第 二 章 一元函数微分学
第二章
一元函数微分学
1、理解导数和微分的概念,了解其几何意义。了解函数可导、可微、连续之间的关系。
2、熟练掌握导数和微分的运算法则和导数的基本公式,了解高阶导数的概念,并能熟练的求初等函数的一、二阶导数。
3、掌握反函数、隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶导数的求法。
4、理解罗尔定理和拉格朗日定理。
5、理解函数的极值概念,掌握求函数极值、判断函数的增减性、函数图形的凹向性以及求函数图形的拐点等的方法,能描绘函数的图形(包括水平和铅直渐近线),掌握简单的最大值和最小值应用问题的求解。
6、会用罗比达法则求未定型 “”与 “ ”的极限(其他未定型
00
∞∞
不作要求)。
第一节 导数的概念
定义2.1.1 设函数y =f (x ) 在点x 0及其近旁有定义,当自变量x 在x 0有增量∆x 时,相应的函数有增量: ∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0)
∆y ∆x
如果当∆x →0时,比数,记为y '
,即
的极限存在,则称这个极限值为函数y =f (x ) 在点x 0的导
x =x 0
y '
x =x 0
=lim
∆y ∆x
∆x →0
=lim
f (x 0+∆x ) -f (x 0)
∆x
∆x →0
(1)
也可以记为f '(x 0) ,
dy dx
x =x 0
或
d dx
f (x )
x =x 0
若把x 0+∆x 记为x ,即∆x =x -x 0,当∆x →0时,有x →x 0,于是导数定义(1)式可改写为 y '
=lim
f (x ) -f (x 0)
x -x 0
x =x 0
x →x 0
若函数y =f (x ) 在点x 0存在导数,就称函数y =f (x ) 在点x 0可导。函数y =f (x ) 在区间(a , b )内每一点都可导,就称函数y =f (x ) 在区间(a , b ) 内可导。函数y =f (x ) 对于每一个x ∈(a , b ) ,都有一个确定的导数值与之对应,即构成了x 的一个新的函数,这个新的函数叫做函数y =f (x ) 对x 的导函数,简称导数。记为y '、f '(x ) 、
dy dx
或
d dx
f (x ) 。
函数y =f (x ) 在点x 0的导数f ' (x 0) 就是导函数f ' (x ) 在点x =x 0的函数值,即
f ' (x 0) =f ' (x ) ∆y ∆x
x =x 0
函数增量与自变量增量之比的平均变化率,而导数y '
是函数y =f (x )在点x 0与x 0+∆x 为端点的区间上
x =x 0
则是函数y =f (x ) 在点x 0的变化率,它反映了函数随自变量
而变化的快慢程度。例如:瞬时速度反映了物体运动的快慢程度等。 用导数的定义求函数y =f (x ) 的导数可分为以下三个步骤: (1)求函数的增量:∆y =f (x +∆x ) -f (x ) (2)算比值
∆y ∆x
=
f (x +∆x ) -f (x )
∆x ∆y ∆x
2
(3)求极限y ' =lim
∆t →0
例1 求函数y =x 的导数。
解:(1)设f (x ) =x ,则f (x +∆x ) =(x +∆x ) 。
于是 ∆y =f (x +∆x ) -f (x ) =(x +∆x ) -x =2x ∆x +(∆x ) ;
2
2
2
22
(2)
∆y ∆x
=
2x ∆x +(∆x )
∆x
∆y ∆x
2
=2x +∆x ;
(3) y ' =lim
∆x →0
=lim (2x +∆x ) =2x .
∆x →0
即 (x 2) ' =2x
类似的,对于函数y =x 3,可得 (x 3) ' =3x 2.
一般地,对于幂函数y =x a (a ∈R ), 有公式(x a ) ' =ax a -1(a ∈R ) 。 例2 利用幂函数的导函数公式求下列函数在指定点的导数: (1)y =x x ,求y
3
' x =1
; (2)y =
1x
,求f ' (2)
解:(1) y =x 2, 由幂函数的导数公式得:
3
y =(x 2) = 于是 y
(2)f (x ) =
'
' x =1
' '
32
1
x 2=
32
32.
x
=
32
x
x =1
=
1x
=x
-1
, 由幂函数的导函数公式得:
'
-2
f (x ) =(x ) =-x 于是 f (2) =-
'
-1
=-14,
1x
2
,
1x
2
x =2
=-
例3 证明 (cosx )' =-sin x . 证明 ∆y =cos(x +∆x ) -cos x =-2sin
sin ) ⋅
∆x
∆x 2
⋅sin(x +
∆x 2)
∆y ∆x
=-sin(x +
∆x 2
2
∆x 2
∆x
lim
∆y ∆x
∆x →0
=-lim (x +
∆x →0
∆x 2
sin ) ⋅
∆x 2
∆x
=-lim (x +
∆x →0
∆x 2
sin
) ⋅lim
∆x →0
2 ∆x 2
所以, (cosx )' =-sin x .
利用导数的定义,可求得对数函数的导数: (log a x ) ' =
1x ln a ,
1x .
特别地 (lnx )' =还可求得指数函数的导数:
(a x ) ' =a x ln a . 特别地 (e x ) ' =e x .
例4下列各题中均假定f ' (x 0) 存在,按照导数定义观察下列极限,指出A 表示什么: (1)lim
f (x ) x
=A , 其中f (0) =0, 且f ' (0) 存在;
x →0
(2)lim
f (x 0+h ) -f (x 0-h )
h
h →0
=A .
f (x ) x
f (0+x ) -f (0)
x
解 (1)因为f (0) =0,所以lim
因为f ' (0) 存在,所以
lim
f (0+x ) -f (0)
x
x →0
=lim
x →0
=A ,
x →0
=f ' (0) ,所以A =f ' (0)
(2)因为lim
f (x 0+h ) -f (x 0-h )
h
-
h →0
=lim ⎢
x →0
⎣
⎡f (x 0+h ) -f (x 0)
h
f (x 0-h ) -f (x 0) ⎤
⎥ h ⎦
因为f ' (0) 存在,所以lim
f (x 0+h ) -f (x 0)
h
f (x 0-h ) -f (x 0)
h
x →0
=f ' (x 0),
lim
x →0
=-f ' (x 0)
所以,A =lim
f (x 0+h ) -f (x 0-h )
h
h →0
=2f ' (x 0)
二、左右导数:讨论分段函数在分界点处的连续性和可导性时,首先要求出函数在该点
的左、右极限,此后还要用导数定义求出在分界点处的左、右导数。 左导数 f -'(x 0) =lim
f (x 0+∆x ) -f (x 0)
-
∆x →0
∆x
=lim -
x →x 0
f (x ) -f (x 0)
x -x 0
右导数 f ' +(x 0) =lim
f (x 0+∆x ) -f (x 0)
+
∆x →0
∆x
=lim +
x →x 0
f (x ) -f (x 0)
x -x 0
定理1.2.1 函数f (x ) 在点x 0可导的充要条件是: f ' (x 0) =A ⇔f ' -(x 0) =f ' +(x 0) =A
1⎧3
x ≠0⎪x sin
例6 讨论函数y =⎨在x =0处连续性与可导性。 x
x =0⎪0⎩
解:(1) lim f (x ) =lim x sin
x →∞
x →0
3
1x
=0, f (0) =0,∴f (x ) 在x =0点连续
(2)f (0) =lim
'
f (0+∆x ) -f (0)
∆x
(∆x ) sin
=lim
∆x →0
3
1∆x
=lim (∆x sin
∆x →0
2
1∆x
∆x →0
∆x
) =0
∴f (x ) 在x =0点也可导。
-x
x
, 问a , b 取何值时,可使f (x ) 在(-∞, +∞) 内处处例7设函数f (x ) =⎨2
⎩x +ax +b , x ≥0
可导,并求f ' (x ).
分析 f (x ) 在x =0处可导,即可在(-∞, +∞) 内处处可导。由于f (x ) 在x =0的两侧用不同解析式表示,因而要从讨论f -(0) 和f +(0) 入手。
解 : 由于f (x ) 在x =0处可导,因而f (x ) 在该点必须连续,即有 lim f (x ) =lim f (x ) =f (0)
x →0
-
' '
x →0
+
-x
当x
当x >0时, f ' (x ) =2x +a lim f (x ) =lim e
x →0
-
-x
x →0
2
-
=1
lim f (x ) =lim (x +ax +b ) =b
x →0
+
x →0
+
由 lim f (x ) =lim f (x ) =f (0) 可知b =1.
x →0
-
x →0
+
又 f (0) =lim
x →0
' -
f (x ) -f (0)
-
x -0f (x ) -f (0)
=lim -
x →0
e
-x
-1
x
2
=-1
f (0) =lim
x →0
' +
+
x -0
=lim +
x →0
x +ax +b -1
x
=lim +(x +a ) =a
x →0
由 f -' (0) =f +' (0) 可知a =-1.
综上可知,当a =-1,b =1时,f (x ) 在(-∞, +∞) 内处处可导,且
⎧-e -x , x
f ' (x ) =⎨-1, x =0
⎪2x -1, x >0⎩
四、导数的几何意义
y =f (x ) 在点x 0处的导数f ' (x 0) 在几何上表示为:曲线y =f (x ) 在点M (x 0,f (x 0)) 处的切线的斜率,
即 f ' (x 0) =t a n a =k 其中a 是切线的倾角。
曲线y =f (x ) 在点M (x 0,y 0) 处的
切线方程为 : y -y 0=f ' (x 0)(x -x 0) 法线方程为:y -y 0=-
例9. 确定a 、b 的值,使曲线y =x +ax +b 与直线y =2x 相切于点
22
1f ' (x 0)
(x -x 0)
(2,4)
2
4)处的切线斜率等于分析:利用导数的几何意义,y =x +ax +b 在点(2,
2
解:对y =x +ax +b 求导,y '=2x +a , y 'x =2=4+a , 令4+a =2. a =-2
4)在曲线y =x +ax +b 上,故4=2-2⋅2+b ,∴b =4
又 点(2,
2
2
五.可导与连续
如果函数y =f (x ) 在点x 可导,则函数在该点必连续。必须注意,如果函数y =f (x ) 在某一点连续,却不一定在该点可导。
例如:函数y =x 在点x 0=0处连续,但它在点x 0=0处不可导。
第二节 求 导 法 则
一. 函数的和、差、积、商求导法则
±v (x ),设函数u =u (x )与v =v (x )在点x 处均可导, 则函数u (x )u (x )v (x ),
u (x )
v (x )≠0)也在点x 处可导, 且有以下法则: v (x )
(1) (u ±v ) ' =u '+v ';
(2) (uv ) =u 'v +u v '
'
,
特别地[Cu (x )(C 为常数) ; ]'=C u '(x )
(3)() =
u '
v
u 'υ-u υ'
2
υ
特别地, 当u =C (C 为常数) 时, 有
'
C v '⎡C ⎤
⎢⎥=-2
v ⎣v ⎦
(v ≠0) ,
例1 求函数y =x +5x +1, 求y '
3
2
2
32
解:y '=(x ) '+(5x ) '+1'=3x +10x 例2
求函数y =x ln x , 求y '
2
22
解:y '=(x ) 'ln x +x (lnx ) '=2x ln x +x
例3 求函数y =
e
x
cos x
,求
x
dy dx
x =0
dy
解:
dx
=
(e ) 'cos x -e (cosx ) '
(cosx )
2
x
=
e cos xe sin x
(cosx )
2
x x
例3、 求函数y =
x sin x +3ln x +2cos π, 求y '
dy dx
x =0
=
e cos 0+e sin 0
(cos0)
2
00
=1
解:y '=(x sin x ) '+(3ln x ) '+(2cos π) ' =(x ) 'sin x +
sin x 2x
x (sinx ) '+(3ln x ) '+0
=
+x cos x +
x sin x 1+cos x
3x
例4 设f (x ) =,求f '(x )
解 f '(x ) =
(x sin x ) '(1+cos x ) -x sin x (1+cos x ) '
(1+cos x )
2
=
(sinx +x cos x )(1+cos x ) -x sin x (-sin x )
(1+cos x )
2
=
sin x (1+cos x ) +x cos x +x cos x +x sin
(1+cos x )
2
22
x
=
sin x (1+cos x ) +x (1+cos x )
(1+cos x )
2
=
sin x +x 1+cos x
二、反函数的导数:反函数的导数等于原来函数导数的倒数。 例:若y =log
x , 则y '=(log
a a
x ) '=
1(a ) '
y
=
1a Ina
y
=
1xIna
同理可得:(Inx ) '=
1x
, (arcsinx ) '=
1-x
2
三、基本初等函数的导数公式
C '=0(C 为常数);(
log a x ) '=
x
x
(x ) '=μx (ln |x |)'=(e) '=e ;
x
x
μμ-1
(μ为实数);
1x ln a
;
1x
;
(a ) '=a ln a ; (sinx ) '=cos x ; (tanx ) '=
1cos x
2
(cosx ) '=-sin x ;
=sec x ;
2
(cotx ) '=-
1sin x
2
=-csc x ;
2
(secx ) '=sec x tan x ; (arcsinx ) '=(arctanx ) '=
11+x
2(cscx ) '=-csc x cot x ;
(arccosx ) '=-
(arccot x ) '=-
;
11+x
2
;
四、 复合函数的求导法则
如果函数u =ϕ(x ) 在点x 处可导, 而函数y =f (u ) 在对应的点u 处可导, 那么复合函数
y =f [ϕ(x ) ]也在点x 处可导, 且有
d y d x
=
d y d u d u d x
'
或 {f [ϕ(x )]}=f '(u ) ϕ'(x )
复合函数y =f [ϕ(x ) ]对x 求导时, 可先求y =f (u ) 对u 的导数,再求u =ϕ(x ) 对x 的导数, 然后相乘即可。显然, 以上法则也可用于多次复合的情形。
例如:设y =f (u ) ,u =ϕ(v ) , v =ψ(x ) 都可导, 则
d y d x
=
d y d u d v d u d v d x
,
或记为 {f [ϕ(ψ(x ))]}'=f '(u ) ϕ'(v ) ψ'(x ) .
复合函数求导的关键在于把复合函数分解成基本初等函数或基本初等函数的和差积商,然后利用复合函数求导法则和适当的导数公式进行计算。对复合函数的分解比较熟练以后,就不必再写出中间变量,只要把中间变量所代替的式子默记在心,直接“由外往里,逐层求导”即可。所谓“由外往里”指的是从式子的最后一次运算程序开始求导,“逐层求导”指的是每一次只对一个中间变量进行求导。 例5 设y =sin 2x ,求y ' . 解 设f (u ) =sin u , ϕ(x ) =2x 由复合函数的求导法则
y ' =f ' (u ) ϕ' (x ) =(sinu ) '(2x )'
=c o s u 2=2c o s 2x
例6 设y =(x 2-1) 7,求y ' . 解 设f (u ) =u 7, ϕ(x ) =x 2-1 由复合函数的求导法则
y ' =f ' (u ) ϕ' (x ) =(u 7) '(x 2-1)' =7u 62x =14x (x 2-1) 6 例7 设函数 y =sin
1x
2
1x
,求y '
1x
1x
1x
1
112⋅() '=-2sin x x x x
解:y '=(sin
2
) '=2sin (sin) '=2sin ⋅cos
例8、求下列函数的导数: (1)y =(arcsin
x 2
) (2)y =ln tan
2
x 2
-x -x
(3)y =ln ln ln x ; (4)y =
+x -+x +
;
(5)y =arcsin
1-x 1+x
x 2
.
x 2
解 (1)y ' =2arcsin ⋅(arcsin)'
=2arcsin
x 2
⋅
1x 2
-()
2
x ()' =2
2arcsin 4-x
x 2
2
(2)y ' =
1tan
x 2x 2
⋅(tan
x 2x 2
)' =cot
x 2
⋅sec
2
x ⋅()' 22
x
=
12
cot ⋅sec
2
=
1sin x
=csc x
(3)y ' =
1ln ln x
⋅(lnln x )' =
1
ln(lnx ) ln x
(+x -
2x
⋅
1
⋅(lnx )' =
1x ln x ⋅ln(lnx )
(4)y =
+x -+x +
-x -x
=
-x )
2
=
1--x x
2
=
1x
-
-x x
2
x
2
2
所以y ' =-
1x
2
-
x ⋅(-x )' -
x
2
2
-x
2
1-=
-
2
1-x
2
-x
2
x
1
=
1-
2
1-x
22
x ⋅-x
=
(1-x
2
-x (1+-x (1+
2
-x ) -x )
2
2
=
-x
2
+1-x
2
(5)y ' =
1-
11-x 1+x
⋅
⋅(
-x 1+x
)'
=
+x 2x
+x ⋅(-x )' --x ⋅(+x )'
1+x
=
+x 2x
⋅
-2
2(1+x ) (1+x )(1-x )
=
1
2(x +1) ⋅
x (1-x )
例9 已知f (u ) 可导,求下列函数的极限.
f (1x
+1+x )
2
(1)y =e
(2) y =f {f [f (sinx +cos x ) ]}
解 求这种抽象函数的导数,只要分清函数的复合层次即可. (1) y ' =e
f (1x
+1+x )
2
⋅f ' (
1x
++x ) ⋅(-
2
1x
2
+
2x 2+x
2
)
=
x -x
2
3
+x +x
2
2
⋅e
f (
1x
+1+x )
2
⋅f ' (
1x
++x ).
2
(2) y ' =f ' {f [f (sinx +cos x ) ]}⋅f ' [f (sinx +cos x ) ]⋅f ' (sinx +cos x ) ⋅(cosx -sin x ).
第三节 隐函数的导数、参数方程求导法则
一、隐函数求导法则
以前我们所遇到的函数都是用y =f (x ) 这样的形式来表示的,这种方式表达的函数称为显函数。但是有些函数不是以显函数的形式出现的,而是表现为一个含有变量x , y 的二元方程。例如:
3x
2
+2y -5=0, sin(x +y ) =e 等。我们将这种二元方程称为隐函数。
即形如F (x , y ) =0 所确定的方程,称为隐函数。 求方程F (x , y ) =0确定的隐函数y 对x 的导数
dy dx
,只要将方程中的y 看成是x 的函
dy dx
数,利用复合函数的求导方法,在方程两边同时对x 求导,得到一个关于从中解出
dy dx
的方程,然后,
即可。显函数和隐函数是从函数的不同表现形式来说的。隐函数有些可以化为
显函数,有些则很难。把一个隐函数化为显函数,称为隐函数的显化。 例1 求曲线x +y
2
3
23
=a 在点(2a , 2a ) 处的切线方程和法线方程
4
4
23
解:方程两边同时对x 求导,有 故切线的斜率为k =y '(
23
x
-
13
+
23
y
-
13
⋅y '=0,所以y '=-
x y
-1
3
-1
3
24
a ,
24
a
) =-1
因此切线方程为:x +y -
22
a =0、法线方程为:x -y =0
x +e
例2 设y 是x 的函数,且1+y 2=cos x , 求y' x .
y
分析:本题为隐函数求导问题,求导前应先去分母以使运算简化,求导时应注意e y 、y 2
都是x 的复合函数。
解:由
x +e 1+y
y 2
=cos x 得x +e =(1+y ) osx .
y
2
y 2
(1)两边对x 求导得:
+y ) c o s x ]' (x+e )' =[(1
1+e y' =2yy' cosx +(1+y ) (-s i n x ) (2)求y' 得:
y
2
y' =-
(1+y sinx +1) e -2y c o x s
y
2
二 、参数方程求导法则
⎧x =ϕ(t )
函数y 与x 间的关系是通过参变量t 联系的⎨ (α≤t ≤β) 称为参数方
⎩y =ψ(t )
程。若参数方程中x =ϕ(t ) 单调连续,其反函数t =ϕ-1(x ) 存在,则函数y 是由y =ψ(t ) 和
-1
t =ϕ(x ) 复合而成。故y ' =
dy dx
=
dy dt
⋅
dt dx
=
dy dt
⋅
1dx dt
=
ψ' (t ) ϕ' (t )
求导方法
d y d x
=
ψ'(t ) ϕ'(t )
, t ∈(α, β)
⎧x =arccos t dy 例3 求参数方程⎨ 所确定的函数的导数, t
dx ⎩y =1-2e
解:
dy dx
=
t
(1-2e ) '
(arccost ) '
=-
-2e 1
t
=2e
2
t
-t
2
1-t
三 对数求导法
对数求导法:适用于幂指函数(形如y =u v ,u >o 且u , v 都是x 的函数)或多次乘除运算和乘方、开方运算得到的函数。对这样的函数可先对等式两边取对数,变成隐函数形式,然后再利用隐函数求导的方法求出它的导数,这种方法称为对数求导法。 例5 求 y =x (x >0)的导数。 解 对等式两边同时取自然对数,得
I n y =x I n x 两边同时对x 求导,得
1y
⋅y =ln x +1,
'
x
所以,y '=y (lnx +1) =x (lnx +1).
若一个函数是由多个函数的积、商、幂、方根组成时,用对数求导法求导,也是一种简便易行的方法。
x
例6求函数y =
解:对等式两边同时取对数有 Iny =
13
[In (x +1) +In (x +2) -2In (x +3)]
3
(x +1)(x +2) (x +3)
2
的导数
对x 求导:
1y
⋅y '=x
1
3x +1
(
1
+
1x +2
-
2x +3
)
则y '=
13
3
(x +1)(x +2) (x +3)
2
2
⋅(
dy dx
1x +1
.
+
1x +2
-
2x +3
)
例7 设y =x (1+x ) (x >0) ,求解 两边取对数,得
ln y =(1+x 2) ⋅ln x , 上式两边对x 求导,注意到y 是x 的函数,得
1y
y ' =2x ⋅ln x +
1+x x
2
2
,
于是 y ' =y (2x ⋅ln x +
1+x x
2
) =x
(1+x )
(2x ⋅ln x +
1+x x
2
).
第四节 高阶导数
一. 高阶导数
一般地, y =f (x ) 的导数y '=f '(x ) 仍然是x 的函数, 我们把y '=f '(x ) 的导数称为
y =f (x ) 的二阶导数,
2
记作y ''或d y ,
2d x
对二阶导数求导,称为三阶导数,记为y '''
n
;对三阶导数求导称为四阶导数;„„对n-1
阶导数求导称为n 阶导数, 记为y
(n )
或
d f (x ) dx
n
。
二阶及二阶以上的导数,统称为高阶导数,相应地称'(x ) 为一阶导数。显然,求高
阶导数就是多次求导,因此,可用前面学过的求导方法来计算高阶导数。
例1 求y =cos 2x 的二阶导数 解:
y '=2cos x ⋅(cosx ) '=-2cos x ⋅sin x =-sin 2
y ''=-2cos 2
例2 求y =ln
1x 3
13
x 3
的三阶导数 1x
解:y '=⋅= , y ''=-
1x
2
y '''=-(-2) ⋅
1x
3
=
2x
3
例3、求下列函数的二阶导数:
(1)y =x cos x ; (2)y =
2
a -x ;
2
(3)y =(1+x ) arctan x ; (4)y =
e
x
x
;
解 (1)y ' =cos x -x sin x , y " =-sin x -sin x -x cos x =-(2sin x +x cos x )
12
-2x a -x a -x
2
2
(2)y ' =
22
=-
x a -x
2
2
,
-x ⋅a -x
2
2
-2x 2a -x
2
2
y " =-
a -x +x (a -x )
2
2
2
2
23
=() =-
a
2
2
2
3
(a -x )
2
(3)y ' =2x arctan x +(1+x ) ⋅
n + y " =2a r c t a x
2x 1+x
x
2
11+x
2
=2x arctan x +1
(4)y ' =
xe
x
-e
2
x
x
=
e (x -1)
x
2
,
y ”=
x e (x -1) +e
x
e (x -2x +2)
x
3
x
2
2
[
x x 4
]-2xe
x
(x -1)
=
第五节 函数的微分
1、微分的概念
引例:一块正方形金属薄片,当受热膨胀后,边长由x 0变到x 0+∆x 。问此薄片的面积A 增加了多少?
由于正方形面积A 是边长x 0的函数A =x 0,由题意得
2
∆A =( x 0+∆x ) -x 0
2
2
2
= 2x 0∆x +(∆x ) .
从上式可以看到所求面积A 的增量∆A 由两项的和构成。 当∆x 很小时,(如图2-2)∆A 的主要部分是第一项2x 0∆x , 另一部分(∆x ) 2是次要部分,(∆x ) 2要比2x 0∆x 小得多,当∆x 很
'
小时,即面积A 的增量∆A 可近似表示为∆A ≈2x 0∆x 或∆A ≈A (x 0) ∆x
略去(∆x ) 部分。
图下面对可导函数y =f (x ) 进行研究:
因为可导, 则lim
∆x →0
2
2-2
∆y ∆x
=f '(x 0) ≠0
由具有极限的函数与无穷小量的关系可知
∆y ∆x
=f (x
'
) +a (当∆x →0时,a →0),
'
于是 ∆y =f (x 0) ∆x +a ∆x
'
可见∆y 是由两项之和构成,第一项为f (x 0) ∆x ,其中f (x 0) 是定值;第二项为
'
a ∆x ,其中a 是当∆x →0时的无穷小量。由于
∆x →0
lim
f '(x 0) ∆x ∆x
=f '(x 0) ≠0
得f ' (x 0) ∆x 与∆x 是同阶的无穷小,而
lim
α∆x
∆x
∆x →0
=0
得a ∆x 是较∆x 高阶的无穷小。故第二项与第一项比较是微不足道的,f ' (x 0) ∆x 与∆y 仅相差一个较∆x 高阶的无穷小量。所以,当|∆x |很小且f ' (x 0) ≠0时,f ' (x 0) ∆x 是∆y 的主要部分,可用f ' (x 0) ∆x 作为∆y 的近似值,即
∆y ≈f ' (x 0) ∆x
'
称∆x 的线性式f (x 0) ∆x 为∆y 的线性主部,由此给出微分的定义:
'
定义2.4.1 如果函数y =f (x ) 在点x 0处具有导数f (x 0) ,则称f '(x 0) ∆x 为函数
y =f (x ) 在点x 0处的微分, 记作dy ,即
dy =f '(x 0) ∆x
通常把自变量的增量∆x 称为自变量的微分,记作dy ,则上式为dy =f '(x ) dx
函数y =f (x ) 在点x 处的微分叫做函数的微分, 记作dy ,即
dy =f '(x ) dx
可 推出:
dy dx
=f '(x ) 即函数的微分dy 与自变量的微分dx 之商等于该函数的导数。因
此,导数也叫“微商”。
显然函数微分的计算仍然是以导数计算作为前提的,计算微分,可先计算导数,然后再 乘以dx 即可。
2、微分的几何意义:
如图2-3所示,P (x 0, y 0) 和Q (x 0+∆x , y 0+∆y ) 是曲线y =f (x ) 上邻近的两点,PT 是曲线在点P 处的切
图2-3
线,其倾斜角为α, 容易得到RT =PR tan α=f '(x 0) ∆x =dy , 这就是说,函数 在几何上表示曲线y =f (x ) 在点P (x 0, y 0)处的切线PT 的y =f (x ) 在点x 0 处的微分,纵坐标的增量RT 。
在图2-3中,TQ =RQ -RT 表示∆y 与dy 之差,当|∆x |很小时,TQ 与RT 相比是微不足道的,因此,可用RT 近似代替RQ 这就是说,当|∆x |很小时,有∆y ≈dy 。
3、 微分的运算
下面根据函数微分的定义dy =f ' (x ) dx . 可直接推出微分的基本公式和运算法则。 微分基本公式 (1)d (c ) =0;
(9)d (a x ) =a x ln adx ;
(2)d (x a ) =ax a -1dx ; (10)d (e x ) =e x dx ; (3)d (sinx ) =cos xdx ; (11)d (log(4)d (cosx ) =-sin xdx ; (5)d (tanx ) =sec 2xdx ;
x ) =1x
1x ln a dx ;
dx ;
a
(12)d (lnx ) =
(13)d (arcsinx ) =
dx -x
2
;
(6)d (cotx ) =-csc xdx ;
2
(14)d (arccosx ) =-
dx 1+x
dx -x
2
;
(7)d (secx ) =sec x tan xdx ;
(15)d (arctanx ) =
2
;
(8)d (cscx ) =-csc x cot xdx ; (16)d (arc cot x ) =-
函数和、差、积、商的微分法则
设u 、v 都是x 的可微函数,c 为常数,则 d(u ±v ) =du +dv ;
dx 1+x
2
.
d(uv )=vdu +udv ,d(cu ) =cdu ; d(
u v ) =
vdu -udv
v
2
(v ≠0).
微分形式的不变性
若u 不是自变量而是x 的可微函数u =ϕ(x ) ,则对于复合函数y =f [ϕ(x ) ],根据复合函数的求导法则,有
dy =y x dx =f (u ) ϕ(x ) dx ,
'
'
'
其中ϕ' (x ) dx =du ,所以上式仍可写成
dy =f (u ) du
'
与u 是自变量时的微分形式一致。由此可见,不论u 是自变量还是中间变量,函数
y =f (u ) 的微分总有同一形式:
dy =f (u ) du
'
微分的这个性质称为微分形式的不变性。
例1求函数y =x 2+1 在x =1,∆x =0. 1时的微分dy 解: dy =y 'dx =2xdx dy
=0. 1⨯2⨯1=0. 2
x =1, ∆x =0. 1
例2、在括号中填上适当的函数,使下列等式成立。 (1)
11+x
2
dx =d (................... .....)
(2)d [ln(2x +3) ]=(................) d (2x +3) =(................) dx 解:(1) 因为(arctanx +c ) '=
11+x
2
11+x
2
(c 为常数),所以
dx =d (arctanx +c )
12x +3
d (2x +3)
(2)因为d [ln(2x +3) ]=d (lnu ) =
d (2x +3) =(2x +3) 'x dx =2dx 所以 d [ln(2x +3) ]=(
12x +3
) d (2x +3) =(
12x +3
⋅2) dx =(
22x +3
) dx
例3、求y =
x x +1
的微分。
x
(x +1) d (x ) -xd (x +1)
(x +1) 1(x +1)
22
解: dy =d (
x +1
) =
=
(x +1) dx -xdx
(x +1)
2
=dx .
dy dx
例4、求由方程e xy =a x b y 所确定的隐函数y 的导数解 :两边求微分,得
e d (xy ) =b d (a ) +a d (b ), e e
xy xy
xy y x x y
(ydx +xdy ) =b a ln adx +a b ln bdy , (ydx +xdy ) =a b (lnadx +ln bdy )
x
y
y x x y
由于e xy =a x b y ≠0,则上式可化为:
ydx +xdy =ln adx +ln bdy
得 (x -ln b ) dy =(lna -y ) dx , 即
dy dx
=
ln a -y x -ln b
.
中值定理
一、罗尔定理
定理3.1.1 (罗尔定理)如果函数f (x )满足下列条件: (1)在闭区间[a,b]上连续; (2)在开区间(a ,b )内可导; (3)f (a )=f (b );
则至少存在一点ξ∈(a , b ),使得图2-4
f
'
(ξ)=0
罗尔定理的几何意义:如果连续曲线y =f (x )的弧AB 除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线且两端点的纵坐标相等,那么这弧上至少有一点C ,使曲线在点C 处的切线平行于x 轴。(如图2-4) 注意,罗尔定理的三个条件只是结论的充分条件而不是必要条件,该定理要求f (x ) 应同时满足三个条件,结论才成立。反之,不能同时满足三个条件,则结论就可能不成立。 例1 验证罗尔定理对函数f (x ) =2x 3+x 2-8x 在区间 [-解:f (x ) =2x 3+x 2-8x 在区间 [-且f (-
12
12
12
, 2]的正确性。 12
, 2]内具有导数;
⋂
, 2]上连续,在区间 [-12
) =f (2) =4,所以f (x ) 在[-
43
, 2]上满足罗尔定理的三个条件。
12
令f ' (x ) =0 得x 1=-, x 2=1, 其中x 2=1在区间(-
即f (x ) 在(-, 2) ,
12
, 2) 内有一点12, 2]是正
32
ξ=1,能使f ' (ξ) =0 , 因此,罗尔定理对函数f (x ) =2x +x -8x 在区间 [-
确的。
(-的导数3) 例2 不求导数, 判断函数 f (x ) =(x -1) (x -2) x 有几个实根以及其根所在的范围. 解 f (1) =f (2) =f (3=)
0f , x (在)
[1, 2], 上满足罗尔[2
定理的条件. 因此, 在(1,2)内至少存在一点 ξ, 使f '(ξ) =0, 11
ξ1是f '(x ) =0的一个实根,在(2,3)内至少存在一点 ξ2,
f '(ξ2) =0, ξ2也是f '(x ) =0的一个实根. f '(x ) 为二次多项式,
只能有两个实根, 分别在区间(1,2)及(2,3)内.
二、拉格朗日中值定理
定理3.1.2(拉格朗日中值定理):如果函数y =f (x )满足下列条件:
(1)在闭区间[a、b]上连续; (2)在开区间(a 、b )内可导; 则至少存在一点ξ∈(a , b ),使得
f (b )-f (a )=(b -a )f (ξ) 图
2-5
'
在拉格朗日中值定理条件中加上f (a )=f (b ),就是罗尔定理,罗尔定理是拉格朗日定理的特例。拉格朗日中值定理精确地表达了函数在一个区间上的改变量和函数在这区间内某点处的导数之间的联系。
拉格朗日中值定理几何意义:如果连续曲线y =f (x )的弧AB 上除端点外处处具有不垂
直于x 轴的切线,那么这弧上至少有一点C, 使曲线在点c 处的切线平行于弦AB 。 推论:如果函数f (x )在区间(a ,b )内的导数恒为零,那么f (x )在区间(a ,b )内是一个常数。
例2 证明 arcsin x +arccos x =
π
2
⋂
, x ∈[-1,1]
证:设F (x ) =arcsin x +arccos x
当-1<x <1时 F ' (x ) =
1-x
2
+(-
11-x
2
) =0
即F (x ) 在区间(-1 1)恒为常数C ,即arcsin x +arccos x =c 为了确定常数C 的值,不妨设x =0,得
π
C =F (0) =arcsin 0+arccos 0=
2
即当-1<x <1时,arcsin x +arccos x =当x =-1,x =1时
F (-1) =arcsin(-1) +arccos(-1) =F (1) =arcsin 1+arccos 1=n +a r c c o x s =所以 a r c s i x
π
2
π
2
π
2
π
2
(-1≤x ≤1)
例3 证明当x >0时:
x 1+x
证明:设f (x ) =In (1+x ), 则函数在[0,x ]上满足拉格朗日中值定理,则
f (x ) -f (0) =f '(ξ)(x -0), (0
因为f '(x ) =, 代入上式 则In (1+x ) =
x 1+ξ
又0
所以
x 1+x
x 1+ξ
x 1+x
三、柯西中值定理
定理3.1.3(柯西中值定理):如果函数y =f (x )及F (x )满足下列条件: (1)在闭区间[a,b]上连续; (2)在开区间(a ,b )内可导;
且F ' (x )在(a , b )内的每点处均不为零,则在(a ,b )内至少存在一点ξ,使等式
f (b )-f (a )F (b )-F (a )
f (ξ)
'
=
F (ξ)
'
成立
若取F (x )=x F (b )-F (a )=b -a , F ' (x )=1
则f (b )-f (a )=(b -a )f ' (ξ) (a
就变成了拉格朗日中值公式了。
第二节 罗必达法则
把两个无穷小量之比或无穷大量之比的极限称为
∞∞
00
型或
∞∞
型未定式(也称为
00
型或
型不定式)的极限,罗必达法则就是以导数为工具,求这类未定式极限的方法。
00
一、型未定式
定理3。2。1(罗必达法则)如果
(1)lim f (x )=0, lim F (x )=0
x →x 0
x →x 0
(2)在点x 0的某邻域内(点x 0本身可以除外),f (x ) 与F (x ) 都存在且F (x ) ≠0; (3)lim
f (x ) F (x )
' '
' ' '
存在(或为无穷大)。则
x →x 0
x →x 0
lim
f (x ) F (x )
'
=lim
f (x ) F (x )
'
'
x →x 0
即在符合定理的条件下,当lim
f (x ) F (x )
'
x →x 0
存在时,lim
f (x ) F (x )
也存在,且等于lim
f (x ) F (x )
'
'
;
x →x 0x →x 0
当lim
f (x ) F (x )
'
'
x →x 0
为无穷大时,lim
6
f (x ) F (x )
也为无穷大。
x →x 0
例1 求
x →-1
lim
x -1
4
x -1
.
解 这是0型未定式, 运用罗比塔法则, 有:
6
'(x -1)
l i m 4. =l i 4=x →-1x -1x →-1(x -1) '
x -1
6
x
6x
l i 3=→1-4x
5
x
32
l x =→1-2
32
.
例2 求lim
ln(1-5x )
x
2
x →0
-5
x →0
解 l i m
x →0
l n 1(-5x )
x
2
=lim
-51-5x
=lim =∞ x →02x 2x (1-2x )
00
如果
f (x )
'
ϕ(x )
'
当x →x 0时仍属
型,且f ' (x ) 、ϕ' (x ) 仍能满足罗彼塔法则中的条件,
则可继续使用法则进行计算,即
lim
f (x )
=lim
f (x )
'
x →x 0
ϕ(x )
x →x 0
ϕ(x )
'
=lim
f ''(x )
x →x 0
ϕ''(x )
.
例3 求lim
1+xe
x 2
-e
x
x →0
2x
x x x x
1+xe -e xe e +xe -e 0
=lim 解:lim 2x →0x →0x →04x 4x 2x
x
x
=lim 例4 求lim
e +xe
4
3
x x
x →0
=
14
x -sin x tan x
x →0
00
解法1:lim
x -sin x tan x
3
x →0
=lim
1-cos x (sec
2
x →0
x ) 3x
32
=lim cos
x →0
2
x lim
3
1-cos x 3x
2
x →0
=lim
1-cos x 3x
2
x →0
=lim
s i n x 6x
x →0
=
16
在分子或分母的因子中,若有极限存在且不等于0的因子,则可利用乘积的极限法则将其
分化出来,可使运算简便。如上例中的因子将其分出。
1sec
2
x
3
=cos
2
x 当x →0时极限为1,即可
3
解法2:由于x →0时,tan(x 3) ~x 3,1-cos x ~
12
x
2
1
因此 lim 二、
∞∞
x -sin x tan x
3
x →0
=lim
x -sin x x
3
x →0
=lim
1-cos x 3x
2
x →0
1
=lim 2= x →03x 6
x
2
型未定式
∞∞
对于x →∞时的型未定式,也有相应的罗必达法则
如果(1)lim f (x )=∞, lim F (x )=∞
x →∞
x →∞
(2)f ' (x ) 与F ' (x ) 当x >M (即x 充分大)时存在,且F ' (x ) ≠0;
f (x ) F (x )
' '
(3)lim
x →∞
=A (A 为有限数或为无穷大)
那么lim
f (x ) F (x )
=lim ∞∞
f (x ) F (x )
'
'
x →∞x →∞
=A
对于x →x 0时
1⎫⎛
ln 1+⎪
x ⎭⎝
例5lim
x →+∞arc cot x
型未定式,上面法则也同样适用。
⎛1⎫ -2⎪2
1+x 2x 1+x ⎝x ⎭
=lim =lim =1. 解:原式=lim 2
x →+∞x →+∞x +x x →+∞2x +11
-21+x
x
例6. 已知lim
x +bx +3b
x -a
2
x →a
=8. 求a,b 的值。
2
分析:∵x →a 时,分母x -a →0. ∴x +bx +3b 也应趋于0.
解:lim (x +bx +3b )=a +ab +3b =0.
2
2
x →a
用罗必达法则:lim
x +bx +3b
x -a
2
x →a
=lim (2a +b )=8.
x →a
⎧a 2+ab +3b =0由⎨得a =6, b =-4或a =-4, b =16
2a +b =8⎩
例7 求lim
x →+∞
x e
n x
(n ∈N )
∞
∞
解 : lim
x e
n x
∞
x →+∞
=lim
nx e
n -1x
∞
x →+∞
=lim
n (n -1) x
e
x
n -2
x →+∞
= =lim
n ! e
x
x →+∞
=0
x sin
2
1x
例8 求lim
x →0
解 此极限属于
(x sin
2
sin x
00
型未定式,但因为
+x cos
2
1x
) '=2x sin
1x
1x
1x
(-1x
1x
2
) =2x sin
1x
-cos
1x
其中lim 2x sin
x →0
=0,但lim cos
x →0
不存在,所以不能用罗彼塔法则计算。则
x sin
2
1x
⎡⎛x ⎫⎛1⎫⎤=lim ⎢ ⎪ x ⋅s i ⎪⎥=1⨯0=0 x →0x ⎭⎦⎣⎝s i n x ⎭⎝
lim
x →0
sin x
注意,如果所求极限已不满足罗彼塔法则的条件时,则不能再应用法则,否则要导致错
误的结果。
例:lim
e -cos x x ⋅sin x
x
x →0
=lim
e +sin x x cos x +sin x
00
x
x →0
=lim
e +cos x -x sin x +2cos x
∞∞
x
x →0
=1(错误)
使用罗必达法则应注意的两个问题: 1、每次使用罗必达法则前必须检查是否为“使用该法则。 2、当lim
”型或“
”型未定式,若不是未定式,就不能
x →x 0x →∞
(x )
不存在时,并不能断定lim '
x →x F (x )x →∞
f
'
f (x )F (x )
也不存在,此时应使用其他方法求极限。
三、其他类型未定式
除
00
型与
∞∞
型外,还有0⋅∞、∞-∞、0⋅1、∞0等类型。
00
0∞
可通过适当变形先将它们化为未定式例9 求lim x ln x (n >0)
x →0+0
n
型与
∞∞
型,然后应用罗彼达法则进行计算。
解:lim x ln x =lim
x →0+0
n
0⋅∞
ln x 1x
n
x →0+0
=lim
ln x x
-n
x →0+0
1
-x x ==lim lim
x →0+0-nx -n -1x →0+0n
n
=0
00
注意,“0⋅∞”型未定式既可化为“”型也可转化为“
∞∞
”型,究竟如何转化,应依变
00
形后分子分母导数及其比的极限容易计算而定,上题转化为“例10 求lim (secx -tan x )
x →
”型问题会复杂化。
π
2
∞-∞
解 :lim (secx -tan x ) =lim (
x →
1cos
π
2
x →
π
-
sin x cos x
) =lim
x →
1-sin x cos x
π
2
=lim
x →
-cos x -sin x
π
2
=0
2
“1∞、00、∞0”型未定式属于指数型未定式,首先运用到指数性质e ln x =x ,(x >0)其次将其指数部份转化为未定式极限即可。
00
型与
∞∞
型求出极限,最后,根据复合函数的连续性求出指数型
第三节 函数单调性与极值的判定
1、函数单调性的判定
设曲线y =f (x ) 在(a,b )内每一点都存在切线,且这些切线与x 轴的正方向的夹角α 都是锐角,若tan α=f '(x ) >0,则函数y =f (x ) 在(a,b )内是单增的;如果这些切线与x 轴正向的夹角都是钝角,即tan α=f '(x )
定理3.3.1(判定法)设函数y =f (x ) 在[a,b]上连续,在(a,b )内可导: (1)如果在(a,b )内f '(x ) >0,那么函数y =f (x ) 在[a,b]上单调增加; (2)如果在(a,b )内f '(x )
图2—6
确定函数的单调性的一般步骤是: (1) 确定函数的定义域;
(2) 求出使f '(x ) =0和f '(x ) 不存在的点,并以这些点为分界点,将定义域分成若干个
子区间;
(3) 确定f '(x ) 在各子区间内的符号,从而判定出f (x ) 的单调性。 利用函数的单调性证明不等式(f (x )>g (x ), x >a ) : 1. 作辅助函数F (x )=f (x )-g (x ) 2. 验证F(a)是否等于0?
3. 求F '(x ). 若F '(x )>0且F (a )=0. 则不等式就得到证明。
( F '(x )>0. ∴F (x )单增,则当x >a 时,有F (x )>F (a )=0,即f (x )>g (x )) 二.典型例题解析:
例1 确定函数f (x ) =x -6x +9x -1 的单调区间 解:函数的定义域为(-∞, +∞)
2
f '(x ) =3x -12x +9=3(x -1)(x -3)
3
2
令f '(x ) =0 得x 1=1, x 2=3
这两个根把 (-∞, +∞) 分为三个区间(-∞, 1), (1, 3), (3, +∞) ,下面列表讨论:
由上表可知,函数的单调增加区间为(-∞, 1) 和(3, +∞)
,单调减少区间为(1,3)。 2、函数的极值
如图2-7可以看出函数在 c 1, c 4处的函数值f (c 1), f (c 4) 比其左右邻近函数值要大,这样的点称为极大值点,其对应的函数值f (c 1), f (c 4) 称为极大值。相反,点c 2, c 5称为函数
f (c 2), f (c 5) 的极小值点,f (c 2), f (c 5) 称为极小值。
图2—7
定义3.3.2 设函数f (x ) 在区间(a , b ) 内有定义,x 0是(a , b ) 内的一个点。如果存在着点
x 0的一个领域,对于这个领域内任何异于x 0的点x ,都有f (x ) f (x 0) ),
则称f (x 0) 是函数f (x ) 的一个极大值(极小值),点x 0叫做函数f (x ) 的一个极大值点(极小值点)。(如图2—7)
我们将使得函数单调性发生变化的点称为极值点,导致函数从单增变化到单减变化的点称为极大值点,导致函数从单减变化到单增变化的点称为极小值点(如图2—8)。 函数的极大值与极小值统称极值,使函数取得极值的极大值点与极小值点统称为极值点。 注:
(1)函数的极大值与极小值的概念是局部性的;仅仅当函数单调性发生且只发生一次变化时,极值点才是最值点。
(2)函数的极大值不一定比极小值大。
(3)函数的极值一定出现在区间内部,在区间端点处不能取得极值。
如图2-7在函数取得极值处,曲线的切线是水平的即f '(x 0) =0;反之,曲线上有水平
切线的地方,即使f '(x 0) =0,函数不一定取得极值。例如:c 3处有水平切线,但f (c 3) 并不是极值。
定理3.3.1(必要条件)设函数f (x ) 在点x 0可导,且在点x 0取得极值,则函数f (x ) 在点
x 0的导数f '(x 0) =0。
使导数为零的点(即方程f '(x ) =0的实根)叫做函数f (x ) 的驻点。可导函数的极值点必为驻点;反之,驻点不一定是极值点。例如,函数y =x 3中x 它不是极值点.
函数的某些不可导点也可能是函数的极值点。例如,函数y =x 3,x =0是函数的极小值点,但在该点处的导数不存在.
因此,函数的驻点和不可导点,都可能成为函数的极值点。
求出驻点后,需判定求得的驻点是否是极值点?是极大值还是极小值?
2
=0是函数的驻点,但
图2-8
定理3.3.2 (第一充分条件)设函数f (x ) 在点x 0的一个领域内可导且f '(x 0) =0。
(1) 如果当x 取x 0左侧邻近的值时,f '(x ) 恒为正;当x 取x 0右侧邻近的值时,
f '(x ) 恒为负,则函数f (x ) 在点x 0处取得极大值;
(2) 如果当x 取x 0左侧邻近的值时,f '(x ) 恒为负;当x 取x 0右侧邻近的值时,
f '(x ) 恒为正,则函数f (x ) 在点x 0处取得极小值;
(3) 如果当x 取x 0两侧邻近的值时,f '(x ) 同号,则函数f (x ) 在点x 0处取不到极
值。
求函数极值的步骤: (1) 求出函数的定义域; (2) 求出导数f '(x ) ;
(3) 令f '(x ) =0,求出f (x ) 的全部驻点;并求出导数不存在的点;
(4) 用驻点和导数不存在的点把函数的定义域划分成部分区间,考察每个部分区间
内f '(x ) 的符号,利用定理确定是否是极值点,如果是极值点,确定是极大值点还是极小值点;
(5) 求出各极值点的函数值,即得函数f (x ) 的全部极值。 例2 求出函数f '(x ) =x 3-3x 2-9x +5的极值。 解:f (x ) 定义域为(-∞, +∞)
f '(x ) =3x 2-6x -9=3(x +1)(x -2)
函数f (x ) 在定义域内无不可导的点,令f /(x ) =0,驻点为x 1=-1, x 2=3 列表讨论如下:
由上表可知,函数的极大值为f (-1) =10,极小值f (3) =-22。
例3讨论函数f (x )=(2x -1)3(1-x )的单调性,并求极值
2
.
解:该函数定义域为(-∞, +∞).
f '(x )=2(1-x )3+(2x -1)
45
2
23
(1-x )3(-1)=
-
1
2(4-5x )3
3
-x
合f '(x )=0. 则x =
为驻点,x =1为不可导点.
4⎫⎛
∴ -∞, ⎪, [1, +∞)为单增区间.
5⎭⎝3⎡4⎤⎛4⎫1为单减区间. 极大值f = ⎪⎢⎥
⎝5⎭25⎣5, ⎦
3
5. 极小值f (1)=0.
用上述充分条件判别函数的极值,要对所有可能极值点左右两旁的导数符号进行讨论,
其解题过程较为麻烦,如果函数在驻点处的二阶导数存在且不为零,则可用以下较为方便的方法进行判断:
定理3.3.3 (第二充分条件)设函数f (x ) 在点x 0处具有二阶导数且f '(x 0) =0,
f ''(x 0) ≠0,那么
(1) 当f ''(x 0) 0,函数f (x ) 在点x 0处取得极小值;
(3) 当f ''(x 0) =0,定理失效,可能是极值,也可能不是极值。 例5函数f (x ) =(x -1) +1的极值。 解:函数的定义域为(-∞, +∞)
22
f '(x ) =6x (x -1) =0则f (x ) 的驻点为x =-1, x =0, x =1,且无导数不存在的点;
2
3
22
由f ''(x ) =6(x -1)(5x -1), 得f ''(0) =6>0, f ''(-1) =f ''(1) =0,
从而x =0为极小值点,极小值f (0) =0,
但定理对于x =±1判断失效,用第一充分条件判断。所以需列表讨论如下:
则函数的极值为极小值f (0) =0。
第四节 函数的最大值和最小值
。
设函数f (x ) 在[a , b ]上有定义,若[a , b ]上存在一点x 0 ,使得对任意的x ∈[a , b ] 都有f (x 0) ≥f (x )[或f (x 0) ≤f (x )],则称f (x 0) 为函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上的最大值(或最小值),最大值和最小值统称为最值。
若f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续,在开区间(a , b ) 内可导,根据连续函数在闭区间上的性质可知,函数f (x ) 在[a , b ]上一定有最大值和最小值。 怎样求函数在闭区间上的最值呢? 函数在闭区间上的最值不外乎有以下三种情况:(1)如果函数的最大(小)值是在区间内部某点取得,那么这个最大(小)值一定也是它的极大(小)值,并且这个最大(小)值只能在函数的驻点处求得。(2)最大值和最小值也可能在区间端点处求得。(3)如果函数的最大(小)值是在区间端点处取得,而最小(大)值在区间内的极值点上求得。 求可导函数f (x ) 在[a , b ]上的最大值和最小值的方法是:
(1) 求出f (x ) 在[a , b ]内的全部驻点和一阶不可导点的函数值。 (2) 求出端点的的函数值.
(3) 比较以上函数值,其中最大的便是函数的最大值,最小的便是函数的最小值。
例1 试求函数 f (x ) = 3x 4 -16x 3 + 30x 2 – 24x + 4在区间[0,3]上的最大值和最小值. 解 (1)函数f (x ) 在[0, 3]上连续,在(0,3)内可导, f '(x ) = 12x 3 - 48x 2 + 60x – 24 = 12(x - 1)2(x - 2),
令f '(x ) =0,求得在(0,3)内驻点x =-1. x =2
它们为 f (x ) 可能的极值点,算出这些点及区间端点处的函数值:
f (0) = 4,f (1) = - 3,f (2) = - 4,f (3) = 13, (2)比较驻点与端点处的函数值
(3)在区间[0, 3]上 f (x ) 的最大值为 f (3) = 13,最小值为 f (2) = - 4.
在实际问题中,如果函数f (x ) 在某区间内可导且有唯一的极值点x 0,而且从实际出发f (x ) 在
(a , b ) 内必定有最大(小)值,那么当f (x 0) 是极大值时,f (x 0) 就是f (x ) 在该区间上的最大
值(图2-9). 当f (x 0) 是极小值时,f (x 0) 就是f (x ) 在该区间上的最小值(图2-10)
图2-9 图2-10
例2 用边长为48cm 的正方形铁皮做成一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形(图2—11a ),然后把四边折起,就能焊成铁盒(2—11b). 问在四角截去多大的正方形,才能使所做的铁盒容积最大?
图2-11
解 设截去的小正方形的边长为x cm, 铁盒的容积为Vcm ,则有
V =x (48-2x ) (0
2
3
即x 何值时,V 在区间(0,24)内取得最大值。
V '=12(24-x )(8-x ).
令V '=0,求得在(0,24)内函数的驻点为x =8.
由题意知,铁盒必然存在最大容积,且函数在(0,24)内只有一个驻点,所以,当x =8时,函数V 取得最大值. 也就是说,当所截去的正方形的边长为8cm 时,铁盒的容积最大。
例3 某车间要生产一批带盖的圆柱形铁桶,要求每个铁桶的容积为定值V 。怎样设计才能使材料最省?
解 首先应该建立在容积V 为定值的条件下,表面积S 与半径 r 之间的函数关系。
S =2πr 2+2πrh .
由于铁桶的容积为定值V ,即
πr h =V ,
h =
2
2
V
πr
2
.
S =2πr +
2V r
(r >0)
即为所要建立的函数关系式。 而
S =2πr
2
+
2V r
(r >0)
求导数
dS dr
dS dr
=4πr -
2V r
2
=
4πr -2V
r
2
3
.
令=0,即
由于r >0, 从而
4πr -2V
r
2
3
=0,
4πr -2V =0,
3
r =
3
V 2π
.
dS dr
=0
由于最小表面积S 一定存在,而且在(0, +∞) 内取得;可解得
V 2π
V
2
在(0, +∞) 内只有一个根r = h =
,所以,当r =
=Vr
⋅1
3
V 2π
时,S 的值最小。这时铁桶的高为
πr πV πr
由此可见,当铁桶的高等于底面直径时,所用材料最省。
=
Vr
⋅
2π
=2r .
例4、
第五节 函数图形的凹凸和拐点
为了进一步研究函数的特性和作出函数的图象,我们将研究曲线的弯曲方向等问题。 1、曲线的凹凸和拐点
定义2.10.1 如果在某区间内的曲线弧位于其上任
意一点处切线的上方, 则称此曲线弧在该区间内是凹的, 此区间称为凹区间;如果在某区间内的曲线弧位于其上任意一点处切线的下方, 则称此曲线弧在该区间内是凸的, 此区间称为凸区间.
显然,如图2-13,在(a,c )区间函数是凸性,在(c,b )区间函数是凹性。
连续曲线上凸的曲线弧和凹的曲线弧的分界点称为曲线的拐点。
定理2.10.1(判定定理):设f (x ) 在(a ,(1)如果在(a ,b ) 内具有二阶导数b ) 内f ' ' (x ) >0,那么 曲线在(a ,b ) 内是凹的;(2)如果在(a ,b ) 内f ' ' (x )
(1)确定函数y =f (x ) 的定义域;
(2)求出定义域内使f ''(x ) =0和f ''(x ) 不存在的点x 0;
(3)在点x 0左右近旁判断f ''(x ) 的符号:如果符号相反,那么点(x 0,f (x 0)) 就为拐点;如果符号相同,那么点(x 0,f (x 0)) 就不是拐点; 例1、求曲线y =x -3x 的凹凸区间和拐点。 解:函数的定义域为(-∞,+∞)
由于y '=3x -6x y ''=6x -6=6(x -1) 令y ''=0 得x =1,列表如下:
2
3
2
则曲线在(1, +∞) 内是凹的;在(-∞, 1) 内是凸的; 曲线拐点为(1,-2)
例2、求曲线y =(x -1) 3x 5的凹凸区间和拐点。 解:函数的定义域为(-∞,+∞)
8
5
由于y =x 3-x 3
y '=
83
5
x 3-
53
2
x 3 y ''=
1409
2
x 3-
109
x
-
13
=
109
⋅
4x -1
x
令y ''=0 得
x =, 而当x =0时,y ''不存在,列表如下:
1414
2
1
则曲线在(-∞,0) 和(
,+∞) 内是凹的;在(0,) 内是凸的;
4
曲线拐点为(0,0) 和(,-
3163
)
例3、求曲线方程y =ax
3
+bx
+cx +d 中的a , b , c , d , 使得点(-2,44)为驻点,点(1,-10)为拐点。
分析:∵y 为4次多项式,具有连续的导数。
所以在驻点处一阶导数为0,在拐点处二阶导数为0. 解:y '|x =-2=12a -4b +c =0
y ''|x =1=6a +2b =0-8a +4b -2c +d =44a +b +c +d =-10
解以上方程组:a=1 b=-3 c=-24 d=16. 2、函数图像的描绘
水平渐近线:如果lim f (x ) =b 成立,则y =b 称为曲线y =f (x ) 的水平渐近线。
x →∞
垂直渐近线:如果lim f (x ) =∞成立,则x =x 0称为曲线y =f (x ) 的垂直渐近线。
x →x 0
图2—14 图2—15
例如:y =arctan x 有两条水平渐进线(图
2-14);y =In (x -1) 有垂直渐进线(图2-15)。
函数图像的描绘方法(利用导数描绘函数图象)
(1)确定函数定义域,讨论函数奇偶性、周期性,判断曲线的对称性。
(2)求函数的一阶导数和函数的二阶导数,令f '(x ) =0,f ''(x ) =0求出在函数定义域内的全部实根;并求出导数不存在的点;把函数的定义域划分成部分区间。
(3)考察每个部分区间内f '(x ) 、f ''(x ) 的符号,列表确定函数单调性和极值;讨论曲线的凹凸性和拐点。
(3)确定函数曲线的水平渐近线和垂直渐近线;
(4)补充一些点以便把图像描绘准确,连成光滑的曲线。 例5 作函数y =
x
3
3
-x +2的图像
2
解:(1)定义域为(-∞,+∞)
2
(2)y ' =x -2x =x (x -2) 由y ' =0得x =0、x =2
y ' ' =2x -2=2(x -1) 由y ' ' =0得x =1 (3)列表讨论:
(4)作辅助点(-2,-作出图像2
143
) ,(3,2)
图2-16
(4)作辅助点(-2,
(5)作图:
143
),(3,2)