反函数性质在解高考题中的应用
反函数性质在解高考题中的应用
本文旨在由反函数的概念给出反函数问题的几个引申性质,再列举近几年高考试题进行分类解析,供同学们学习时参考.
一、反函数的几个性质
1. 原象与象的惟一互对问题.
设函数f(x)存在反函数f-1(x),若函数f(x)将定义域A中的元素a映射成值域C中的元素b,则它的反函数f-1(x)恰好将值域C中的元素b惟一还原成A中的元素a,即f(a)=b f-1(b)=a.
2. 定义域与值域的互换问题.
若函数f(x)定义域为A,值域为C,则它的反函数f-1(x)的定义域为C,值域为A,即反函数的定义域和值域分别是原函数的值域与反函数的定义域.
3. 图象的对称问题.
在同一直角坐标系中,互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称,反之亦然.
4. 奇偶性问题.
奇函数y=f(x)(x∈A)若存在反函数,则它的反函数y=f-1(x)(x∈C)也是奇函数.
5. 单调性问题.
若函数y=f(x)(x∈A)是单调函数,则它的反函数y=f-1(x)(x∈C)也是单调函数,且它们的单调性相同. 单调函数
一定具有反函数,但反之不一定成立,如函数f(x)=具有反函数,但它在整个定义域范围内不是单调函数.
二、应用
1. 求反函数的函数值或值域
例1 (2004年北京春招试题)若f-1(x)为函数f(x)=lg(x+1)的反函数,则f-1(x)的值域是________.
分析 根据互为反函数的两个函数的定义域与值域的互换关系,由性质2可知f-1(x)的值域为(-1,+∞).
2. 求反函数的定义域
例2 (1999年上海高考试题)函数f(x)=log+1(x≥4)的反函数f-1(x)的定义域是_____________.
分析 ∵ x≥4, ∴ f(x)=log+1≥log+1=3. 由反函数的性质(2)可知,反函数f-1(x)的定义域是函数f(x)的值域,即填 3,+∞).
3. 确定反函数的图象
例3 (2000年北京春招试题)函数f(x)=+2(x≥0)的反函数f-1(x)的图象是( )
分析 已知函数关系式可变形为x=(y-2)2(x≥0,y≥2),它的图象是以(0,2)为顶点,以y=2为对称轴,开口向右的抛
物线的上半支,由反函数的性质(3)可知,函数f-1(x)的图象是以(2,0)为顶点,以x=2为对称轴,开口向上的抛物线的右半支,故选(C).
4. 确定反函数的奇偶性和增减性
例4 (1992年全国高考试题)函数y=的反函数是( ) (A)奇函数,它在(0,+∞)上是减函数
(B)偶函数,它在(0,+∞)上是减函数
(C)奇函数,它在(0,+∞)上是增函数
(D)偶函数,它在(0,+∞)上是增函数
分析 本题若是直接考查其反函数f-1(x)=ln(x+)(x∈R)的奇偶性和单调性,虽然可行,但很复杂,有悖于考查能力命题的初衷. 由于已知函数是奇函数,且在区间(0,+∞)和(-∞,0)上都是增函数,由反函数的性质(4)和性质(5)可知,其反函数既是奇函数,又是增函数,故选(C).
以上问题主要考查反函数的概念及性质,要求对反函数与原函数的联系有深刻透彻的理解,并注意数形结合思想及方程思想的合理运用