足够小的∆t ，忽略B
的展开式中的高阶小量，有
∂B (t )
B (t +∆t ) =B (t ) +∆t
∂t
代入前式，得
∂B (t )
Φ(t +∆t ) =⎰⎰[B (t ) +∆t ]⋅dS 2
∂t S
2
==⎰⎰B (t ) ⋅dS 2+
S 2
⎰⎰
S 2
∂B (t ) ∂t
∆t ⋅dS 2
故有
d Φdt
=lim
Φ(t +∆t ) -Φ(t )
∆t
∂B (t ) ∂t
∆t ⋅dS 2-
⎰⎰B (t ) ⋅dS 1
S 1
∆t →0
⎰⎰B (t ) ⋅dS 2+=lim
S 2
∆t →0
⎰⎰
S 2
∆t
⎰⎰B (t ) ⋅dS 1-
⎰⎰B (t ) ⋅dS 2
S 2
∂B (t ) ∂t
∆t ⋅dS 2
⎰⎰
+lim
S 2
∆t →0
=-lim
S 1
∆t →0
∆t ∆t
（5）
先考虑（5）式右端第二项，当∆t →0时，S 2→S 1，所以
⎰⎰
lim
S 2
∆t →0
∂B (t ) ∂t
∆t ⋅dS 2
=
∆t
⎰⎰
S 1
∂B (t ) ∂t
⋅dS 1
此项决定了t 时刻的感生电动势。再考虑（5）式右端第一项，当闭合回路从l 1运动到l 2时，由l 1围成的曲面S 1和由l 2围成的曲面S 2，以及闭合回路运动在
t →t +∆t 的时间内扫出的曲面S 3(见图
1) ，三者构成一个封闭曲面。根据磁场
B (t ) ⋅dS 3=0
的Gauss 定理，有
⎰⎰
B (t ) ⋅dS =
⎰⎰
S 1
B (t ) ⋅dS 1-
⎰⎰
S 2
B (t ) ⋅dS 2+
⎰⎰
S 3
上式右端第二项为负值的原因是，前已规定dS 2
的方向由l 2的绕向用右手法则决
定，即指向封闭曲面的里面，而上述磁场Gauss 定理中曲面的正法线方向均指向封闭曲面的外面。故有
⎰⎰B (t ) ⋅dS 1-
S 1
⎰⎰B (t ) ⋅dS 2=-⎰⎰B (t ) ⋅dS 3
S 2
S 3
代入（5）右端第一项，得
B (t ) ⋅dS -1⎰⎰-lim
S 1
∆t →0
B (t ) ⋅dS 2⎰⎰
S 2
B (t ) ⋅dS 3⎰⎰=lim
S 3
∆t →0
∆t ∆t
对曲面S 3来说，其面积元dS 3=vdt ⨯dl
，其中d l 是l 1上的有向线元（见图1）当
∆t →0时，l 2→l 1，曲面S 3缩成闭合回路l 1，故
⎰⎰B (t ) ⋅dS 3
∆t →0
lim
S 3
∆t
= ⎰B (t ) ⋅(v ⨯dl )
l 1
利用矢量公式a ⋅(b ⨯c ) =c ⋅(a ⨯b ) =-(b ⨯a ) ⋅c
，有
B (t ) ⋅(v ⨯dl ) =-[v ⨯B (t )]⋅d l
故（5）式右端第一项可写成
⎰B (t ) ⋅(v ⨯dl ) =- ⎰[v ⨯B (t )]⋅d l
l 1
l 1
最后（5）式可写成
d Φdt
=d dt
⎰⎰B ⋅d S =
⎰⎰
S
∂B ∂t
⋅d S -
⎰(v ⨯B ) ⋅d l
l
由此可见，对于线形闭合回路，感应电动势ε的两种表示式（1）和（3）是等效的。
3．通量法则的例外情形
上面，就线形闭合回路情形证明了感应电动势的两种表示法（1）和（3）式的等效性。但是，如果回路中包含了大块导体或者回路在运动过程中发生了“断裂”，此时所选闭合回路具有不确定性，结果用通量法则［公式（1）］算出的ε值往往与实际不符。Feynman 在《费曼物理学讲义》中把这些特殊情形称为通量法则的例外。
下面通量法则例外情形的两个例子。
图（2） 图（3）
［例1］如图2所示，铜盘可绕O
轴转动，铜盘面与恒定磁场B
垂直，铜盘
的轴上和边缘上各有一电刷，通过导线与电流计G 相连，形成一通电回路。当铜盘以一定的角速度旋转时，电流计指针发生偏转，表明回路中产生的感应电动势引起了感应电流。按公式（3），虽然
∂B ∂t
=0，但因铜盘材料的v ≠0，故感应电
动势ε≠0，与实际相符。但按公式（1），若在空间有电流通过的地方选定闭合回路，则因磁场恒定，通过该闭和回路的磁通量Φ应不变，既
d Φdt
=0
，故ε=0。
于是（1）式与（3）式的结果不一致，出现了矛盾，这时（1）式不能解释实际结果。
［例2］如图3所示，有一导体回路，B 代表一块长圆柱磁体内的磁场，G 为一灵敏电流计，K 1，K 2为开关，开始时K 1接通，K 2断开，在电流计与K 1组成的回路内Φ=0，然后将K 1断开，同时将K 2接通，此时电流计与在K 2组成的闭合回路内Φ≠0并假设开关的动作是在竖直方向进行的（即与磁感应强度B 平行），按（1）式d Φ≠0故ε≠0，按（2）式
在开关处v
∂B ∂t
=0且每部分导线无运动，即v =0，
v //B 所以⨯B =0整个回路的感应电动式ε=0。两种表达式之间再次
出现了矛盾。
4．矛盾如何消除，矛盾能否消除
在一些特例中，如果要用通量法则正确计算感应电动势，选好闭合回路至关重要。有人试图建立起一种“回路构成法”以便使感应电动势的两种计算法（1）式和（2）式的结果一致，并认为感应电动势发生在导电材料中，因而当回路因运动发生变化时，应当考虑材料本身或物质的运动，而不是几何上意义上的变化。
例如，在例１中，如果把铜盘的O A 部分看作回路的一部分，经过一定时间后段O A 的物质转到了O A '位置，因而应把O A '段看作变化后的回路的一部分，A 端在变动过程中描出的轨迹A A '反映了回路的变化历程，所以变化后的回路应为
O A 'A G O O A 'A G O
，而不是固定的O A G O 。这样，随着铜盘的转动，通过不断变化的回路的磁通量将发生相应的变化，用通量法则（1）式算出的感应电动势ε与
（3）式一致。
又如例2，出现例外的原因与例1是完全相同的。ε=-
Φ
d Φdt
成立要求磁通量
连续变化，不允许突然转换。例2中通量差d Φ是两个不同回路（回路abcdefa
和abcda ）不同时刻的通量差。显然这种求磁通量的方法是不正确的。正确的求解方法为：t 时刻选取abcdefa 为闭合回路，在(t +dt ) 时刻仍选取abcdefa 为闭合回路。t 时刻通过的磁通量为Φ。由于在K 1断开、K 2闭合的过程中，回路中B 不随时间变化。所以(t +dt ) 时刻通过的磁通量仍为Φ，所以
d Φdt
=0
。这样用两种
表达式（1）式和（2）式所得的感应电动势ε均为0。两种表示法取得了一致。
看来上述回路构成法使得感应电动势的两种表示法取得了一致。即使得公式（1）和（3）的结果相同。但是前面两个特例中，总能找到闭和的导线回路，而且磁场恒定不变。如果是一根导体棒，它在变化的磁场中运动，怎样用通量法则来求感应电动势呢？请看下面一个例子。
［例3］如图4所示，一根长为l 的导体棒，以速度v 垂直于由螺线管产生的
∂B
均匀磁场B 运动，磁场又以的变化率随时间变化，试求导体棒内的感应电动
∂t
势ε。由公式（2），不难求出感应电动势ε，其动生部分为
⎰(v ⨯B ) ⋅dl =vB l
l
为了求感生电动势，需先求出E 涡旋 ，E 涡旋
由
∂B ∂t
决定。由Maxwell 方程
∂B
⎰E 涡旋⋅d l =-⎰⎰∂t ⋅dS l s
根据轴对称性，在离轴距离为r 的各点上E 涡旋
的大小相同，其方向沿着以r 为半
径的圆周的切线方向，其方向由
∂B ∂t
∂B ∂t
的正负决定，若如图4磁场B 的方向指向里
面且向里增加，即得出
为正，则E 涡旋指向逆时针方向（见图4）。由上述积分式可
2πrE 涡旋=πr
2
∂B ∂t
即
E 涡旋=
r ∂B 2∂t
故在导体棒内的感生电动势为 图（4） ⎰
B A
E 涡旋⋅dl =
l l
⎰
2l -2
E 涡旋cos θdx =
⎰
2l -2
r ∂B b bl ∂B
⋅dx =2∂t r 2∂t
动生电动势vB l 与感生电动势
bl ∂B 2∂t
之和就是导体棒内的总感应电动势ε。
若按通量法则求ε，就必须选定一个闭合回路。除导体棒作为回路的以部分外，还需虚构辅助线以构成闭合回路。作这个虚构闭合回路的原则又该是怎样呢？前面所谓回路构成法的前提是恒定磁场，并存在由导体实体构成的闭合回路。对于例3前面所说的回路构成法就不再适用了。
由此可见，用回路构成法并不能消除所有矛盾。对于个别情况，矛盾是无法用回路构成法来解决的。
5．两种表达式之间的关系
在大多数情况下用感应电动势的两种表达式所得的结果是一样的，只是在个别情形下通量法则才存在例外。表达式（1）也既是通量法则中的Φ变化原因既包括磁场随时间的变化，又包括闭合回路本身的各类运动变化（平动、转动、形变等），实际上已经涉及感生电动势和动生电动势两部分，是一种简明扼要的表
述。表达式（2）或（3）则把感生和动生两种电动势分开并具体化，物理图像明确而清晰。
总之，感应电动势ε的两种表示法可以在很宽的范围内相互一致，但在个别情形下通量法则会遇到困难。Feynman 指出，当通量法则遇到困难时，就必须回到基本定律中去，正确的物理学总是由这两个基本定律给出：
⎧F =q (E +v ⨯B ) ⎪
(6) ⎨∂B
⎪∇⨯E =-
∂t ⎩
(6)式的第一式是Lorenz 力公式，第二式是Maxwell 方程组之一。这两个公式分别给出了产生感应电动势的两类非静电力，一类是由于导体运动产生的Lorenz 力，另一类是由磁场变化产生的涡旋电场力。赵凯华在文献［12］中认为，（6）式应当成为电磁感应定律的近代版本，是对电磁感应定律在更高层次上的描述。
正如陈秉乾所说：Faraday 首先发现了电磁感应现象，进行了深入的研究，提出了感应电动势的概念，Neumann 赋予电磁感应现象所遵循的规律以简洁的数学描述（通量法则）。应当说，这是在那个时代的重大成就，它不仅揭示了电、磁现象之间的密切联系，也为Maxwell 建立电磁场理论提供了重要支柱。Maxwell 的工作实际上已对Faraday 电磁感应定律作了推广和发展，Maxwell 由此提出了两个基本假设之一：变化的磁场可以在周围空间激发涡旋电场，具体的数学描述就是（6）式的第二式（另一个基本假设是变化的电场可以在周围空间激发磁场，即位移电流假设）。在感应电动势的表示式（2）或（3）中，不仅包含了Maxwell 的上述发展，还包含了Lorenz 电子论的创新工作，即带电粒子在电磁场中的受力公式［（6）式的第一式］。由此可见，感应电动势的两中表示法已不属于同一层次上的理论。第二中表示法（2）或（3）式已超越了Faraday —Neumann 的通量法则（1）式，它以Maxwell —Lorenz 电磁理论为依托对电磁感应规律在更高层次上的理解和定量描述。因此把这两种属于不同层次的表示法强行统一是没有必要的，我们可以设法使两种表示法尽可能在较大范围内取得一致，但没有必要追求在所有问题上相互统一，毕竟两种表示法是物理理论的两个不同发展阶段的产物。
对于闭合的线形回路，也就是通量法则不存在例外时，用感应电动势的哪种表达式计算较为方便，我们就选择用哪种表达式。
当感应电动势的两种表达式之间出现矛盾时，都是利用通量法则计算的结果与实际不符，而利用（2）式或（3）式所算的结果与实际都是相符的。所以，当通量法则不能应用时，就利用（2）式或（3）式来计算。
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致 谢
本论文是在张献图老师的亲切关怀和悉心指导下完成的。他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。张老师不仅在学业上给我以精心指导，同时还在思想、生活上给我以无微不至的关怀，在此谨向张老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意！
我还要感谢韩首瑛老师和李韶峰老师。正是由于他们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成。
在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意! 我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们!
最后，再次对关心、帮助我的老师和同学表示衷心的感谢！