求轨迹方程解题技巧doc
10.4求轨迹方程
求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一, 是高考的一个热点, 特别是当今高考的改革以考查学生的创新意识为突破口, 注重考查学生的逻辑思维能力、运算能力、分析问题解决问题的能力, 而轨迹方程这一热点, 则能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度.
轨迹方程的考查多以解答题的形式出现, 而求解时, 要经历审题, 寻找和确定求解途径, 分清解答步骤, 逐步推演, 综合陈述, 完整作答或给出恰当的结论等多个不可缺少的环节. 因此, 正确探明题目所蕴含的数学信息, 广泛联想题目所涉及到的概念、公式、定理，创造性地组合各种信息, 求得问题的解决.
求曲线轨迹方程的基本步骤为：
(1)建立适当的平面直角坐标系, 设轨迹上任一点的坐标为M (x , y ) ； (2)寻找动点与已知点满足的关系式； (3)将动点与已知点坐标代入； (4)化简整理方程；
(5)证明所得方程即为所求曲线的轨迹方程,. 在求曲线轨迹方程的过程中, 要注意：
(1)全面理解题意, 弄清题目中的已知和结论, 发现已知和未知的关系, 进行知识的重新组合；
(2)合理进行数学语言间的转换, 数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言, 通过审题画出必要的图形或示意图, 把不宜于直接计算的关系化为能直接进行数学处理的关系式, 把不便于进行数学处理的语言化为便于数学处理的语言；
(3)注意挖掘题目中的隐含条件； (4)注意反馈和检验.
一、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.
例1. 已知点A (-2, 0) 、B (3, 0). 动点P (x , y ) 满足⋅=x 2
，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 二、定义法
定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.
例2. 已知∆ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a , c , b 依次构成等差数列，且a >c >b ，AB =2，求顶点C 的轨迹方程.
三、代入法
当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P 的坐标x , y 来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P 的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.
例3. 如图，从双曲线C :x 2-y 2=1上一点Q 引直线
l :x +y =2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程.
四、几何法
几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.
例4. 已知点A (-3, 2) 、B (1, -4) ，过A 、B 作两条互相垂直的直线l 1和l 2，求l 1和l 2的交点M 的轨迹方程.
五、参数法
参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标x , y 间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到x , y 间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.
例5 过抛物线y 2
=2px （p >0）的顶点O 作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求弦AB 的中点M
的轨迹方程.
六、交轨法
求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.
2. 已知平面内一动点P 到点F (0, 1) 的距离与点P 到x 轴的距离的差等于1. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1, l 2，设l 1与轨迹C 相交与点A , B ，l 2与轨迹C 相
x 2y 2
例6. 如右图，垂直于x 轴的直线交双曲线2-2=1于
a b 交于点D , E ，求AD ⋅EB 的最小值。 M 、N 两点，A 1, A 2为双曲线的左、右顶点，求直线A 1M 与
A 的轨迹方程，并指出轨迹的形状.
2N 的交点P
【巩固提升】
1. 已知∆ABC 的两个顶点A , B 的坐标分别是(0, -1), (0, 1) ，且AC , BC 所在直线的斜率之积等于
m (m ≠0) 。
（1）求顶点C 的轨迹E 的方程，并判断轨迹为何种圆锥曲线; （2） 当m =-
1
2
时，过点F (1, 0) 的直线l 交曲线E 于两点M , N ，设点N 关于x 轴的对称点为Q （M , Q 不重合）。试问：直线MQ 与x 轴的交点是否是定点？，若是，求出定点；若不是，请说明理由。
] 已知椭圆C ：x 2a y 23.[2014·广东卷b ＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0) ，离心率为5
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(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若动点P (x 0，y 0) 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．